Что значит задача с параметром

2) a > 0 (от нуля не включительно до плюс бесконечности) : Мы можем совершать звонки, деньги есть.

Грубо говоря, мы ввели и исследовали функцию «ЗВОНОК», которая зависит от параметра a (баланса), нашли те параметры a , при которых она меняет своё «поведение»( с нельзя звонить до можно звонить ).

Дадим определение параметру — параметр, это такая переменная(число), влияющая на поведение, вид, количество корней уравнения и т.д. нашей функции. Заметьте » влияющая на поведение, вид, кол-во корней уравнения и т.д. «, дело в том, что подставлять разные значения параметра a в функцию и проверять то, как она будет себя вести — это не очень-то умно. К примеру, у нас на телефоне (-150 рублей), мы же не будем пытаться дозвониться до кого-либо, всё таки люди умные, понимаем что если на счете не более 0 рублей, то вызов совершить не получится.

Поймите одну важную вещь, когда вы решаете задачу с параметром, вам нужно определить те значения параметра, при которых с функцией что-то происходит, где-то пропадают корни, выкалываются точки и т.д.

Давайте теперь проанализируем линейные уравнения с параметром.

Линейная функция.

Допустим дано такое уравнение, нужно его решить.

Источник

Введение к задачам с параметром. Ключевые идеи.

Итак, мы постепенно начинаем выкладывать видео с разбором задач с параметром.

Первый блок мы решили сделать вводным. Главная цель — познакомить вас с таким типом экзаменационных заданий как задачи с параметром. На примере элементарных задач мы попробовали объяснить ключевые принципы решения и отличия от других типов задач.

Обычно школьники, даже умея решать уравнения в общем виде, при начальном ознакомлении с подобными заданиями не до конца понимают, что вообще такое “решить задачу с параметром”. Вроде бы простое линейное уравнение ax = b могут решить, а формулировку “для всех значений а и b решить. ” для такого же уравнения не воспринимают.

Поэтому первая и главная идея для задач с параметром, на которую следует обратить пристальное внимание, — это исчерпание параметром всей координатной прямой. Или тех рамок, которые поставлены в условии для параметра. То есть необходимо рассматривать любые значения параметра, даже если они приводят к каким-то запрещенным действиям вроде деления на ноль.

Давайте посмотрим на вот такое простое уравнение: аx =1.

Если её решать не как задачу с параметром, то достаточно просто написать, что x = 1/ a при условии, что а ≠ 0. В школьных учебниках случай а = 0 часто даже не рассматривается, чтобы не перегружать школьников излишне строгими рассуждениями. Максимум, что могут сделать, это сноску, что решать надо при допустимых буквенных значениях.

Но для задач с параметром подобного ответа будет недостаточно. Чтобы до конца решить задачу, мы обязаны рассмотреть случай а = 0 отдельно. Даже если в итого у уравнения не будет решений, то мы обязаны указать это в ответе.

Если для одного параметра ещё понятно, как рассмотреть все его значения, то для двух параметров это уже бывает сложнее. Например, уравнение аx = b . Здесь обычное буквенное решение тоже очевидно: x = b / a . Более или менее понятно, что a = 0 какое-то особенное, на него делить нельзя и поэтому надо это вариант рассматривать отдельно. Однако, при таком значении а , важно ещё и то, как ведёт себя параметр b . При равенстве нулю обоих параметров уравнение вырождается в тождество и имеет бесконечно много решений.

В указанных выше примерах в целом понятно, что следует рассмотреть значения параметров равными нулю и не равными, чтобы исчерпать все решения. Однако, порой даже само разбиение числовой оси на удобные множества может быть проблемой, так как зависит от конкретной задачи. Даже простой вопрос “Что больше: а или 2 а ?” предполагает разбиение прямой уже на три множества.

В общем, поиск разбиения не всегда получается тривиальным и во многом зависит от нарешанности ученика. И, кстати, как ни странно, в графических методах с этим проблем меньше. Правильный рисунок в целом неплохо подсказывает, какие значения параметра следует рассмотреть.

Следующая ключевая идея связана с тем, что первоначальный тип уравнения может меняться в зависимости от значения параметра. Наиболее выпукло это проявляется, когда мы рассматриваем уравнения, подобные вот такому:

С первого взгляда может показаться, что перед нами простое квадратное уравнение. На это нам указывает наличие одночлена x ². Однако, при различных значениях а , уравнение может превращаться в линейное (при a = 0) или даже в тождество (при а = -3).

Другой пример: вырождение отрезка решения в отдельную точку, например, при применении метода интервалов.

Далее. Задания с параметром предполагают более высокую культуру решения . Особенно это касается трёх вещей: ОДЗ, схем и в целом общей эффективности и целесообразности преобразований.

а) В этой задаче нас спрашивают про единственность решения в зависимости от значения параметра. И здесь важно смотреть не только на условие на дискриминант квадратного уравнения (нужно, чтобы D = 0), но ещё и на то, какие ограничения даст нам знаменатель. Поэтому в итоге мы будем вынуждены рассмотреть не один случай, а сразу пять. При этом очевидное условие на дискриминант сыграет только в одном рассматриваемом варианте.

б) В этом же примере можно разглядеть и другую особенность. Если раньше достаточно было находить корни уравнения по знакомому алгоритму через дискриминант, то теперь с введением параметров во многих случаях это не эффективно. Здесь уже могут помочь такие приёмы, как нахождение корней через теорему Виета. Разложить на множители свободный коэффициент и сделать нехитрый перебор (вы же так подбираете корни, да?) гораздо проще, чем возиться с алгебраическими преобразованиями в дискриминанте.

в) В обычных школьных заданиях ещё как-то можно было переходить к следствию и после нахождения корней отсекать посторонние решения через подстановку. В задачах с параметром так практически никогда не получается. Единственный выход — учить или прямо на месте выводить различные схемы для решения.

И наконец ещё один важный момент, который необходимо понимать до того, как на горизонте появятся по-настоящему сложные параметрические задачи. Нужно хорошо знать, что значит “решить уравнение” и что такое равносильность уравнений (и желательно ещё понимать, что значит одно уравнение/неравенство является следствием другого уравнения/неравенства).

В принципе ничего сложного в этом нет. Ученики обычно верно понимают, что равносильность означает совпадение множеств решения, а следствие — включение одного множества решений в другое. Проблемы возникают тогда, когда появляется пустое множество решений и конкретное уравнение.

Многих удивляет, что оказывается уравнения вроде ( x -1)²=-1 и sin5 x =1,5 равносильны. И что из неравенства ln(x²+1) x =23.

Источник

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2022 года это №17. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

1. Теперь пример из школьной математики.

Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения:

Если , квадратное уравнение имеет два корня: и

Если , квадратное уравнение имеет единственный корень

Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

Если при , уравнение имеет единственный корень.

Если , то есть с > 1, корней нет.

В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

И еще две простые задачи с параметром.

2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

Найдем дискриминант уравнения

Т.к. , получим:

Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

Найдем корни квадратного уравнения . Это и

Разложим левую часть неравенства на множители:

Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и

3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .

Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую

Источник

Исследовательская работа «Основные типы задач с параметром и их решение»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

«Основные типы задач с параметром и их решение»

Оглавление

Задачи с параметром — одна из самых интересных и многогранных тем в математике. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

Актуальность данной темы очевидна. Ведь уравнения и неравенства с параметром стали привычной частью всех сложных экзаменационных заданий и вступительных экзаменов в ВУЗы, а также задания данного типа являются неотъемлемой частью практически всех олимпиад разного уровня.

Проблема в том, что в школьной программе такие задачи встречаются редко, и только самые простые вариации. Многие учащиеся не до конца понимают, как решать задания такого типа. Учащиеся выпускных классов лишают себя возможности получить высокие баллы за задания этого типа.

Цель данной работы: изучение основных способов решения уравнений и неравенств с параметром, рассмотрение основных типов заданий в которых применяется параметр в школьной программе.

1) сбор и обработка материала по данной теме;

2) систематизация различных методов решения;

3) проведение мастер-класса по решению уравнений с параметром;

Объект исследования : уравнения и неравенства с параметром.

Предмет исследования : методы решений уравнений и неравенств, содержащих параметр.

Глава 1. Основные понятия.

1.1 Что такое параметр.

Толковый словарь определяет параметр, как величину, характеризующую какое-нибудь основное свойство машины, устройства, системы или явления, процесса. Рассмотрение параметров — это всегда выбор. Покупая какую-либо вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Так, приобретая компьютер, мы обращаем внимание на следующие его параметры: производительность, габариты, состав комплектующих, цену и др. Перед выбором мы стоим и в различных жизненных ситуациях.

Что такое параметр в математике? Если вы вспомните некоторые основные уравнения (например, kx+l=0, ax²+bx+c=0), то обратите внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, возьмем за основу следующий его простейший вариант.

Определение: параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|= a – 1 не следует неотрицательность значений выражения a – 1, и если a – 1

1.2 Что означает «решить задачу с параметром».

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Отмечу сразу, что запись ответа – важнейший этап решения, отличающий задачу с параметром от других задач. Ответ в задаче с параметром – это описание множества ответов к задачам, полученным при конкретных значениях параметра.

1.3. Основные типы задач с параметрами.

Тип 1. Уравнения и т.п., которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2. Уравнения и т.п., для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Тип 3. Уравнения и т.п., для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения и т.п., для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

1.4 Основные способы решения задач с параметром.

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

Глава 2. Основные способы решения задач с параметром

2.1 Аналитический способ.

Универсальных методов решения уравнений и неравенств с параметрами не существует. Одно из немногих исключений – линейные уравнения и неравенства.

Пример 1. Решить уравнение: а ( а – 2) х = а – 2.

Решение. Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а . Будем его решать «как обычно»: делим оби части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Полное решение см. в приложении 1

Пример 2 . Решить неравенство ( а + 3) х а – 1.

Решение. Рассмотрим случаи:

1) а + 3 = 0, а = -3, тогда неравенство примет вид 0 ∙ х

2) а + 3 > 0, а > -3, тогда

Ответ: 1) если а = -3, то х – любое число;

Другое важное исключение – уравнения и неравенства, связанные с квадратичной функцией.

Пример3. Решить уравнение ( а – 2) х 2 + (2 а – 3) х + а + 2 = 0.

Решение рассмотрим в приложении 2.

2.2 Графический способ.

Алгоритм графического решения уравнений с параметром:

-Находим область определения уравнения.

-Выражаем α как функцию от х.

-В системе координат строим график функции α (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

-Находим точки пересечения прямой a = с, с графиком функции a (х). Если прямая a = с пересекает график a (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = a (х) относительно х.

Рассмотрим на примерах:

Пример 1: Решить уравнение | x 2 – 2 x – 3| = a в зависимости от параметра а .

Решение. Понятно, что при а ≥ 0:

Но все ли корни подходят? Чтобы выяснить это, построим график функции а = | x 2 – 2 x – 3|. Количество корней можно увидеть на рисунке 1, мысленно проводя прямые линии, соответствующие значениям а . Получим:

если а = 0 и а > 4, то два корня.

Найдем эти корни:

При а = 0 получим x 2 – 2 x – 3 = 0,

уравнения x 2 – 2 x – 3 – а = 0.

4) при а = 4 – три корня:

x 2 – 2 x – 3 = 4 x 2 – 2 x – 3 = – 4 Ответ: 1) если a

x 2 – 2 x – 7 = 0 x 2 – 2 x + 1 = 0 2) если а = 0, то х ₁ = –1, х ₂ = 3;

2.3 Решение относительно параметра.

Если степень неизвестного слишком высока, а степень параметра не превосходит двух, то здесь эффективен метод решения уравнения (неравенства) относительно параметра.

Пример 1. Решить уравнение 2 х 3 – ( а + 2) х 2 – ах + а 2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение в виде

Решим уравнение относительно параметра а.

D = ( х 2 + х ) 2 – 4(2 х 3 – 2 х 2 ) = х 2 ( х + 1) 2 – 8 х 2 ( х – 1) = х 2 ( х 2 + 2 х + 1 – 8 х + 8) = х 2 ( х 2 – 6 х + 9) = х 2 ( х – 3) 2

Осталось решить полученные уравнения относительно х .

Дальнейшее решение смотри в приложении 3.

Заключение.

В процессе проделанной работы в соответствии с ее целями и задачами были получены следующие выводы и результаты:

1. Рассмотрели основные способы решения уравнений и неравенств с параметром:

— решение относительно параметра;

2. Графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и систем уравнений с параметрами, но нельзя полностью представить себе сложность и нестандартность решения каждой задачи с параметром, изучая только графический способ. Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы.

3. В заданиях ОГЭ по математике в 9 классе уравнения, системы уравнений с параметром проще, удобнее и нагляднее решать графическим способом. В связи с этим разработали ряд задач с параметром в помощь учителю и ученику (см. приложение 4). Разработанный ряд задач можно использовать на факультативах по математике при подготовке к ОГЭ, при подготовке к олимпиадам или для привития интереса к математике, совершенствования математической культуры, навыков дедуктивного мышления и творческих исследовательских способностей. Данный справочник предложен 9-классникам.

Планирую продолжить работу над этой темой, и расширить круг изучаемых типов заданий с параметрами.

Литература.

1. Алгебра. 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович.- М.:Мнемозина, 2013;

2. Горнштейн П.И. «Задачи с параметрами. » Москва 2003г.;

3. Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА – 2014: учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013г.;

4. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013 : учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012г.;

5. Солуковцева Л. «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами. Москва.2007г.;

6. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред.шк. – М.: Просвещение, 1989.;

7. ЯстребинецкийГ.А.«Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.

Источник