Коэффициенты полинома что значат

Путеводитель по полиномам и сплайнам для программиста

Итак, вы программист. Зачем вам вообще могут понадобится полиномы? Например затем, что это хорошая геометрическая глина, из которой можно слепить разные вещи.

Из нашей статьи, объясняющей сущность математического анализа на примере python’а, крови и динамита, видно, что вы можете анализировать и синтезировать произвольные функции в качестве многочленов. Однако вовсе не обязательно работать именно с функциями. Иногда вам может понадобиться смоделировать сплайн из нескольких точек или свойств, вроде тангенсов кривых. Например, вам надо слепить какую-нибудь анимацию, или приятный видео эффект, или провести кривую, проходящую через определенные точки, или создать поверхность плоскую в одном месте и изогнутую в другом.

Многочлены, в том числе даже сплайновые, могут далеко не всегда оказаться лучшим инструментом для этой задачи, однако они обладают некоторыми чертами, которые программисты очень ценят. Они просты и универсальны по своей природе, а также, что особенно важно, очень эффективны с точки зрения производительности. Возьмем, например следующий полином:

Для его вычисления требуется всего 6 действий умножения и 3 сложения. Это важно, поскольку ваша модель будет постоянно подвергаться вычислениям. Но и здесь мы можем произвести оптимизацию. В этом нам поможет схема Горнера. С ее помощью тот же самый многочлен можно записать в виде

А это уже всего 3 умножения и 3 сложения. Вот видите, мы только начали, а вы уже научились избавляться от одной трети вычислений.

Полиномиальная интерполяция

Задача адаптации многолчена n-ной степени под n+1 точку пространства называется полиномиальной интерполяцией. Существует несколько способов ее реализации. Вы можете воспользоваться интерполяционными формулами Ньютона или Лагранжа, однако самый простой способ получения интерполяционного многочлена — решение системы линейных уравнений.

Если многочлен проходит через точку, значит, мы, очевидно, можем утверждать, что P(xi) = yi. Допустим, мы хотим адаптировать полином под набор из трех точек. Это означает, что:

В общем случае, мы не можем провести прямую через три произвольные точки. И потому нам придется искривить ее, сформировав параболу. Или, иными словами, ввести многочлен второй степени, также известный как квадратичная функция.

Поскольку xs и ys известны, нам остается только решить систему и узнать коэффициенты a, b, c, и поскольку эта система из трех уравнений и трех переменных, мы как правило можем получить одно единственное решение.

Чтобы убедиться в этом попробуйте переместить положение трех точек на нижнем графике и посмотрите, что произойдет.

Этот график также очень полезен для мысленного анализа линейных систем. В общем случае, уместить прямую линию в трех точках нельзя, равно как и нельзя найти решение для системы из n уравнений при n-1 неизвестных переменных. Но иногда это возможно. Например, в случаях, когда некоторые из точек совпадают или все они намерено расположены на одной прямой.

Обратная ситуация еще интереснее. Мы можем провести бесконечное количество парабол через две заданные точки. Все они одинаково подходят в качестве решения задачи. И в то же время мы не можем получить некое однозначно лучшее решение для систем из n уравнений и n+1 переменных.

Но что если это все-таки возможно? Что если мы можем ввести некоторый дополнительный критерий для выбора наиболее подходящего варианта?

Синтез

Подобные вопросы ведут нас на территорию полиномиального синтеза. В нашем случает это нечто среднее между полиномиальными рядами и полиномиальной интерполяцией. С помощью рядов мы можем смоделировать функцию на основе ее производных в некоторой точке, а с помощью синтеза — воспользоваться как точками, так и производными (и не только ими, но об этом в другой раз).

Производная функции тесно связана с геометрическими свойствами ее графика. Первая производная определяет тангенс угла наклона касательной, а вторая — кривизну.

Допустим нам необходимо определить функцию, проходящую через две точки, зная ее тангенс в обоих точках. В таком случае мы можем легко синтезировать ее в виде многочлена.

Как и ранее, нам понадобится записать систему уравнений. Теперь нам нужны четыре условия, поэтому нам следует выбрать многочлен 3 степени, то есть кубическую функцию.

Некоторые из уравнения сформированы на основе точек, а другие — производных. Сюда также можно добавлять и интегралы для введения необходимых свойств целочисленности, что делает эту технику довольно эффективной.

Но мы продолжим рассматривать функцию, соединяющую две точки непрерывной плавной прямой с тангенциальными ограничениям в этих точках.

Феномен Рунге

У полиномиальной интерполяции есть неприятное свойство, проявляющееся в увеличении роста осцилляций на обоих концах интервала с ростом количества точек. Это явление получило название феномен Рунге. Он ограничивает возможности применения простых полиномиальных интерполяций.

Другой недостаток этого подхода — его глобальность, то есть изменение всей функции вместе с малейшим изменением положения хотя бы одной точки. В сочетании с осцилляциями получается самый что ни есть хаос.

Узлы Чебышева

Один из способов борьбы с хаосом заключается в выборе специальной сетки для интерполяции — узлов Чебышева. Это специальные значения x, которые получаются путем деления полукруга с радиусом 1 на равные фрагменты и их проецирования на ось x.

Вообще, в этом приеме кроется определенное математическое волшебство, но с прагматической точки зрения, он предназначен для минимизации феномена Рунге. И хотя он не позволяет сделать интерполяцию совершенно предсказуемой, на отрезке (-1:1) все работает стабильно.

Конечно, вы можете расширить интервал по оси X настолько, насколько нужно с помощью одномерного аффинного преобразования. Не обязательно придерживаться отрезка (-1; 1).

Но интерполяция при этом сохраняет свою повсеместность. Изменение первой точки по-прежнему влияет на работу функции возле последней, хотя и не настолько существенно.

Сплайны

Существует довольно много разновидностей сплайнов, но всех их объединяет один сценарий применения. Как только глобальная интерполяция по какой-либо причине перестает годиться для наших задач, мы можем разделить наш интервал на более малые фрагменты и определить отдельные функции для интерполяции на каждом из них.

Единственное, что нам нужно учесть, так это необходимость их соединения на концах для сохранения непрерывности. Если мы гарантируем непрерывность не только итоговой, кусочно-заданной функции, но и ее первой производной, то в таком случае тангенсы каждого ее отрезка будут совпадать, а ее график будет выглядеть плавно.

Существует определенная классификация сплайнов. Например, возьмем полиномиальный сплайн, состоящий из двух фрагментов. Если каждый его фрагмент определяется полиномом третьей степени, то он называется кубическим. Он может обладать, например, таким свойством, как непрерывность первой производной, поскольку тангенсы на стыке фрагментов совпадают. Его фрагменты имеют не равную ширину. Он не естественного происхождения, поскольку мы можем управлять производными на его концах. И конечно же это интерполяционный сплайн, поскольку он проходит точно через указанные нами точки сетки.

Заключение

Вероятность того, что вам когда-либо придется реализовывать на практике собственную интерполяцию крайне мала. Существует много готовых решений и в большинстве случаев вам надо будет просто выбрать правильный инструмент для работы. Эта область знаний не так сложна, но количество неизвестных слов и названий может оттолкнуть.

Целью этого путеводителя было предоставить вам базовое понимание идей, используемых для работы с полиномами и сплайнами. Он ни в коем случае не претендует на полноту изложения, ведь на самом деле, по каждой из небольших глав этого материала написаны целые книги. Но мы надеемся, по крайней мере, что интерактивный подход к изложению в этом материале будет полезен не только для краткого ознакомления, но, если такая потребность возникнет, поможет вам освоить и более продвинутые темы.

Источник

3 способа расчета полинома в Excel.

Автор: Алексей Батурин.

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

• 1-й способ с помощью графика;
• 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН();
• 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

Подробнее о полиноме и способе его расчета в Excel далее в нашей статье.

Полиномиальный тренд применяется для описания значений временных рядов, попеременно возрастающих и убывающих. Полином отлично подходит для анализа большого набора данных нестабильной величины (например, продажи сезонных товаров).

Что такое полином? Полином — это степенная функция y=ax 2 +bx+c (полином второй степени) и y=ax 3 +bx 2 +cx+d (полином третей степени) и т.д. Степень полинома определяет количество экстремумов (пиков), т.е. максимальных и минимальных значений на анализируемом промежутке времени.

У полинома второй степени y=ax 2 +bx+c один экстремум (на графике ниже 1 максимум).

У Полинома третьей степени y=ax 3 +bx 2 +cx+d может быть один или два экстремума.

Один экстремум

Два экстремума

У Полинома четвертой степени не более трех экстремумов и т.д.

Как рассчитать значения полинома в Excel?

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

• 1-й способ с помощью графика;
• 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН;
• 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

1-й способ расчета полинома — с помощью графика

Выделяем ряд со значениями и строим график временного ряда.

На график добавляем полином 6-й степени.

Затем в формате линии тренда ставим галочку «показать уравнение на диаграмме»

После этого уравнение выводится на график y = 3,7066x 6 — 234,94x 5 + 4973,6x 4 — 35930x 3 — 7576,8x 2 + 645515x + 5E+06 . Для того чтобы последний коэффициент сделать читаемым, мы зажимаем левую кнопку мыши и выделяем уравнение полинома

Нажимаем правой кнопкой и выбираем «формат подписи линии тренда»

В настройках подписи линии тренда выбираем число и в числовых форматах выбираем «Числовой».

Получаем уравнение полинома в читаемом формате:

y = 3,71x 6 — 234,94x 5 + 4 973,59x 4 — 35 929,91x 3 — 7 576,79x 2 + 645 514,77x + 4 693 169,35

Из этого уравнения берем коэффициенты a, b, c, d, g, m, v, и вводим в соответствующие ячейки Excel

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение вместо X.

Рассчитаем значения полинома для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома y = 3,71x 6 — 234,94x 5 + 4 973,59x 4 — 35 929,91x 3 — 7 576,79x 2 + 645 514,77x + 4 693 169,35 в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см. статью как зафиксировать ссылки)

Получаем формулу следующего вида:

= R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

в которой коэффициенты тренда зафиксированы и вместо «x» мы подставляем ссылку на номер текущего временного ряда (для первого значение 1, для второго 2 и т.д.)

Также «X» возводим в соответствующую степень (значок в Excel «^» означает возведение в степень)

=R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3] ^5 +R4C8*RC[-3] ^4 +R5C8*RC[-3] ^3 +R6C8*RC[-3] ^2 +R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода.

2-й способ расчета полинома в Excel — функция ЛИНЕЙН()

Рассчитаем коэффициенты линейного тренда с помощью стандартной функции Excel =ЛИНЕЙН()

Для расчета коэффициентов в формулу =ЛИНЕЙН(известные значения y, известные значения x, константа, статистика) вводим:

• «известные значения y» (объёмы продаж за периоды),
• «известные значения x» (порядковый номер временного ряда),
• в константу ставим «1»,
• в статистику «0»

Получаем следующего вида формулу:

Теперь, чтобы формула Линейн() рассчитала коэффициенты полинома, нам в неё надо дописать степень полинома, коэффициенты которого мы хотим рассчитать.

Для этого в часть формулы с «известными значениями x» вписываем степень полинома:

• ^ <1:2:3:4:5:6>— для расчета коэффициентов полинома 6-й степени
• ^ <1:2:3:4:5>— для расчета коэффициентов полинома 5-й степени
• ^ <1:2>— для расчета коэффициентов полинома 2-й степени

Получаем формулу следующего вида:

Вводим формулу в ячейку, получаем 3,71 —- значение (a) для полинома 6-й степени y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v

Для того, чтобы Excel рассчитал все 7 коэффициентов полинома 6-й степени y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v, необходимо:

1. Установить курсор в ячейку с формулой и выделить 7 соседних ячеек справа, как на рисунке:

2. Нажать на клавишу F2

3. Затем одновременно — клавиши CTRL + SHIFT + ВВОД (т.е. ввести формулу массива, как это сделать читайте подробно в статье «Как ввести формулу массива»)

Получаем 7 коэффициентов полиномиального тренда 6-й степени.

Рассчитаем значения полиномиального тренда с помощью полученных коэффициентов. Подставляем в уравнение y=3,7* x ^ 6 -234,9* x ^ 5 +4973,5* x ^ 4 -35929,9 * x^3 -7576,7 * x^2 +645514,7* x +4693169,3 номера периодов X, для которых хотим рассчитать значения полинома.

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение полинома вместо X.

Рассчитаем значения полиномиального тренда для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см. статью как зафиксировать ссылки)

Получаем формулу следующего вида:

= R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

в которой коэффициенты тренда зафиксированы и вместо «x» мы подставляем ссылку на номер текущего временного ряда (для первого значение 1, для второго 2 и т.д.)

Также «X» возводим в соответствующую степень (значок в Excel «^» означает возведение в степень)

=R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3] ^5 +R4C8*RC[-3] ^4 +R5C8*RC[-3] ^3 +R6C8*RC[-3] ^2 +R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода.

2-й способ точнее, чем первый, т.к. коэффициенты тренда мы получаем без округления, а также этот расчет быстрее.

3-й способ расчета значений полиномиальных трендов — Forecast4AC PRO

Устанавливаем курсор в начало временного ряда

Заходим в настройки Forecast4AC PRO, выбираем «Прогноз с ростом и сезонностью», «Полином 6-й степени», нажимаем кнопку «Рассчитать».

Заходим в лист с пошаговым расчетом «ForPol6», находим строку «Сложившийся тренд»:

Копируем значения в наш лист.

Получаем значения полинома 6-й степени, рассчитанные 3 способами с помощью:

1. Коэффициентов полиномиального тренда выведенных на график;
2. Коэффициентов полинома рассчитанных с помощью функцию Excel =ЛИНЕЙН
3. и с помощью Forecast4AC PRO одним нажатием клавиши, легко и быстро.

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:

• Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel .
• 4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
• Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

• Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.

Источник