Корни первой кратности что значит
Разделы 
Дополнительно
Алгебраическим уравнением степени $n$ с одной неизвестной $x$ называется уравнение вида
$P_n(x) = a_0 x^n + a_1 x^
(т. е. уравнение $f(x) = 0$, в левой части которого стоит ц. р. ф степени $n$ от $х$).
Для алгебраических уравнений принято ставить задачу отыскания всех (вообще говоря, комплексных) корней уравнения. Так как корнями уравнения (1) являются нули (корни) многочлена в его левой части, то можно использовать сведения о целых рациональных функциях и их корнях. Утверждение формулируются применительно к уравнению (1) следующим образом:
1) Каждое уравнение степени $n$ имеет по меньшей мере один корень в комплексной области. Если каждый корень учитывать с его кратностью, т. е. считать за столько корней, какова его кратность, то число корней уравнения равно его степени $n$. При этом говорят, что $x = \alpha$ — корень кратности $k$, если левая часть уравнения делится на $(x — \alpha)^k$ нацело, но не делится нацело на $(x — \alpha)^
2) Если уравнение (1) имеет комплексный (мнимый) корень $x = \sigma + i \tau$, то и комплексно сопряженное число $\bar <х>= \sigma — i \tau$ является корнем уравнения (кратности обоих сопряженных корней одинаковы).
На протяжении столетий главной задачей алгебры было указание правил решения алгебраических уравнений. С древности известны формулы для решения уравнений первой и второй степени. Итальянскими математиками эпохи Возрождения (Кардано, Тарталья, Феррари) были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени (они громоздки и не имеют большого практического значения). Попытки решения «в радикалах» (т. е. с применением действия извлечения корня) уравнений степени выше четвертой были в общем случае безуспешны. Уже в XIX веке в работах Руффини, Абеля и Галуа было установлено, что не только для корней общего уравнения степени выше четвертой не может быть дано формул, выражающих их в радикалах, но и что корни многих конкретных уравнений с числовыми (например, целыми) коэффициентами не могут быть выражены через радикалы из рациональных чисел.
Источник
Кратные корни многочленов
Пусть p(x) – многочлен степени n , а q(x) – многочлен степени n – k , где n и k – натуральные числа, удовлетворяющие неравенству 
.
Определение . Число α называют корнем кратности k многочлена p(x) , если справедливо равенство
| p(x) = (x – α) k q (x) , | (1) |
Утверждение 1 . Число α является корнем кратности k многочлена p(x) тогда и тогда, когда оно является корнем производной этого многочлена кратности k – 1 .
Доказательство . Взяв производную от обеих частей формулы (1), получаем
Поскольку выражение, стоящее в квадратных скобках, при x = α не обращается в нуль, то утверждение 1 доказано.
Из утверждения 1 вытекает следующее
Утверждение 2 . Число α является корнем кратности k многочлена p(x) тогда и тогда, когда выполнены равенства:
Задача . Найти все значения параметра m , при которых многочлен
имеет корень кратности 2 .
Решение . Воспользовавшись утверждением 2, получаем
Источник
Кратный корень
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .
Смотреть что такое «Кратный корень» в других словарях:
кратный корень — алгебраического уравнения f(х) = а0хn + a1xn 1 + . + an = 0, такое число b, что f(х) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень m двучлена (х b); число m кратность корня b. * * * КРАТНЫЙ КОРЕНЬ КРАТНЫЙ КОРЕНЬ алгебраического… … Энциклопедический словарь
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ — алгебр. ур ния f(x) = а0хn + + а1хn 1 + . + ап = 0, такое число b, что f(x) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень т двучлена (х b); число т кратность корня b … Естествознание. Энциклопедический словарь
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ алгебраического — уравнения такое число b, что f(х) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень m двучлена (х b); число m кратность корня b … Большой Энциклопедический словарь
Основная теорема алгебры — утверждает, что Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Эквивалентная формулировка теоремы следующая: Поле комплексных чисел… … Википедия
Штурма правило — правило, позволяющее находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами. Дано в 1829 Ж. Ш. Ф. Штурмом. Для любого многочлена f(x) без… … Большая советская энциклопедия
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h постоянная, к целое).… … Математическая энциклопедия
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ — неособая полная алгебраическая кривая рода 1. Теория Э. к. является истоком большей части современной алгебраич. геометрии. Но исторически теория Э. к. возникла как часть анализа, как теория эллиптических интегралов и эллиптических функций.… … Математическая энциклопедия
КАТАСТРОФ ТЕОРИЯ — совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ.… … Физическая энциклопедия
БЮДАНА — ФУРЬЕ ТЕОРЕМА — число корней алгеб раич. уравнения заключенных в интервале равно или на четное число меньше, чем где число перемен знака в ряду производных многочлена в точке а, т. е. в ряду а число перемен знака в этом ряду в точке 6. При этом каждый кратный … Математическая энциклопедия
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение 2 й степени. Общий вид К. у. В поле комплексных чисел К. у. имеет два решения, выражающиеся в радикалах через коэффициенты этого уравнения: При b2>4ас оба решения К. у. действительные и различные, при b2 Математическая энциклопедия
Источник
Кратные корни многочлена
При рассмотрении вопроса о корнях многочлена, особо выделяют понятие кратных корней.
Определение. Пусть задан многочлен $f\left(x\right) \in P\left[x\right]$ ($P\left[x\right]$ — множество всех многочленов от буквы $x$ над полем $P$) и $\alpha$, где $\alpha$ — корень многочлена $f\left(x\right)$. Элемент $\alpha$ назовем $k$-кратным ($k \in \mathbb
Принято рассматривать понятие кратного корня для $k>1$. Если же $f\left(x\right)$ можно представить следующим образом: $$f\left(x\right)=\left(x-\alpha\right) f_<1>\left(x\right),\, f_<1>\left(\alpha\right) \ne 0,$$ то $\alpha$ называется простым (однократным) корнем многочлена$f\left(x\right)$. Если для $f\left(x\right)$ имеет место следующее равенство: $$f\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)^2 f_<1>\left(x\right),\, f_<1>\left(\alpha\right) \ne 0,$$ то $\alpha$ называется двукратным корнем многочлена $f\left(x\right)$. Аналогично, существуют корни трехкратные, четырехкратные и так далее.
Часто условие $f_<1>\left(\alpha\right) \ne 0$ заменяют на $f_<1>\left(x\right)\,\bar\vdots\,(x-\alpha)$. Эквивалентность этих условий вытекает из следствий теоремы Безу. Тогда, набор условий, что $f(x)\,\vdots\,\left(x-\alpha\right)^k$, но $f(x)\,\bar\vdots\,\left(x-\alpha\right)^
Процесс нахождения кратности корня
Пусть задан многочлен $f\left(x\right) \in P\left[x\right]$ и его корень $\alpha$ ( $\deg f\left(x\right) > 0$). Рассмотрим задачу о нахождении кратности корня $\alpha$.
Так как $\alpha$ — корень $f\left(x\right)$, то имеет место следующее представление: $$f\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)f_<1>\left(x\right).$$ Тогда, если $\alpha$ не является корнем $f_<1>\left(x\right)$ ($f_<1>\left(\alpha\right) \ne 0$), то, по определению, $\alpha$ — простой корень многочлена $f\left(x\right)$. В противном случае, $\alpha$ — $k$-кратный ($k \in \mathbb
Стоит упомянуть, что иногда удобней пользоваться критерием кратности корня.
Примеры решения задач
- Пусть задан многочлен $f\left(x\right)=x^3-3x^2+4$. Определить, является ли $2$ корнем многочлена $f(x)$. В случае положительного ответа найти его кратность.
Для решении задачи воспользуемся алгоритмом Горнера. Стоит обратить внимание на то, что хоть и слагаемое вида $a_<1>x^1$ отсутствует в записи, но нулевой коэффициент необходимо не забыть занести в таблицу.
| $1$ | $-3$ | $0$ | $4$ | |
| $2$ | $1$ | $-1$ | $-2$ | $0$ |
| $2$ | $1$ | $1$ | $0$ | |
| $2$ | $1$ | $3$ |
Из таблицы видно, что многочлен $f(x)$ поделился на $\left(x-2\right)^2$ без остатка, а на $\left(x-2\right)^3$ — нет. Получаем, что $2$ — двукратный корень многочлена $f(x)$.
Так как $\alpha$ — двукратный корень многочлена $f(x)$, то $f(x)$ представим в следующем виде: $$f\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)^2 f_<1>\left(x\right),$$где $f_<1>(\alpha) \ne 0$. Аналогично, $g(x)$ можно представить следующим образом: $$g\left(x\right)=\left(x-\alpha\right) g_<1>\left(x\right),$$где $g_<1>(\alpha) \ne 0$. Тогда, $$f(x)g(x)=\left(x-\alpha\right)^2f_<1>(x)(x-\alpha)g_<1>(x)=\left(x-\alpha\right)^3f_<1>(x)g_<1>(x).$$Так как $f_<1>(\alpha) \ne 0$ и $g_<1>(\alpha) \ne 0$, то $f_<1>(\alpha)g_<1>(\alpha)\ne0$. Обозначим $f(x)g(x)=h(x)$, $f_<1>(x)g_<1>(x)=h_<1>(x)$, тогда перепишем выражение многочлена $f(x)g(x)$ следующим образом: $$h(x)=\left(x-\alpha\right)^3h_<1>(x),$$ где $h_<1>(\alpha)\ne0$. Тогда по определению $\alpha$ — корень $f(x)g(x)$ третьей кратности.
Для решении задачи воспользуемся алгоритмом Горнера.
| $1$ | $5$ | $10$ | $10$ | $5$ | $1$ | |
| $-1$ | $1$ | $4$ | $6$ | $4$ | $1$ | $0$ |
| $-1$ | $1$ | $3$ | $3$ | $1$ | $0$ | |
| $-1$ | $1$ | $2$ | $1$ | $0$ | ||
| $-1$ | $1$ | $1$ | $0$ | |||
| $-1$ | $1$ | $0$ |
Из таблицы видно, что многочлен пятой степени $f(x)$ поделился на $\left(x+1\right)^5$ без остатка. Получаем, что $-1$ — корень пятой кратности.
По определению, для того, что бы $2$ была корнем второй кратности, необходимо что бы имело место следующее представление: $$f(x)=\left(x-2\right)^2f_<1>(x),\, f_<1>(2) \ne 0.$$С другой стороны, в нашем случае: $$f_<1>(x)=x^2+x-6=(x-2)(x+3),\, f_<1>(2)=0.$$ Получаем, что $2$ не корень второй кратности. Тогда найдем его кратность. Выразим $f(x)$ подставив $f_<1>(x)=(x-2)(x+3)$:$$f(x)=\left(x-2\right)^3(x+3)=\left(x-2\right)^3f_<2>(x),$$ $f_<2>(2)=(2+3)=5\ne0$. Значит, по определению, $2$ — корень многочлена $f(x)$ третьей кратности.
Представим исходный многочлен следующим образом: $$f(x)=x^4(x^4-8x^3+10x^2-1).$$
Обозначим $f_<1>(x)=x^4-8x^3+10x^2-1$. Легко убедиться, что $f_<1>(0)=-1\ne0$. Получаем, что, по определению кратного корня, $0$ — корень многочлена $f(x)$ четвертой кратности.
Источник
Критерий кратности корня
Теорема. Корень $\alpha$ многочлена $f(x)$ является его $k$-кратным корнем тогда и только тогда, когда он является корнем кратности $k-1$ его первой производной.
Так как мы работаем с критерием, то доказательство будет проведено в обе стороны.
Необходимость. Пусть $\alpha$ — $k$-кратный корень многочлена $f(x)$. Необходимо доказать, что $\alpha$ — корень кратности $k-1$ многочлена $f'(x)$. По определению кратного корня можно записать следующее:$$f(x)=\left(x-\alpha\right)^kf_<1>(x),\, f_<1>(x) \bar\vdots (x-\alpha).$$
Стоит отметить, что условия $f_<1>(x) \bar\vdots(x-\alpha)$ и $f(\alpha)\ne0$ являются эквивалентными по следствию теоремы Безу.
Дифференцируя $f(x)$, получаем: $$f'(x)=k\left(x-\alpha\right)^
Следовательно, $\alpha$ — корень кратности $k-1$ многочлена $f'(x)$ по определению кратного корня.
Достаточность. Теперь пусть $\alpha$ — корень многочлена $f(x)$ и корень кратности $k-1$ многочлена $f'(x)$. Тогда можно записать следующее: $$f(x)=(x-\alpha)f_<1>(x),$$ $$f'(x)=\left(x-\alpha\right)^
Пусть $k\geqslant2$. Тогда продифференцируем $f(x)$ и получим: $$f'(x)=f_<1>(x)+(x-\alpha)f’_<1>(x).$$Учитывая, что $f'(x)\,\vdots\,(x-\alpha)$, то и $f_<1>(x)\,\vdots\,(x-\alpha)$, иными словами, многочлен $f_<1>(x)$ можно представить так: $$f_<1>(x)=(x-\alpha)f_<2>(x).$$ Тогда $f(x)$ представляется в следующем виде: $$f(x)=\left(x-\alpha\right)^2f_<2>(x).$$ Теперь продифференцируем $f(x)$ в очередной раз, получим: $$f'(x)=2(x-\alpha)f_<2>(x)+\left(x-\alpha\right)^2f’_<2>(x).$$
Если $k=2$, тогда $\alpha$ — простой корень $f'(x)$, значит $f'(x)\bar\vdots\left(x-\alpha\right)^2$. Получаем, что $f_<2>(x)\bar\vdots(x-\alpha)$, потому $\alpha$ — двукратный корень $f(x)$.
Если же $k\geqslant3$, то $f'(x)\,\vdots\,\left(x-\alpha\right)^2$, тогда из текущего представления $f'(x)$ видно, что $f_<2>(x)\,\vdots\,(x-\alpha)$, значит $f_<2>(x)$ можно представить в следующем виде: $$f_<2>(x)=(x-\alpha)f_<3>(x).$$ Откуда $f(x)$ представляется как: $$f(x)=\left(x-\alpha\right)^3f_<3>(x).$$
Продолжая такой процесс, получим: $$f(x)=\left(x-\alpha\right)^
Примеры решения задач
- Используя критерий кратности корня, найти кратность корня $-1$ многочлена $f(x)=x^3-3x-2$.
Продифференцируем $f(x)$, получим: $$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$
Учитывая, что $-1$ — простой корень $f'(x)$ и $f(-1)=0$, тогда, по критерию кратности корня, $-1$ — корень второй кратности многочлена $f(x)$.
Продифференцируем $f(x)$, получим: $$f'(x)=3x^2-14x+15.$$ Легко проверить, что $f'(3)=27-42+15=0$. Теперь продифференцируем $f'(x)$, получим: $$f^<\prime\prime>(x)=6x-14.$$ Подставляя $3$ имеем $f^<\prime\prime>(3)=4\ne0$. Значит $3$ — простой корень $f'(x)$. Так как $3$ — корень $f(x)$ и простой корень $f'(x)$, то, пользуясь критерием, получаем, что $3$ — корень второй кратности многочлена $f(x)$.
Продифференцируем $f(x)$, получим: $$f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4.$$Значит $g(x)=f'(x)$, тогда, пользуясь критерием кратности корня, если $1$ — корень четвертой кратности многочлена $f(x)$, то $1$ — корень третьей кратности многочлена $f'(x)$.
Пользуясь критерием кратности корня, $\alpha$ — корень второй кратности многочлена $f'(x)$. Тогда имеют место следующие равенства: $$f'(x)=\left(x-\alpha\right)^2h_<1>(x),\, h_<1>(\alpha)\ne0,$$ $$g(x)=\left(x-\alpha\right)^2h_<2>(x),\, h_<2>(\alpha)\ne0.$$Тогда $l(x)$ можно представить в следующем виде: $$l(x)=\left(x-\alpha\right)^4h_<1>(x)h_<2>(x)=\left(x-\alpha\right)^4h(x),\, h(\alpha)\ne0.$$Получаем, что $\alpha$ — корень четвертой кратности многочлена $l(x)$.
По критерию кратности корня, $\alpha$ — корень шестой кратности многочлена $f'(x)$. Рассуждая аналогично, можем применить критерий кратности корня ещё раз и получить, что $\alpha$ — корень пятой кратности многочлена $f^<\prime\prime>(x)$. Применяя критерий в очередной раз, получаем результат, что $\alpha$ — корень четвертой кратности многочлена $f^<\prime\prime\prime>(x)$.
Источник
