Если высоты двух треугольников равны то их площади относятся как основания что это значит

$$.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a₁и NB = b₁. Пусть S₁ = S_MBN и S₂ = S_ABC . Используя формулу площади треугольника вида $$S = \frac<1> <2>\cdot a \cdot b \cdot sin\gamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC и ▲MBN .

Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Свойство №3 Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$\angle ABC = \angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = \frac<1> <2>\cdot a \cdot b \cdot sin\gamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$\frac>> = \frac<\frac<1> <2>\cdot AB \cdot BC \cdot sin B><\frac<1> <2>\cdot MB \cdot NB \cdot sin B>= \frac = k^<2>$$ .

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = \frac<1><2>AC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = \frac<1><2>\cdot a \cdot h$$. Получим $$S_ = \frac<1><2>\cdot AM \cdot h$$ и $$S_ = \frac<1><2>\cdot MC \cdot h$$. Значит $$S_ = S_$$.

Свойство №6

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части. Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB , ▲BOC , ▲AOC . Пусть их площади равны соответственно S₁, S₂, S₃. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK , они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK — медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK равны. Отсюда следует, что S₁ = S₂ . Аналогично можно доказать, что S₂ = S₃ и S₃ = S₁ .

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . NM — средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если S_ABC = S , то $$S_ = \frac<1> <2>\cdot NM \cdot h_<1>= \frac<1><2>(\frac<1> <2>\cdot AC)(\frac<1><2>\cdot h) = \frac<1><4>\cdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC .

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Источник

Урок геометрии по теме «Решение задач с использованием свойств площадей». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цель: Освоение различных путей поиска решения задач с использованием свойств площадей.

Ход урока:

І. Устная работа.

На прошлом уроке, ребята, мы с вами доказывали теорему о площади треугольника, вывели формулу площади треугольника и учились решать задачи с помощью этой формулы. Сегодня мы рассмотрим способы решения задач нахождения площади треугольника с использованием свойств площадей.

Вопрос: Какие две фигуры называются равными?

— Две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Вопрос: Какими свойствами площадей обладают равные многоугольники?

— Равные многоугольники имеют равные площади.
— Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Вопрос: Можете ли вы привести пример равновеликих (имеющих равные площади) многоугольников, один из которых можно разрезать на части, из которых можно сложить другой?

— На стенде “К уроку” прикрепляются многоугольники:

• прямоугольник, из которого получается равновеликий параллелограмм:

• параллелограмм, из которого получается равновеликий треугольник:

• трапеция, из которой получается равновеликий параллелограмм:

Вопрос: Можете ли вы пояснить, как именно нужно разрезать вторую и третью фигуры?

Вопрос: Посмотрите, пожалуйста, на доску. Какие свойства площадей треугольников иллюстрируют эти рисунки?

— Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы .
— Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания .

ІI. Вывод двух новых свойств площадей для решения задач.

Теперь, ребята, выведем ещё 2 свойства площадей треугольников, решая задачи №473, 474 из учебника [1]. Вызываются по очереди два ученика к доске.

Вопрос: Можете ли вы прочитать формулировку этой задачи как свойство площади треугольника?

№473: “Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь треугольника не изменится.

Условие задачи: “Через вершину треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите. что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади”.

№474: “Медиана треугольника делит его на два равновеликих (имеющих равные площади) треугольника”.

Условие задачи: “Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой”.

ІІІ. Применение изученного для решения задач, выбор способа решения.

Откройте дидактику [2] С11(2), вар.3 (на доске готовый чертёж, решаем устно)

Условие задачи: “В прямоугольном треугольнике АВС точка О – середина медианы СН, проведенной к гипотенузе АВ, АС = 6см, ВС = 8см. Найдите площадь треугольника ОВС”.

Решим из [2] С11(2), вар.2 у доски.

Условие задачи: “На стороне АС треугольника АВС с площадью 36 см 2 взята точка D,

AD : DC = 1 : 5. Найдите площадь треугольника ABD”.

1 способ

1)

Т.к. , то

2)

2 способ

Если высоты двух треугольников равны, то .

Поэтому

ІV. Дополнительное задание.

В оставшееся время работаем по карточкам.

Задание карточки: Проведите все высоты треугольника. Отметьте их h1, h2, h3. (Задаются различные виды треугольников: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные)

1. С11(2), вар.4. из [2] решить тремя способами. Это задание разбирается по готовому чертежу устно одним из способов, увиденным учащимися.

Условие задачи: “В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали АС взята точка М так, что АМ : МС = 4 : 1. Найдите площадь треугольника AMD”.

2. Дополнительная задача: “Докажите, что медианы треугольника делят его на три равновеликих треугольника”.

Использованная литература:

1. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений/Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., М: Просвещение, 2006;
2. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса/Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, М: Просвещение, 2005.

Источник

Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту (основание)

Разделы: Математика

Цели урока:

• Сформировать умение использовать формулу площади треугольника при решении задач;
• Рассмотреть ключевые задачи об отношении площадей треугольников, имеющих общую высоту (основание). Познакомить учащихся с методами решения задач по теме.

Оборудование урока:

• Компьютер.
• Мультимедийный проектор.
• Экран.

Раздаточный материал.

• карточки с вопросами для опроса по домашнему заданию;
• презентация к уроку (Приложение 1);
• карточки для выполнения самостоятельной работы.

Этапы урока

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания (усвоение материала предыдущего урока)
3. Закрепление ранее изученного материала
4. Самостоятельная работа обучающего характера
5. Постановка домашнего задания.
6. Подведение итогов урока.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщаем тему урока. Поясняем важность рассматриваемого на уроке материала, говорим о том, что сведения последних уроков по площадям имеют широкое применение, сегодня на уроке используем их при решении задач.

Для эффективности работы в начале проверим домашнее задание и повторим изученный теоретический материал.

2. Проверка домашнего задания

Опрос учащихся у доски:

• доказательство теоремы о площади ?.
• доказательство следствий из неё
• решение номеров домашнего задания.

В это время с классом работаем устно, по слайдам заранее подготовленной презентации.

3) Если AM=MC, то сравните площади этих треугольников.

Записать вывод в тетрадь:

Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника, и площадь каждого из которых равна половине площади данного треугольника.

ВМ – медиана АВC

ВК – медиана АВМ

Найдите отношение площадей

5) Известно, что S_ABС=20см 2 (по условию предыдущего задания)

Чему равно отношение площадей двух треугольников, имеющих общее основание?

Записываем вывод в тетради:

Площади треугольников, имеющих общее основание, относятся как высоты, проведенные к основанию.

Далее заслушиваем и обсуждаем теоретические ответы учащихся по ДЗ.

3. Закрепление ранее изученного материала.

1. Выполняем задание №40 стр. 18-19 рабочей тетради по геометрии для 8 кл.

На рисунке точка М делит сторону АС АВС в отношении АМ : МС = 2 : 3

Площадь АВС равна 180 см 2 . Найдите площадь треугольника АВМ.

2. Решаем задачу №475 учебника.

Начертите АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

Обсуждаем решение, используя слайды презентации

4. н/о (если позволяет время)

Данный параллелограмм разделите на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.

Аналогично, ВВ₂ делит DВС на треугольники, имеющие одну высоту, их площади относятся как основания DB₂ : B₂C = 1 : 2 => Алгоритм построения: разделить каждую из сторон AD и DC параллелограмма в отношении 2 :1, считая от вершин А и С.

4. Самостоятельная работа обучающего характера

Вариант -1

1) СК – медиана АВС

S_СКВ = 32 см 2 . Найти S_ABС

2) S_КDM = 40 см 2

На стороне КМ отмечена точка А так, что КА : АМ = 2 :3

Вариант — 2

1) АМ – медиана АВС, площадь которого 48 см 2

Найти площадь АМС

2) S_DРК = 60 см 2

На стороне DК отмечена точка А так, что DА : АK = 3 :1

5. Постановка домашнего задания

Д.З. по учебнику стр. 124-125 № 473; 506; 511(а)

6. Подведение итогов урока

Литература

1. Геометрия 7-9. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др./ “ Просвещение”, ОАО “Московский учебник”,М., 2008;

2. Рабочая тетрадь для 8 кл. об/об учреждений. Геометрия. / Атанасян Л.С. и др. / “Просвещение”, М, 2005;

2. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. / Геометрия: Задачник к школьному курсу М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998.

Источник