Вторая производная больше нуля что значит

• Главная
• Репетиторы
• Учебные материалы
• Контакты

Главная > Учебные материалы > Математика: Исследование функций

1.Возрастание и убывание функции. 2.Экстремум функции. 3.Выпуклость графика функции. 4.Точки перегиба. 5.Асимптоты графика функции.

1. Возрастание и убывание функции

Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с положительна, то на этом промежутке она возрастает.
Действительно, согласно теореме Лагранжа, если х 2 > x 1 и f ‘(c) > 0, то функция возрастает.

т.е. если левая часть равенства положительна,
где х 1 2 и f ‘(c)>0, то f(x 2 )>f(x 1 )

При убывании функции можно сделать аналогичный вывод.

Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с отрицательна, то на этом промежутке она убывает.
Опять же, согласно теореме Лагранжа, если х 1 2 и f ‘(c) f(В) во всех точках окрестности точки B, то данная точка называется точкой минимума.

Точки максимума и минимума называются критическими точками и производная функции в этих точках или не существует, или равна нулю
f ‘(A) = 0
f ‘(B) = 0.

Касательная к графику функции в данных точках параллельна оси ОХ.

Здесь нужно отметить, что не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например функция y = x 3 не имеет экстремума, т.к. не выполняется условие f(x) ) f(x 0 ), т.е. в окрестности точки х 0 значение функции должно быть больше (меньше) значения функции в точке х 0 . Таким образом, функция y = x 3 имеет критическую точку при х=0
(т.к. f ‘(0)=0), но экстремума в этой точке нет.

3.Выпуклость графика функции.

Пусть задана функция y = f(x). Предположим, что функция f(x) дифференцируема на определенном промежутке [x 1 ;x 3 ].

Возьмем промежуток [x 1 ;x 2 ]. Тогда, если при любом значении х таком, что x 1 2 , значение функции меньше значения касательной в точке х,
т.е. f_ф(x) ≤ f_к(x), то функция выпукла вверх.

Возьмем промежуток [x 2 ;x 3 ]. Тогда, если при любом значении х таком, что x 2 3 , значение функции больше значения касательной в точке х,
т.е. f_ф(x) ≥ f_к(x), то функция выпукла вниз.

Если функция выпукла вверх, то вторая производная функции меньше нуля, т.е. f »(x) 0.

Выпуклость графика функции.

4.Точки перегиба.

Если график функции слева и справа от точки А имеет разную выпуклость, то эта точка называется точкой перегиба.

В точке перегиба вторая производная функции f»(x)=0. Если второй производной в точке А не существует, тогда вторая производная для функции f(x) слева и справа от точки А будет иметь разные знаки.

5. Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции f(x) называется прямая, расстояние до которой от графика функции стремится к нулю при стремлении х к бесконечности. Т.е. f пр (х) — f(x) → 0 или f пр (x) → f(x)

Допустим функция определена в окрестности точки x 0 . Тогда если хотя бы один из пределов функции справа или слева равен бесконечности при стремлении x→x 0 , то пряма x=x 0 называется вертикальной асимптотой.

Если существует конечный предел функции равный b при стремлении х→∞, то прямая y = b есть горизонтальная асимптота.

Если существует только один конечный предел при стремлении х→∞ справа или слева, то функция имеет левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

Если существуют конечные пределы такие, что

то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой.

Бавают правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты.

Источник

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Физический смысл производной

Вводя понятие производной, мы предварительно решали задачи на поиск мгновенной скорости некоторого тела (автомобиля, пешехода, самолета). Во всех них в качестве исходных данных задавался некоторый закон, который описывал зависимость пути, пройденного телом, от времени. Обычно этот закон представлял собой функцию s(t). Для нахождения мгновенной скорости мы сначала записывали выражение для вычисления средней скорости, которое содержало переменную величину ∆t. На следующем шаге мы составляли выражение ∆s/∆t, после чего величину ∆t мы устремляли к нулю и смотрели, чему в таком случае будет равняться предел отношения ∆s/∆t. Этот предел и принимался за мгновенную скорость тела.

Можно заметить, что последовательность наших действий совпадает с теми действиями, которые выполняются для вычисления производной. Разница лишь в обозначениях. В случае с производной мы рассматриваем функцию у(х), а в случае с поиском скорости тела – функцию s(t). Но если поменять букву t на х, а s на t, то окажется, что поиск мгновенной скорости в момент времени t₀ – это тоже самое, что и поиск производной функции s(t) в точке t₀. Таким образом, можно сформулировать физический смысл производной (иногда его называют механическим смыслом, так как в физике производная используется не только в механике):

Функцию s(t) обычно называют законом движения. Рассмотрим простейший случай, когда тело движется с постоянной скоростью, равной, например, 3 м/с. Из физики известно, что в таком случае путь s, пройденный телом за время t, можно вычислить по формуле

где v – скорость.

Значит, закон движения тела будет выглядеть так:

Найдем производную в произвольный момент времени t₀. Так как производная должна совпадать со скоростью, то независимо от значения t₀ производная должная оказаться равной 3. Действительно, в точке t₀ значение функции равно

Дадим приращение аргумента ∆t. В точке t₀ + ∆t функция будет равна

Найдем приращение функции ∆s:

Обратите внимание – величина ∆s уже не зависит от t₀. Далее найдем отношение ∆s/∆t:

Величины ∆t сократились, и получилось, что отношение ∆s/∆t от величины ∆t не зависит. Ясно, что предел этого отношения при ∆t→0 (а это и есть производная) будет равен 3:

Действительно, получилось, что производная s′(t) в любой точке равна 3, то есть она совпадает со скоростью.

Геометрический смысл производной

Возьмем график произвольной функции у(х) и выберем на ней точку х₀ (обозначим ее как А). Дадим ей приращение ∆х. Тогда мы получим новую точку с абсциссой х₀ + ∆х, которую обозначим буквой В. Соединим исходную и новую точку прямой линией АВ. Эта линия пересекает график как минимум в двух точках (А и B), поэтому мы можем назвать её секущей. Проведем также касательную к графику функции в точке А:

Если из точки B провести вертикальную линию, а из точки А – горизонтальную, то они пересекутся в некоторой точке О. Рассмотрим треугольник АОВ. Очевидно, что он прямоугольный (∠ АОВ = 90°). При этом АО = ∆х, а ОВ = ∆у. Так как АО и ОВ – это катеты прямоугольного треугольника, то их отношение (ОВ/АО) равно тангенсу угла ВАО, который на рисунке обозначен как α:

Ещё раз отметим, что угол α – это угол между секущей и горизонтальной линией. Этот угол определяется именно отношением величин ∆у и ∆х.

Производная – это предел отношения ∆у/∆х при ∆х→0. Попробуем устремить в данном случае величину ∆х к нулю. Тогда точка В начнет перемещаться по графику всё ближе к точке А, а треугольник АОВ будет сокращаться в размерах. Однако АВ всё ещё будет оставаться секущей:

Мы видим что при уменьшении ∆х секущая АВ приближается к касательной. В конце концов, при «максимальном» уменьшении ∆х, Точка В почти сольется с точкой А, а секущая АВ почти сольется с касательной. Тогда и угол α, являющийся углом наклона секущей, будет почти не отличаться (или отличаться на бесконечно малую величину) от угла наклона касательной. Поэтому можно принять, что угол α – это и есть угол наклона касательной:

Но мы уже определили ранее, что тангенс угла α – это отношение ∆у/∆х:

Получается, что в предельном случае, когда ∆х стремится к нулю, секущая, по сути, становится касательной к графику, а отношение ∆у/∆х – производной (по ее определению):

Отсюда следует, что значение производной в точке х₀ совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой же точке. В этом заключается геометрический смысл производной.

Здесь следует уточнить понятие касательной. Из геометрии известно понятие касательной к окружности. Так называют прямую, имеющую с окружностью ровно одну общую точку. Однако для касательной к графику функции такое определение не подходит. Действительно, любая строго вертикальная прямая пересечет график функции только в одной точке, однако назвать ее касательной нельзя, ведь она проходит «сквозь график»:

С другой стороны, прямая, касающаяся графика в одной точке, может потом пересечь его в другой точке:

Поэтому касательную к графику в точке х₀ определяют именно как предельное положение секущей, которое получается, когда промежуток ∆х устремляют к нулю.

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику

в точке х₀ = 2.

Решение. Тангенс искомого угла можно найти, вычислив производную. Для этого сначала вычислим значение функции в точке х₀:

Теперь даем приращение ∆х и вычисляем функцию в точке (х₀ + ∆х):

Далее находим величину ∆у, то есть приращение функции в точке х₀:

Отношение ∆у/∆х можно определить так:

Если устремить величину ∆х к нулю, то отношение ∆у/∆х устремится к единице:

Значит, и производная в точке х₀ = 2 будет равна 1:

Производная – это тангенс угла наклона касательной, то есть

Так как тангенс 45° равен единице, то α = 45°. Убедимся в этом, проведя через точку (2; 1) прямую с таким наклоном. Она действительно оказывается касательной:

Связь производной с возрастанием и убыванием функций

Заметим, что если провести касательную к графику в той точке, где функция возрастает, то сама эта касательная окажется также возрастающей линейной функцией. При этом угол ее наклона будет острым:

Напомним что тангенс любого острого угла – это всегда положительная величина, то есть tgα > 0.

Однако это тангенс равен значению производной. Значит, она также положительна, если функция возрастает.

Ситуация меняется в случае убывающей функции. Тогда и касательная к графику оказывает убывающей линейной функцией. Из-за этого она образует с горизонтальной осью Ох не острый, а тупой угол:

Напомним, что тангенс тупого угла является отрицательным числом. Но тогда и производная должна быть отрицательная. Получается, что по знаку производной можно определить, убывает или возрастает функция в данной точке.

Задание. Определите знак производной функции у = sinx в точке х₀ = 3π/4, не вычисляя её.

Решение. График у = sinx выглядит так:

Точка х₀ = 3π/4 находится между π/2 и π. Видно, что в этой точке функция убывает. Следовательно, производная в этой точке отрицательна.

Ответ: Производная отрицательна.

Производная как функция

До этого мы вычисляли значение производной в отдельных точках графика. Она представляет некоторое число у′(х₀). Однако чаще всего производную можно вычислить в каждой точке графика у(х). То есть каждой точке х₀ соответствует какое-то число у′(х₀). Но если есть соответствие между числами х₀ или у′(х₀), то можно говорить о функции. Её обозначают как у′(х), или просто как у′.

Объясним, чем отличаются обозначения у′(х₀) и у′. Обе эти величины называются производными и вычисляются для некоторой функции у(х). Однако у′(х₀) – это конкретное значение производной, то есть число. Например, 4 или 6. А выражение у′(х) – это не число, а функция, например, у = с osx или у = х 3 . Подставив в выражение у′(х) значение х₀, можно узнать и у′(х₀).

Возникает вопрос – а как находить функцию у′(х)? Для этого можно использовать определение производной, как и в случае су′(х₀). Только вместо значения х₀ не требуется подставлять какое-то число. Продемонстрируем эту процедуру на примере.

Пусть есть функция у = х 2 . Найдем у′(х). Для этого дадим произвольной точке с координатой х приращение ∆ х. В результате попадем в новую точку (х + ∆ х). Вычислим значения функции у = х 2 в точках х и (х + ∆ х):

Далее находим величину ∆ у:

Следующий шаг – вычисляем отношение ∆ у/ ∆ х:

Осталось найти предел отношения ∆ у/ ∆ х при ∆ х → 0, который и будет являться производной у′:тут что-то не поняла решение, верное?

Получили, что у′ = 2х. Ещё раз обратите внимание, что у′– это функция, а не число. Поиск производной называют операцией дифференцирования. Для краткости иногда используют такую запись:

Здесь в левой части в скобках записана исходная функция. Над скобкой стоит штрих, который и означает дифференцирование. Справа записана производная. Когда надо вычислить производную, используют такие фразы, как «продифференцируем функцию» или «возьмем производную».

Итак, мы получили, что (х 2 )′ = 2 x . Эту формулу производной для функции у =х 2 стоит запомнить.

Скажем сразу, что пока мы будем в основном рассматривать примеры, где необходимо продифференцировать функцию у = х 2 , так как ее производная имеет простой вид и уже найдена нами. В следующих уроках мы научимся дифференцировать другие, значительно более сложные функции.

Найдя у′, мы существенно упрощаем свою жизнь. Пусть нам надо найти значение производной функции сразу в 5 точках. Раньше мы бы для каждой точке давали бы приращение ∆ x , искали соответствующее ему значение ∆ у, вычисляли бы отношение ∆ у/ ∆ х, а потом находили бы предел этого отношения. То есть нам надо было бы вычислить сразу 5 пределов. Однако зная у′, мы можем просто подставлять в неё значение х₀ и сразу находить производную.

Задание. Найдите производную функции у = х 2 в точке х₀ = 100.

Решение. Известно, что (х 2 )′ = 2 x , то есть для функции у = х 2 производная равна

Подставим значение х₀ = 100 в производную:

Задание. К графику у = х 2 в точках х₁ = 0,5 и х₂ = – 0,5 проведены касательные. Под каким углом пересекаются эти касательные?

Решение. Сначала приведем рисунок для этой задачи, причем выберем крупный масштаб, когда длина двух клеток равна всего 0,1:

Чтобы найти угол между двумя касательными, сначала найдем, какие углы они образуют с горизонтальной линией Ох. Для этого вычислим производную от у = х 2 в точках 0,5 и (– 0,5). Так как у′ = 2х, то

Получается, что тангенс наклона 1-ой касательной равен единице, это значит, что сам угол равен 45°. Тангенс наклона второй касательной равен (– 1). Чтобы найти угол ее наклона, составим тригонометрическое уравнение:

Естественно, уравнение имеет бесконечно большое количество решений: – π/4; 3π/4; 7π4 и т.д. Среди них нас интересует то, которое соответствует углу от 0 до 180°. Это угол 3π/4, который равен 135°.

Итак, касательные имеют углы наклона, равные 45° и 135°. Далее поиск угла их пересечения становится простой и чисто геометрической задачей. Добавим точки на рисунок:

Мы нашли, что ∠ ВСЕ = 45° и ∠ А DC = 135°. Тогда

Тогда из треугольника DOC можно найти и интересующий нас ∠ DOC . Мы используем тот факт, что сумма углов любого треугольника составляет в точности 180°:

В итоге получаем, что прямые пересекаются под прямым углом.

Задание. Автомобиль стартует и набирает скорость, при этом закон его движения имеет вид s ( t ) = t 2 . Найдите скорость машины через 2,3, 4 и 5 секунд после старта. Постройте график, иллюстрирующий зависимость скорости машины от времени.

Решение. Скорость машины будет равна производной ее закона движения. Производная функции s ( t ) = t 2 имеет вид s ′( t ) = 2 t . Подставляя в производную значения 2, 3, 4 и 5, найдем скорость автомобиля в эти моменты времени:

Так как s ′( t ) = 2 t , а скорость равна производной, то есть v ( t ) = s ′( t ), то получаем, что зависимость скорости от времени имеет вид v ( t ) = 2 t . Её график будет выглядеть так (на нем отмечены те самые точки, которые соответствуют 2, 3, 4 и 5 секунде после старта):

Ответ: 4, 6, 8 и 10 м/с.

Рассмотренный пример показывает, что зная закон движения s ( t ), можно не просто вычислить скорость тела в отдельные моменты времени, но и получить зависимость, то есть общую формулу, позволяющую вычислять скорость. Другими словами, график производной s ′( t ) совпадает с графиком скорости v ( t )

Вторая производная функции и ее физический смысл

Итак, мы узнали, что при дифференцировании функции мы получаем какую-то новую функцию. Встает логичный вопрос – а можно ли продифференцировать и эту новую функцию? Естественно можно, и в результате получат ещё одну функцию, которую называют второй производной. Для ее обозначения используют уже не один штрих, а сразу два: у′′. При необходимости можно взять и третью производную (у′′′), и четвертую (у′′′′), и даже сотую или тысячную. Однако при рассмотрении большинства практических задач достаточно первых двух производных.

Есть ли у второй производной функции физический смысл? Да. Дело в том, что в физике различают равномерное и ускоренное движение тела. В первом случае оно двигается с постоянной скоростью, а во втором скорость тела может изменяться. В связи с этим вводится и такая физическая величина, как ускорение. Она характеризует то, как быстро изменяется скорость тела. То есть ускорение – это скорость изменения скорости. Для обозначения ускорения обычно используют букву а. И для определения ускорения как раз и может потребоваться вторая производная.

Действительно, если ускорение – это скорость изменения скорости, то ее можно найти, взяв производную от функции v ( t ), то есть а( t ) = v ′( t ). Однако сама скорость получается при дифференцировании закона движения s ( t ), то есть v ( t ) = s ′( t ). Тогда получается, что

То есть физический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная закона движения s ′′( t ) в момент t ₀ равна ускорению тела в этот самый момент.

Ещё раз взглянем на пример, который мы уже рассмотрели. Пусть автомобиль стартует с места, и пройденный им путь определяется законом s ( t ) = t 2 . Мы уже выяснили, что в этом случае его скорость можно рассчитать по формуле v ( t ) = 2 t . Получается, что скорость тела непостоянна, значит, имеет место ускоренное движение. Попробуем найти величину ускорения.

Для этого возьмем производную от функции v ( t ) = 2 t . Возьмем какое-то значение аргумента t и дадим ему приращение ∆ t , в результате получим новый аргумент ( t + ∆ t ). Вычислим скорость тела в эти моменты времени:

Теперь мы можем найти приращение функции ∆ v , соответствующее приращению ∆ t

Далее находим отношение ∆ v / ∆ t :

Получили, что это отношение является постоянной величиной и равно 2. Естественно, что предел постоянной величины равен этой величине:

Итак, получили, что производная v ′ – это постоянное число, не зависящее от времени. Оно же равно ускорению тела. Значит, в любой момент времени ускорение тела равно 2м/с 2 .

Напомним, что важнейший закон механики, известный как второй закон Ньютона, выглядит так:

где F – это сила, действующая на тело;

Однако теперь мы знаем, что ускорение является второй производной от закона движения. В связи с этим его можно переписать в виде

И на самом деле в физике значительно чаще используется именно такая его формулировка. Это лишний раз подтверждает значимость понятия производной.

Источник

Вам также может понравиться

Бухгалтерские термины и определения

ПРОЦЕДУРЫ ОТКЛЮЧЕНИЯ Процессы, обеспечивающие изоляцию

Происхождение слова «вокзал»

О том, что представляют собой современные вокзалы

Этимология слова «сланцы»

Сланцы — летняя открытая обувь, особенно популярная