Единичная сфера что это значит

единичная сфера

Большой англо-русский и русско-английский словарь . 2001 .

Смотреть что такое «единичная сфера» в других словарях:

Единичная окружность — Единичная окружность это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n мерного пространства ( ). В таком случае используется термин «единичная сфера». Для всех точек на… … Википедия

БЕНДИКСОНА СФЕРА — сфера в вещественном анализе, к рая в теории функций комплексного переменного известна как Римана сфера. Пусть е : есть единичная сфера в евклидовом пространстве и ее северный и южный полюсы, соответственно; и касательные плоскости к в точках ,… … Математическая энциклопедия

Гиперсфера — Стереографическая проекция поверхности 3 сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3 сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исход … Википедия

БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО — В пространство, полное нормированное векторное пространство. Исходными для создания теории Б. п. послужили введенные (в 1904 18) Д. Гильбертом (D. Hilbert), М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функциональные пространства. Именно в этих… … Математическая энциклопедия

ЛОРЕНЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — преобразование координат, связывающее две галилеевы системы координат в каком либо псевдоевклидовом пространстве;иными словами, Л. п. сохраняет квадрат т. н. интервала событий. Л. п. является аналогом ортогональных преобразований (или обобщением… … Математическая энциклопедия

ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТЬ — в непосредственном понимании Двумерная поверхность трехмерного евклидова пространства, к рая в каждой своей точке имеет отрицательную гауссову кривизну К Математическая энциклопедия

СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее искомую функцию под знаком несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши. В зависимости от размерности многообразия, по к рому распространены интегралы, различают одномерные и многомерные С. и. у. По сравнению… … Математическая энциклопедия

СФЕР ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ — объект изучения классич. теории гомотопий. Вычисление С. г. г. в свое время (особенно в 50 х гг.) рассматривалось как одна из центральных задач топологии. Топологи надеялись, что эти группы удастся полностью вычислить и что с их помощью можно… … Математическая энциклопедия

Единичный квадрат — квадрат в прямоугольных координатах, левый нижний угол которого находится в начале координат и имеет длины сторон по единице. The unit square in the real plane. Значит, его вершины имеют координаты … Википедия

Единичный куб — Единичный куб это куб, длина ребра которого равна 1. Иногда требуют также чтобы одна вершина находилась в начале координат и все рёбра были параллельны осям системы координат. Объем единичного куба 1, площадь поверхности 6. Unit … Википедия

Теорема Куранта-Фишера — линейный самосопряженный оператор действующий в конечномерном комплексном или действительном просторанстве, единичная сфера. ортонормированный базис пространства … Википедия

Источник

Единичная сфера

В математике , А единичная сфера просто сфера из радиуса одного вокруг заданного центра . В более общем смысле, это набор точек на расстоянии 1 от фиксированной центральной точки, где различные нормы могут использоваться как общие понятия «расстояния». Единичный шар представляет собой замкнутое множество точек на расстоянии меньше или равно 1 из неподвижной центральной точки. Обычно центр находится в начале пространства, поэтому говорят о «единичном шаре» или «единичной сфере». Частными случаями являются единичный круг и единичный диск .

Важность единичной сферы заключается в том, что любую сферу можно преобразовать в единичную с помощью комбинации перемещения и масштабирования . Таким образом, свойства сфер в целом могут быть сведены к изучению единичной сферы.

СОДЕРЖАНИЕ

Единичные сферы и шары в евклидовом пространстве [ править ]

В евклидове пространства из п размеры, ( п — 1) мерная единичная сфера является множеством всех точек , удовлетворяющих уравнению ( Икс 1 , … , Икс п ) <\ displaystyle (x_ <1>, \ ldots, x_ )>

Икс 1 2 + Икс 2 2 + ⋯ + Икс п 2 знак равно 1. <\ displaystyle x_ <1>^ <2>+ x_ <2>^ <2>+ \ cdots + x_ ^ <2>= 1.>

П — мерный единичный открытый шар множество всех точек , удовлетворяющее неравенству

Икс 1 2 + Икс 2 2 + ⋯ + Икс п 2 1 , <\ displaystyle x_ <1>^ <2>+ x_ <2>^ <2>+ \ cdots + x_ ^ <2>

а n- мерный замкнутый единичный шар — это множество всех точек, удовлетворяющих неравенству

Икс 1 2 + Икс 2 2 + ⋯ + Икс п 2 ≤ 1. <\ displaystyle x_ <1>^ <2>+ x_ <2>^ <2>+ \ cdots + x_ ^ <2>\ leq 1.>

Формулы общей площади и объема [ править ]

Классическое уравнение единичной сферы — это уравнение эллипсоида с радиусом 1 и без изменений осей x , y или z :

ж ( Икс , y , z ) знак равно Икс 2 + y 2 + z 2 знак равно 1 <\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ <2>+ y ^ <2>+ z ^ <2>= 1>

Объем единичного шара в n- мерном евклидовом пространстве и площадь поверхности единичной сферы фигурируют во многих важных формулах анализа . Объем единичного шара в n измерениях, который мы обозначаем V _n , можно выразить с помощью гамма-функции . это

V п знак равно π п / 2 Γ ( 1 + п / 2 ) знак равно < π п / 2 / ( п / 2 ) ! я ж п ≥ 0 я s е v е п , π ⌊ п / 2 ⌋ 2 ⌈ п / 2 ⌉ / п ! ! я ж п ≥ 0 я s о d d , <\ displaystyle V_ = <\ frac <\ pi ^ > <\ Gamma (1 + n / 2)>> = <\ begin <\ pi ^ > / <(n / 2)!>& \ mathrm

> n \ geq 0 \ mathrm <

> n \ geq 0 \ mathrm <

odd,> \ end >>

Гиперобъем ( n — 1) -мерной единичной сферы ( т. Е. «Площадь» границы n- мерного единичного шара), который мы обозначим A _n , можно выразить как

А п знак равно п V п знак равно п π п / 2 Γ ( 1 + п / 2 ) знак равно 2 π п / 2 Γ ( п / 2 ) , <\ displaystyle A_ = nV_ = <\ frac > <\ Gamma (1 + n / 2)>> = <\ frac <2 \ pi ^ > <\ Gamma (n / 2)>> \ ,,>

где последнее равенство выполняется только при n > 0 .

Площади поверхности и объемы для некоторых значений следующие: п <\ displaystyle n>

где десятичные развернутые значения для n ≥ 2 округлены до отображаемой точности.

Рекурсия [ править ]

Значения A _n удовлетворяют рекурсии:

Значения V _n удовлетворяют рекурсии:

Дробные размеры [ править ]

Формулы для A _n и V _n могут быть вычислены для любого действительного числа n ≥ 0, и есть обстоятельства, при которых уместно искать площадь сферы или объем шара, когда n не является неотрицательным целым числом.

Другие радиусы [ править ]

Площадь поверхности ( n –1) -мерной сферы радиуса r равна A _n r n −1, а объем n- мерного шара радиуса r равен V _n r n . Например, для поверхности трехмерного шара радиуса r площадь равна A = 4 π r 2 . Объем V = 4 π г 3 /3 для трехмерного шара радиуса г .

Единичные шары в нормированных векторных пространствах [ править ]

Точнее, открытый единичный шар в нормированном векторном пространстве с нормой есть V <\displaystyle V> ‖ ⋅ ‖ <\displaystyle \|\cdot \|>

< x ∈ V : ‖ x ‖ 1 > <\displaystyle \

Это внутренняя часть замкнутого единичного шара в ( V , || · ||):

Последний является несвязным объединением первых и их общей границы, единичной сферы ( V , || · ||):

«Форма» единичного шара полностью зависит от выбранной нормы; он вполне может иметь «углы» и, например, может выглядеть как [-1,1] n в случае максимальной нормы в R n . Естественно круглый шар получается как единичный шар, относящийся к обычной норме гильбертова пространства , основанный в конечномерном случае на евклидовом расстоянии ; его граница — это то, что обычно подразумевается под единичной сферой .

Пусть Определить обычную -норму для р ≥ 1 , как: x = ( x 1 , . . . x n ) ∈ R n . <\displaystyle x=(x_<1>. x_)\in \mathbb ^.> ℓ p <\displaystyle \ell _

>

‖ x ‖ p = ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 / p <\displaystyle \|x\|_

=(\sum _^|x_|^

)^<1>>

Тогда — обычная норма гильбертова пространства . называется нормой Хэмминга, или -нормой. Условие p ≥ 1 необходимо в определении нормы, поскольку единичный шар в любом нормированном пространстве должен быть выпуклым как следствие неравенства треугольника . Пусть обозначает максимально-норму или -норм х. ‖ x ‖ 2 <\displaystyle \|x\|_<2>> ‖ x ‖ 1 <\displaystyle \|x\|_<1>> ℓ 1 <\displaystyle \ell _<1>> ℓ p <\displaystyle \ell _

> ‖ x ‖ ∞ <\displaystyle \|x\|_<\infty >> ℓ ∞ <\displaystyle \ell _<\infty >>

Обратите внимание, что для окружностей двумерных единичных шаров (n = 2) мы имеем: C p <\displaystyle C_

>

C 1 = 4 2 <\displaystyle C_<1>=4<\sqrt <2>>> — минимальное значение. C 2 = 2 π . <\displaystyle C_<2>=2\pi \,.> C ∞ = 8 <\displaystyle C_<\infty >=8> — максимальное значение.

Обобщения [ править ]

Метрические пространства [ править ]

Все три приведенных выше определения могут быть напрямую обобщены на метрическое пространство относительно выбранного начала координат. Однако топологические соображения (внутренность, замыкание, граница) не обязательно должны применяться одинаково (например, в ультраметрических пространствах все три одновременно являются открытыми и замкнутыми множествами), а единичная сфера может даже быть пустой в некоторых метрических пространствах.

Квадратичные формы [ править ]

Если V есть линейное пространство с реальной квадратичной формой Р : V → R, то <р ∈ V : Р (р) = 1> может быть названа единичной сферой [1] [2] или блок квази-сферой из V . Например, квадратичная форма , когда она установлена ​​равной единице, дает единичную гиперболу, которая играет роль «единичного круга» в плоскости разделенных комплексных чисел . Точно так же квадратичная форма x 2 дает пару линий для единичной сферы в плоскости двойственных чисел . x 2 − y 2 <\displaystyle x^<2>-y^<2>>

Источник

Единичная сфера

В математике , А единичная сфера просто сфера из радиуса одного вокруг заданного центра . В более общем смысле, это набор точек на расстоянии 1 от фиксированной центральной точки, где различные нормы могут использоваться как общие понятия «расстояния». Единичный шар представляет собой замкнутое множество точек на расстоянии меньше или равно 1 из неподвижной центральной точки. Обычно центр находится в начале пространства, поэтому говорят о «единичном шаре» или «единичной сфере». Частные случаи — единичный круг и единичный диск .

Важность единичной сферы заключается в том, что любую сферу можно преобразовать в единичную с помощью комбинации перемещения и масштабирования . Таким образом, свойства сфер в целом можно свести к изучению единичной сферы.

Содержание

Единичные сферы и шары в евклидовом пространстве [ править ]

В евклидове пространства из п размеры, ( п — 1) мерная единичная сфера является множеством всех точек , удовлетворяющих уравнению ( Икс 1 , … , Икс п ) <\ displaystyle (x_ <1>, \ ldots, x_ )>

Икс 1 2 + Икс 2 2 + ⋯ + Икс п 2 знак равно 1. <\ displaystyle x_ <1>^ <2>+ x_ <2>^ <2>+ \ cdots + x_ ^ <2>= 1.>

П — мерный единичный открытый шар множество всех точек , удовлетворяющее неравенству

Икс 1 2 + Икс 2 2 + ⋯ + Икс п 2 1 , <\ displaystyle x_ <1>^ <2>+ x_ <2>^ <2>+ \ cdots + x_ ^ <2>

а n- мерный замкнутый единичный шар — это множество всех точек, удовлетворяющих неравенству

Икс 1 2 + Икс 2 2 + ⋯ + Икс п 2 ≤ 1. <\ displaystyle x_ <1>^ <2>+ x_ <2>^ <2>+ \ cdots + x_ ^ <2>\ leq 1.>

Формулы общей площади и объема [ править ]

Классическое уравнение единичной сферы — это уравнение эллипсоида с радиусом 1 и без изменений осей x -, y — или z -:

ж ( Икс , у , z ) знак равно Икс 2 + у 2 + z 2 знак равно 1 <\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ <2>+ y ^ <2>+ z ^ <2>= 1>

Объем единичного шара в n- мерном евклидовом пространстве и площадь поверхности единичной сферы фигурируют во многих важных формулах анализа . Объем единичного шара в n измерениях, который мы обозначаем V _n , можно выразить с помощью гамма-функции . это

V п знак равно π п / 2 Γ ( 1 + п / 2 ) знак равно < π п / 2 / ( п / 2 ) ! я ж п ≥ 0 я s е v е п , π ⌊ п / 2 ⌋ 2 ⌈ п / 2 ⌉ / п ! ! я ж п ≥ 0 я s о d d , <\ displaystyle V_ = <\ frac <\ pi ^ > <\ Gamma (1 + n / 2)>> = <\ begin <\ pi ^ > / <(n / 2)!>& \ mathrm

> n \ geq 0 \ mathrm <

> n \ geq 0 \ mathrm <

нечетное,> \ end >>

Гиперобъем ( n — 1) -мерной единичной сферы ( т. Е. «Площадь» границы n- мерного единичного шара), который мы обозначим A _n , можно выразить как

А п знак равно п V п знак равно п π п / 2 Γ ( 1 + п / 2 ) знак равно 2 π п / 2 Γ ( п / 2 ) , <\ displaystyle A_ = nV_ = <\ frac > <\ Gamma (1 + n / 2)>> = <\ frac <2 \ pi ^ > <\ Gamma (n / 2)>> \ ,,>

где последнее равенство выполняется только при n > 0 .

Площадь поверхности и объемы для некоторых значений следующие: п <\ displaystyle n>

где десятичные развернутые значения для n ≥ 2 округлены до отображаемой точности.

Рекурсия [ править ]

Значения A _n удовлетворяют рекурсии:

Значения V _n удовлетворяют рекурсии:

Дробные размеры [ править ]

Формулы для A _n и V _n могут быть вычислены для любого действительного числа n ≥ 0, и есть обстоятельства, при которых целесообразно искать площадь сферы или объем шара, когда n не является неотрицательным целым числом.

Другие радиусы [ править ]

Площадь поверхности ( n –1) -мерной сферы радиуса r равна A _n r n −1, а объем n- мерного шара радиуса r равен V _n r n . Например, для поверхности трехмерного шара радиуса r площадь равна A = 4 π r 2 . Объем V = 4 π г 3 /3 для трехмерного шара радиуса г .

Единичные шары в нормированных векторных пространствах [ править ]

Точнее, открытый единичный шар в нормированном векторном пространстве с нормой есть V <\displaystyle V> ‖ ⋅ ‖ <\displaystyle \|\cdot \|>

< x ∈ V : ‖ x ‖ 1 > <\displaystyle \

Это внутренняя часть замкнутого единичного шара в ( V , || · ||):

Последнее представляет собой несвязное объединение первых и их общей границы, единичной сферы ( V , || · ||):

«Форма» единичного шара полностью зависит от выбранной нормы; он вполне может иметь «углы» и, например, может выглядеть как [-1,1] n в случае максимальной нормы в R n . В качестве единичного шара, относящегося к обычной норме гильбертова пространства , получается естественно круглый шар , основанный в конечномерном случае на евклидовом расстоянии ; его граница — это то, что обычно понимается под единичной сферой .

Пусть Определить обычную -норму для р ≥ 1 , как: x = ( x 1 , . . . x n ) ∈ R n . <\displaystyle x=(x_<1>. x_)\in \mathbb ^.> ℓ p <\displaystyle \ell _

>

‖ x ‖ p = ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 / p <\displaystyle \|x\|_

=(\sum _^|x_|^

)^<1>>

Тогда — обычная норма гильбертова пространства . называется нормой Хэмминга, или -нормой. Условие p ≥ 1 необходимо в определении нормы, поскольку единичный шар в любом нормированном пространстве должен быть выпуклым как следствие неравенства треугольника . Пусть обозначает максимальную норму или -норму x. ‖ x ‖ 2 <\displaystyle \|x\|_<2>> ‖ x ‖ 1 <\displaystyle \|x\|_<1>> ℓ 1 <\displaystyle \ell _<1>> ℓ p <\displaystyle \ell _

> ‖ x ‖ ∞ <\displaystyle \|x\|_<\infty >> ℓ ∞ <\displaystyle \ell _<\infty >>

Обратите внимание, что для окружностей двумерных единичных шаров (n = 2) мы имеем: C p <\displaystyle C_

>

C 1 = 4 2 <\displaystyle C_<1>=4<\sqrt <2>>> — минимальное значение. C 2 = 2 π . <\displaystyle C_<2>=2\pi \,.> C ∞ = 8 <\displaystyle C_<\infty >=8> — максимальное значение.

Обобщения [ править ]

Метрические пространства [ править ]

Все три из приведенных выше определений можно прямо обобщить на метрическое пространство относительно выбранного начала координат. Однако топологические соображения (внутренность, замыкание, граница) не обязательно должны применяться одинаково (например, в ультраметрических пространствах все три одновременно являются открытыми и замкнутыми множествами), а единичная сфера может даже быть пустой в некоторых метрических пространствах.

Квадратичные формы [ править ]

Если V есть линейное пространство с реальной квадратичной формой Р : V → R, то <р ∈ V : Р (р) = 1> может быть названа единичной сферой [1] [2] или блок квази-сферой из V . Например, квадратичная форма , когда она установлена ​​равной единице, дает единичную гиперболу, которая играет роль «единичного круга» на плоскости разделенных комплексных чисел . Точно так же квадратичная форма x 2 дает пару линий для единичной сферы в плоскости двойственных чисел . x 2 − y 2 <\displaystyle x^<2>-y^<2>>

Источник