- Шестиугольник, виды, свойства и формулы
- Шестиугольник, виды, свойства и формулы.
- Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:
- Правильный шестиугольник (понятие и определение):
- Свойства правильного шестиугольника:
- Правильный шестиугольник
- Содержание
- Свойства
- Построение
- Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре
- Примечания
- Смотрите также
- Ссылки
- Полезное
- Смотреть что такое «Правильный шестиугольник» в других словарях:
- Правильный шестиугольник и его свойства
- Определение и построение
- Свойства простые и интересные
- Описанная окружность и возможность построения
- Вписанная окружность
- Периметр и площадь
- Занимательные построения
- От теории к практике
Шестиугольник, виды, свойства и формулы
Шестиугольник, виды, свойства и формулы.
Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.
Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:
Шестиугольник – это многоугольник с шестью углами.
Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.
Шестиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно выпуклый шестиугольник – это шестиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 1. Выпуклый шестиугольник
Рис. 2. Невыпуклый шестиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 720°.
.
Правильный шестиугольник (понятие и определение):
Правильный шестиугольник (гексагон) – это правильный многоугольник с шестью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.
Рис. 3. Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник имеет 6 сторон, 6 углов и 6 вершин.
Углы правильного шестиугольника образуют шесть равносторонних треугольников .
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.
Свойства правильного шестиугольника:
1. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой.
2. Все углы равны между собой и составляют 120°.
Рис. 4. Правильный шестиугольник
3. Сумма внутренних углов любого правильного шестиугольника равна 720°.
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного шестиугольника O.
Рис. 5. Правильный шестиугольник
5. Количество диагоналей правильного шестиугольника равно 9.
Рис. 6. Правильный шестиугольник
6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.
Рис. 7. Правильный шестиугольник
7. Правильные шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
8. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника и его сторона равны.
Источник
Правильный шестиугольник
Содержание
Свойства
- Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности (
), поскольку
.
- Все углы равны 120°.
- Радиус вписанной окружности равен:
- Периметр правильного шестиугольника равен:
- Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:
- Шестиугольники замещают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
- Правильный шестиугольник со стороной
является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной
(лемма Пала) [1] .
Построение
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре
- Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники.
- Некоторые сложные молекулы углерода (напр., графит) имеют гексагональную кристаллическую решётку.
- Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
- Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
- Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
- Гексаграмма — шестиконечная звезда, образованная двумя равносторонними треугольниками. Является, в частности, символом иудаизма.
- Контур Франции напоминает правильный шестиугольник, поэтому он является символом страны.
Примечания
Смотрите такжеСсылки
Wikimedia Foundation . 2010 . ПолезноеСмотреть что такое «Правильный шестиугольник» в других словарях:Шестиугольник — Правильный шестиугольник Шестиугольник многоугольник с шестью углами. Также шестиугольником называют всякий предмет такой формы. Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника р … Википедия Шестиугольник Сатурна — Гексагональное устойчивое атмосферное образование на северном полюсе Сатурна, открытое аппаратом Вояджер 1 и наблюдаемое снова в 2006 году а … Википедия Правильный многоугольник — Правильный семиугольник Правильный многоугольник это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны . Определение правильного многоугольника может зависеть от определения … Википедия Правильный семиугольник — Правильный семиугольник это правильный многоугольник с семью сторонами. Содержание … Википедия Правильный треугольник — Правильный треугольник. Правильный (или равносторонний) треугольник это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны … Википедия Правильный девятиугольник — это правильный многоугольник с девятью сторонами. Свойства Правиль … Википедия Правильный 17-угольник — Правильный семнадцатиугольник геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание 1… … Википедия Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание … Википедия Правильный восьмиугольник — (октагон) геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов и все углы и стороны равны между собой … Википедия Правильный 65537-угольник — 65537 угольник или окружность? Правильный 65537 угольник (шестѝдесятипятиты̀сячпятисо̀ттридцатисемиугольник) геометрическая фигура из группы правильных многоугольников, состоящая из 65537 … Википедия Источник Правильный шестиугольник и его свойства
Определение и построениеПравильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов. Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°. Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки. Пошаговая инструкция будет выглядеть так:
При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей. Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже. Свойства простые и интересныеЧтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников: Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:
Описанная окружность и возможность построения
Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности. После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона: R=а. Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки. Ну а площадь этой окружности будет стандартная: S=πR² Вписанная окружность
Высота равностороннего треугольника вычисляется просто: h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2 А поскольку R=a и r=h, то получается, что r=R(√3)/2. Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника. Ее площадь будет составлять: S=3πa²/4, то есть три четверти от описанной. Периметр и площадьС периметром все ясно, это сумма длин сторон: P=6а, или P=6R
S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или S=3R²(√3)/2 Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так: Занимательные построенияВ гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну: Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:
Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:
Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона: d=а(√3)/3 Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности: r₂=а/2 Площадь нового шестиугольника можно посчитать так:
От теории к практике
Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные: Выпускается и бетонная плитка для мощения.
Источник |