Октаэдр что это значит

Октаэдр и площадь полной его поверхности: описание, формулы, примеры

Содержание:

Существует несколько способов определить площадь поверхности октаэдра. Он представляет собой один из пяти правильных многоугольников или так называемых Платоновых тел. Имеет восемь одинаковых граней (поверхностей) в виде равносторонних треугольников, к каждой из его вершин прилагается по четыре грани. Рассмотрим, что собой представляет тело, где встречается в природе, как вычисляется его площадь и объём.

Что такое октаэдр

Свойства октаэдра

1. В тело вписывается куб, вершины которого находятся в центрах граней куба.

1. Симметрия куба и вписанного (описанного) октаэдра совпадают.

1. Двойственен кубу.

1. Является полным усечением тетраэдра.

1. Имеет равные ребра и диагонали.

1. Состоит из равносторонних треугольников.

1. Диагонали тела взаимоперпендикулярны, в точке пересечения делятся на равные отрезки.

1. Октаэдр симметричен, причём 3 оси пролегают через противоположные вершины, 6 – через центры ребер.

1. Центр симметрии тела расположен в точке пересечения диагоналей.

1. Ребра равны по длине, поверхности – по площади.

Математические характеристики тела

Как вычислить площадь поверхности октаэдра

Площадь октаэдра равна сумме площадей составляющих его треугольников:

Здесь S_треуг – площадь треугольника.

После подстановки значения получится требуемый результат.

Если известна длина ребра, придётся вычислить площадь треугольников.

Подставляем значение в первое выражение:

Упрощаем: после сокращения дроби на четыре получается формула площади поверхности октаэдра:

2. S = 8 * S_треуг = 2 \sqrt <3>a^2.

Существует ещё один способ проведения вычислений. Он менее точный чем предыдущие, однако позволяет обойтись без калькулятора. При приблизительном подсчёте 2 \sqrt <3>равняется 3,464 или 3,46.

Здесь a – длина стороны треугольника (равны).

Для примера, имеется фигура октаэдр с длиной стороны 5 см.

S=2\sqrt <3>a^2=2*\sqrt <3>*5^2=2*\sqrt <3>*25=50\sqrt <3>\approx 86,6 см.

Как вычислить объём правильного октаэдра

Объём показывает размер внутреннего пространства геометрического тела. Объем правильного октаэдра вычисляется, если знаете длину ребра геометрического тела, по формуле:

После проведения приблизительных расчётов \frac<\sqrt 2> <3>\approx 0,47 формула принимает следующий вид :

Рассчитаем двумя методами на примере правильного многоугольника с гранью, равной 5 см:

V= 0,47 * a^3 = 0,47*125 \approx 58,93

Значения совпали, во втором случае нужно выполнять гораздо меньше операций. Подходит он только, если не требуется исключительная точность – при округлении до 4-5 знаков после запятой точность снизится.

Развёртка

Октаэдр, как большинство гомерических тел, имеет развёртку поверхности – это плоская фигура, полученная путём совмещения поверхности модели с одной плоскостью без пересечения либо наложения граней друг на друга.

Рисунок развёртки октаэдра.

В природе насчитывается 11 разновидностей развёртки октаэдра, позволяющих создать его модель из бумаги или картона. Наиболее распространённая выглядит как восемь одинаковых треугольников. Шесть из них размещено в ряд, к третьему и четвёртому основаниям прилегает ещё по одному, их вершины направлены в противоположные стороны.

Источник

Октаэдр

Октаэдр
Тип	Правильный многогранник
Грань	треугольник
Граней
Рёбер
Вершин
Граней при вершине
Длина ребра
Площадь поверхности
Объём
Радиус описанной сферы
Радиус вписанной сферы
Точечная группа симметрии	Октаэдрическая (Oh)
Двойственный многогранник	Куб

Окта́эдр (греч. οκτάεδρον , от греч. οκτώ , «восемь» и греч. έδρα — «основание») — один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел.

Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Если длина ребра октаэдра равна а, то площадь его полной поверхности (S) и объём октаэдра (V) вычисляются по формулам:

Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

,

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

Правильный октаэдр имеет симметрию O_h, совпадающую с симметрией куба.

Октаэдр в природе

• Многие природные кубическиекристаллы имеют форму октаэдра. Это алмаз, хлорид натрия, перовскит, оливин, флюорит, шпинель.
• Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов (никеле, меди, магнии, титане, лантане и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, сфалерит, вюрцит и др.).

Источники

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Октаэдр» в других словарях:

ОКТАЭДР — геометр. тело, ограниченное 8 равносторонними треугольниками. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ОКТАЭДР греч. oktaedros, от okto, восемь, и hedra, основание. Восьмигранник. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

октаэдр — многогранник, восьмигранник Словарь русских синонимов. октаэдр сущ., кол во синонимов: 2 • восьмигранник (2) • … Словарь синонимов

октаэдр — а, м. octaèdre m. < octaedron. Правильный восьмигранник, тело, ограниченное восемью треугольниками. СИС 1954. В октаедрах. Витт Пром. хим. 1848 2 187. Из кристаллических форм <металлов> преобладают кубы и в особенности октаэдры. МБ 1900… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ОКТАЭДР — (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Современная энциклопедия

ОКТАЭДР — (от греч. okto восемь и hedra грань) один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Большой Энциклопедический словарь

ОКТАЭДР — ОКТАЭДР, октаэдра, муж. (от греч. okto восемь и hedra основание). Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

октаэдр — одна из форм структурной организации вирусов (бактериофагов), вирионы которых представляют собой правильный многогранник с 8 гранями и 6 вершинами. (Источник: «Микробиология: словарь терминов», Фирсов Н.Н., М: Дрофа, 2006 г.) … Словарь микробиологии

ОКТАЭДР — [όχτώ (ξкто) восемь; έδρα (γедра) грань] замкнутый восьмигранник с гранями в виде правильных треугольников. Символ О. <111>. См. Формы кристаллов простые высшей (кубической) сингонии.… … Геологическая энциклопедия

октаэдр — — [Англо русский геммологический словарь. Красноярск, КрасБерри. 2007.] Тематики геммология и ювелирное производство EN octahedron … Справочник технического переводчика

Октаэдр — (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра). … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Источник

Значение слова «октаэдр»

ОКТА́ЭДР, -а, м. Мат. Тело, ограниченное восемью плоскостями; восьмигранник.

[От греч. ’οκτώ — восемь и ‛έδρα — основание, поверхность, сторона]

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

• Октаэдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα — «основание») — многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр является одним из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел; грани правильного октаэдра — восемь равносторонних треугольников.

Правильный октаэдр двойственен кубу. Он является полным усечением тетраэдра. Правильный октаэдр является квадратной бипирамидой в любом из трёх ортогональных направлений. Он также является треугольной антипризмой в любом из четырёх направлений.

Октаэдр — трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр.

Правильный октаэдр является трёхмерным шаром в метрике городских кварталов.

ОКТА’ЭДР, а, м. [от греч. oktō — восемь и hedra — основание]. Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

окта́эдр

1. геометр. выпуклый правильный многогранник, имеющий восемь треугольных, в виде равностороннего треугольника, граней

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.

Насколько понятно значение слова прощелыга (существительное):

Источник

Многогранники
Правильные (Платоновы тела)	Трёхмерные Правильный тетраэдр • Куб • Октаэдр • Додекаэдр • Икосаэдр Четырёхмерные 6 правильных многогранников Большей размерности N-мерный куб • N-мерный октаэдр • N-мерный тетраэдр
Звёздчатый додекаэдр • Звёздчатый икосододекаэдр • Звёздчатый икосаэдр • Звёздчатый многогранник • Звёздчатый октаэдр
Выпуклые	Архимедовы тела Кубооктаэдр • Икосододекаэдр • Усечённый тетраэдр • Усечённый октаэдр • Усечённый икосаэдр • Усечённый куб • Усечённый додекаэдр • Ромбокубоктаэдр • Ромбоикосододекаэдр • Ромбоусечённый кубоктаэдр • Ромбоусечённый икосододекаэдр • Курносый куб • Курносый додекаэдр • Усечённый кубооктаэдр • Усечённый икосододекаэдр • Правильная призма • Антипризма Каталановы тела Ромбододекаэдр • Ромботриаконтаэдр • Триакистетраэдр • Тетракисгексаэдр • Пентакисдодекаэдр • Триакисоктаэдр • Триакисикосаэдр • Дельтоидальный икоситетраэдр • Дельтоидальный гексеконтаэдр •Пентагональный икоситетраэдр • Пентагональный гексеконтаэдр • Дисдакисдодекаэдр • Дисдакистриаконтаэдр Без полной пространственной симметрии Пирамида • Призма • Бипирамида • Антипризма • Зоноэдр • Параллелепипед • Ромбоэдр •Призматоид• Усечённая пирамида• Пентагондодекаэдр • Параллелоэдр
Формулы, теоремы, теории