Что значит взаимоисключающие события

Взаимоисключающие события: свойства и примеры

Содержание:

Которые считаются взаимоисключающие событияко всем тем событиям, которые могут происходить одновременно в эксперименте. Возникновение одного из них не означает отсутствия другого.

В отличие от своего логического аналога, взаимоисключающие события, пересечение между этими элементами отличается от пустоты. Это:

Поскольку возможность одновременности результатов учитывается, взаимоисключающие события требуют более одной итерации для вероятностных исследований.

Что такое взаимоисключающие события?

Вероятно, обрабатываются два типа случайностей; Возникновение и ненаступление события. Если двоичные количественные значения равны 0 и 1. Дополнительные события являются частью отношений между событиями, основанными на их характеристиках и особенностях, которые могут различать или соотносить их друг с другом.

Таким образом, вероятностные значения проходят через интервал [0, 1], изменяя свои параметры появления в соответствии с фактором, искомым в эксперименте.

Два взаимоисключающих события не могут быть дополнительными. Потому что должен быть набор, образованный пересечением обоих, чьи элементы отличаются от пустоты. Что не соответствует определению дополнения.

Какие события?

Это возможности и события, возникшие в результате экспериментов, способные дать результаты в каждой своей итерации. События генерируют данные, которые должны быть записаны как элементы наборов и подмножеств, тенденции в этих данных являются предметом исследования на предмет вероятности.

• Примеры событий:
• Монета заострела головы.
• Матч завершился ничьей.
• Химическое вещество прореагировало за 1,73 секунды.
• Скорость в максимальной точке 30 м / с.
• На кубике была отмечена цифра 4.

Свойства взаимоисключающих событий

Пусть A и B — два взаимно не исключающих события, принадлежащих пространству выборки S.

А ∩ Б ≠ ∅, а вероятность их пересечения равна P [A ∩ B]

P [A U B] = P [A] + P [B] — P [A ∩ B]; Это вероятность того, что произойдет то или иное событие. Из-за наличия общих элементов пересечение нужно вычесть, чтобы не складывать дважды.

В теории множеств есть инструменты, которые значительно облегчают работу с взаимоисключающими событиями.

Диаграмма Венна между ними определяет пространство выборки как множество вселенной. Определение в нем каждого набора и подмножества. Поиск пересечений, объединений и дополнений, необходимых в исследовании, очень интуитивен.

Пример взаимоисключающих событий

Продавец сока решает закончить свой рабочий день и раздать остатки своих товаров каждому прохожему. Для этого он разливает весь непроданный сок по 15 стаканам и закрывает их крышкой. Он оставляет их на прилавке, чтобы каждый мог взять тот, который им больше нравится.

Известно, что продавец сумел заполнить

• 3 стакана арбузного сока (красный цвет)
• 6 стаканов оранжевого (оранжевого цвета)
• 3 стакана с ручками (оранжевого цвета)
• 3 стакана лимонного сока (зеленого цвета)

Определите вероятность возникновения следующих взаимоисключающих событий при употреблении стакана:

1. Будь цитрусовым или апельсином
2. Будь цитрусовым или зеленым
3. Будь то фрукты или зелень
4. Не будь цитрусовым и не будь апельсином

Используется второе свойство; P [A U B] = P [A] + P [B] — P [A ∩ B]

Где в зависимости от случая мы определим множества A и B

1-Для первого случая группы определяются следующим образом:

Для определения вероятности события мы используем следующую формулу:

Конкретный случай / Возможные случаи

P [A U B] = (9/15) + (9/15) — (6/15) = 12/15

Когда этот результат умножается на 100, получается процент вероятности этого события.

2-Для второго случая группы определены

P [A U B] = (9/15) + (3/15) — (3/15) = 9/15

3-Для третьего случая действуйте так же

P [A U B] = (15/15) + (3/15) — (3/15) = 15/15

(15/15) х 100% = 100%

В этом случае условие «Пусть будет фрукт» включает в себя все пространство отсчетов, поэтому вероятность 1.

4- Для третьего случая действуйте так же

P [A U B] = (6/15) + (9/15) — (3/15) = 12/15

Ссылки

1. РОЛЬ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУКАХ И БИОИНФОРМАТИКЕ. Ирина Архипова. Латвийский сельскохозяйственный университет, Латвия. [электронная почта защищена]
2. Статистика и оценка доказательств для судебных экспертов. Второе издание. Колин Г.Г. Эйткен. Школа математики. Эдинбургский университет, Великобритания
3. ОСНОВНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ, Роберт Б. Эш. Кафедра математики. Университет Иллинойса
4. Элементарная СТАТИСТИКА. Издание десятое. Марио Ф. Триола. Бостон-стрит
5. Математика и инженерия в компьютерных науках. Кристофер Дж. Ван Вик. Институт компьютерных наук и технологий. Национальное бюро стандартов. Вашингтон, округ Колумбия, 20234
6. Математика для компьютерных наук. Эрик Леман. Google Inc.
   Ф. Томсон Лейтон Отделение математики и Лаборатория компьютерных наук и искусственного интеллекта Массачусетского технологического института; Akamai Technologies

Отрасли экономики Эквадора: основные характеристики

Источник

Взаимоисключающие события: свойства и примеры

Содержание:

Говорят, что два события взаимоисключающий, когда и то и другое не может происходить одновременно в результате эксперимента. Они также известны как несовместимые события.

Например, при броске кубика возможные результаты могут быть разделены, например: четные или нечетные числа. Где каждое из этих событий исключает другое (нечетное и четное число не могут быть по очереди).

Возвращаясь к примеру с кубиками, останется только одна грань, и мы получим целочисленные данные между один Y шесть. Это простое событие, поскольку у него есть только один вариант исхода. Все простые события взаимоисключающий не допуская другого события как возможности.

Что такое взаимоисключающие события?

Они возникают в результате операций, выполняемых в теории множеств, где группы элементов, составляющие множества, и подмножества группируются или разграничиваются в соответствии с реляционными факторами; Союз (U), пересечение (∩) и дополнение (‘) среди других.

Их можно рассматривать в разных областях (математика, статистика, вероятность и логика, среди прочего . ), но их концептуальный состав всегда будет одинаковым.

Какие события?

Это возможности и события, возникшие в результате экспериментов, способные дать результаты в каждой своей итерации. В События генерировать данные, которые будут записаны как элементы наборов и подмножеств, тенденции в этих данных являются причиной для изучения вероятности.

• Монета заострела головы.
• Матч завершился ничьей.
• Химическое вещество прореагировало за 1,73 секунды.
• Скорость в максимальной точке 30 м / с.
• На кубике была отмечена цифра 4.

Два взаимоисключающих события также могут рассматриваться как дополнительные события, если они охватывают пространство выборки своим объединением. Таким образом, охватываются все возможности эксперимента.

Например, эксперимент, основанный на подбрасывании монеты, имеет две возможности, орел или решку, где эти результаты охватывают все пространство выборки. Эти события несовместимы друг с другом и в то же время являются исчерпывающими в совокупности.

Каждый дуальный элемент или переменная логического типа является частью взаимоисключающих событий, и эта характеристика является ключом к определению их природы. Отсутствие чего-либо управляет его состоянием, пока оно не присутствует и не перестает отсутствовать. Двойственность хорошего и плохого, правильного и неправильного действует по одному и тому же принципу. Где каждая возможность определяется путем исключения другой.

Свойства взаимоисключающих событий:

Пусть A и B — два взаимоисключающих события

1. А ∩ В = В ∩ А = ∅
2. Если A = B ’являются дополнительными событиями и A U B = S (пробел)
3. P (A ∩ B) = 0; Вероятность одновременного наступления этих событий равна нулю.

Ресурсы вроде Диаграмма Венна заметно облегчить классификацию взаимоисключающие события среди прочего, поскольку он позволяет полностью визуализировать величину каждого набора или подмножества.

Наборы, не имеющие общих событий или просто разделенные, будут считаться несовместимыми и взаимоисключающими.

Пример взаимоисключающих событий

В отличие от подбрасывания монеты в следующем примере, события обрабатываются исходя из неэкспериментального подхода, чтобы иметь возможность идентифицировать шаблоны логики высказываний в повседневных событиях.

В лагере отдыха есть 6 модулей для классификации участников. Разделы основаны на гендерных и возрастных переменных и имеют следующую структуру.

• Первый состоит из мужчин в возрасте от 5 до 10 лет.лет, насчитывает 8 участников.
• Второй — женщины от 5 до 10 лет, 8 участников.
• Третий — мужчины от 10 до 15 лет, с 12 участниками.
• Четвертый, женщины в возрасте от 10 до 15 лет, с 12 участниками.
• Пятый, мужчины от 15 до 20 лет, насчитывает 10 участников.
• Шестая группа, состоящая из женщин от 15 до 20 лет, с 10 участниками.

Во время лагеря проводится 4 мероприятия, каждое с наградами, это:

1. Шахматы — единое мероприятие для всех участников любого пола и всех возрастов.
2. Детская гимнастика, обоего пола до 10 лет. По одной награде для каждого пола
3. Женский футбол для детей 10-20 лет. Приз
4. Мужской футбол для детей 10-20 лет. Приз

Мы переходим к изучению каждой награды как отдельного события и, таким образом, обозначаем характер каждого модуля по отношению к соответствующей награде.

1-Chess: это простое мероприятие, открытое для всех участников. В шахматах нет условий, которые заставляли бы разбивать событие на секторы.

• Примерное место: 60 участников
• Количество итераций: 1
• Это не исключает из лагеря ни одного модуля.
• Шансы участника — выиграть приз или не выиграть его. Это делает все возможности во взаимоисключающих для всех участников.
• Независимо от индивидуальных качеств участников, вероятность успеха каждого из них P (e) = 1/60.
• Вероятность того, что победителем станет мужчина или женщина, равна; P (v) = P (h) = 30/60 = 0,5. взаимоисключающие события и дополнительные.

2-Детская гимнастика: В этом мероприятии есть возрастные ограничения, которые ограничивают группу участников до 2 модулей (1-я и 2-я группа).

• Примерное место: 18 участников
• Количество итераций: 2
• Третий, четвертый, пятый и шестой модули исключаются из этого мероприятия.
• Первая и вторая группы — это дополнительный в рамках церемонии награждения. Потому что объединение обеих групп равно пробному пространству.
• Независимо от индивидуальных качеств участников, вероятность успеха каждого из них P (e) = 1/8.
• Вероятность того, что победит мужчина или женщина, равна 1 потому что будет мероприятие для каждого пола.

3-Женский футбол: это мероприятие имеет возрастные и гендерные ограничения, ограничивая участие только четвертой и шестой группами. Будет одиночная игра 11 против 11

• Примерное место: 22 участника
• Количество итераций: 1
• Первый, второй, третий и пятый модули исключены из этого события.
• Независимо от индивидуальных качеств участников вероятность успеха каждого из них P (e) = 1/2.
• Вероятность того, что победит мужчина, равна нулю.
• Вероятность того, что выиграет женщина, равна единице.

Футбол для 4-х мужчин: это событие имеет возрастные и гендерные ограничения, ограничивая участие только третьей и пятой группам. Будет одиночная игра 11 против 11

• Примерное место: 22 участника
• Количество итераций: 1
• Первый, второй, четвертый и шестой модули исключены из этого события.
• Независимо от индивидуальных качеств участников вероятность успеха каждого из них P (e) = 1/2.
• Вероятность того, что выиграет женщина, равна нулю.
• Вероятность того, что победит мужчина, равна единице.

Ссылки

1. РОЛЬ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУКАХ И БИОИНФОРМАТИКЕ. Ирина Архипова. Латвийский сельскохозяйственный университет, Латвия. [электронная почта защищена]
2. Статистика и оценка доказательств для судебных экспертов. Второе издание. Колин Г.Г. Эйткен. Школа математики. Эдинбургский университет, Великобритания
3. ОСНОВНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ, Роберт Б. Эш. Кафедра математики. Университет Иллинойса
4. Элементарная СТАТИСТИКА. Издание десятое. Марио Ф. Триола. Бостон-стрит
5. Математика и инженерия в компьютерных науках. Кристофер Дж. Ван Вик. Институт компьютерных наук и технологий. Национальное бюро стандартов. Вашингтон, округ Колумбия, 20234
6. Математика для компьютерных наук. Эрик Леман. Google Inc.
   Ф. Томсон Лейтон Отделение математики и Лаборатория компьютерных наук и искусственного интеллекта Массачусетского технологического института; Akamai Technologies

Отрасли экономики Эквадора: основные характеристики

Источник

Теория вероятностей

Основы теории вероятностей

В этой статье мы расскажем кратко о том, что такое вероятность события. Дадим определение вероятности, введем понятия зависимых и независимых, совместных и несовместных событий. Объясним, что такое сумма событий и произведение событий.

Больше задач – в статье «Задание 2 Профильного ЕГЭ по математике. Теория вероятностей».

Случайным называется событие, которое невозможно точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Теория вероятностей изучает случайные события и их закономерности, а также случайные величины и действия над ними.

Благоприятным мы называем исход, способствующий наступлению данного события.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность – величина положительная и не может быть больше единицы.

Например, перед экзаменом вы выучили 3 билета из 20. Вероятность вытянуть счастливый билет равна

Вот две простых задачи из вариантов ЕГЭ, где применяется определение вероятности:

1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Иванов высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Иванову достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

В самолете 21+18=30 мест, удобных для Иванова. Всего в самолете 400 мест. Поэтому вероятность того, что пассажир Иванов получит удобное место, равна 30 : 300 = 0,1.

Просто применили определение вероятности.

2. В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист К. полетит пятым рейсом вертолёта.

Каждый рейс, в том числе и пятый, перевозит 4 человек из 32. Вероятность полететь пятым рейсом:

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Например, вы бросаете монету. «Выпал орел» и «выпала решка» — несовместные события.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Вы бросаете игральную кость. Вероятность выпадения «тройки» равна Вероятность выпадения «шестерки» также равна
Вероятность выпадения числа, которое делится на 3,

Произведение двух событий – термин, означающий, что произошло и одно, и другое событие.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

3. Говорят, что в старину каждый десятый на Руси был Иван, а каждый двадцатый Петр. Если это верно, то кого было больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?

Можно по-разному решать эту задачу, и вероятностный подход здесь тоже применим. Посчитаем вероятности двух событий
Событие А. Случайно выбранного мужчину зовут Иван Петрович
Событие В. Мужчину зовут Петр Иванович.

Вероятность быть Иваном Петровичем для жившего в старину россиянина равна Мы перемножили вероятности того, что наш древнерусский житель – Иван и что его отца зовут Петр.
А вероятность оказаться Петром Ивановичем точно такая же:

4. (ЕГЭ) Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с ве-роятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Шахматист А. играет две партии, одну – белыми фигурами, другую – черными. События «выиграть белыми» и «выиграть черными фигурами» независимы. Вероятность того, что шахматист А. выиграет оба раза, равна произведению вероятностей выигрышей в каждой партии: 0,5 · 0,32 = 0,16.

5. (ЕГЭ) В классе 26 человек, среди них два друга — Андрей и Сергей. Класс случайным образом разбивают на 2 группы по 13 человек. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Пусть Андрей первым занял место в группе (неважно, в какой). И, кроме него, осталось еще 25 человек, среди которых его друг Сергей. Сколько у Сергея шансов оказаться в той же группе, что и Андрей? В группе должно быть 13 человек, то есть Андрей и еще 12. Значит, вероятность того, что Сергей окажется в той же группе, что и Андрей, равна , то есть 0,48.

Следующую задачу можно решить методами комбинаторики – например, с помощью формулы Бернулли. Однако в обычной школе не изучают комбинаторику, и тем не менее эта задача появилась в сборниках для подготовки к ЕГЭ.

6. Монету бросают 10 раз. Во сколько раз событие «Орел выпадет ровно 8 раз» более вероятно, чем событие «Орел выпадет ровно 9 раз»?

Начнем с числа возможных исходов. Если мы бросаем монету, возможных исходов два – орел или решка.
Бросим монету два раза (или две монеты одновременно, все равно). И вот уже 4 возможных исхода:
ОО
ОР
РО
РР
(буквой О обозначен выпавший «орел», буквой «р» — решка.
Каждый следующий бросок монеты увеличивает число возможных исходов в 2 раза (орел или решка).
Для 10 бросков монеты количество возможных исходов, очевидно, равно

По определению, вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Рассмотрим случай, когда орел выпадет ровно 9 раз из 10 бросков монеты. Это значит, что решка выпала ровно 1 раз.

Это могло произойти при первом броске, при втором, при третьем… и, наконец, при десятом, всего 10 благоприятных исходов. Вероятность выпадения решки ровно 1 раз из 10 бросков

Теперь случай, когда орел выпал ровно 8 раз из 10 бросков монеты. Значит, решка выпала ровно 2 раза.

Пронумеруем броски: 1,2,3…10.

Решка могла выпасть в первый и во второй раз. Обозначим эту комбинацию 12.

Могла также выпасть в первый и третий раз, в первый и четвертый… Эти комбинации обозначаем как 13, 14…

Пронумеруем таким образом все благоприятные исходы.

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1 10

23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 2 10

34, 35, 36, 37, 38, 39, 3 10

45, 46, 47, 48, 49, 4 10

56, 57, 58, 59, 5 10

9 10
Количество благоприятных исходов равно 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45.

Поделив на , получим, во сколько раз выпадение решки ровно 8 раз более вероятно, чем выпадение решки ровно 9 раз:

Разберем какую-нибудь типовую задачу ЕГЭ по теме «Теория вероятностей». Такую, в которой мы рисуем «дерево» возможных исходов.

7. (ЕГЭ) Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Изобразим все возможные исходы.

По условию, купленное в магазине стекло для автомобильной фары оказалось бракованным. Как это могло получиться?

Стекло сделано либо на первой фабрике, либо на второй. Эти события несовместны.

Вероятность того, что стекло с первой фабрики, равна 0,45.

Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике, равна 0,55.

Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол. Значит, с вероятностью 0,03 стекло, произведенное на первой фабрике, бракованное.

Вторая фабрика выпускает 1% бракованных стекол. Значит, с вероятностью 0,01 сделанное на ней стекло бракованное.

Покупатель купил бракованное стекло. Оно могло быть сделано на первой фабрике и оказалось бракованным. Это означает одновременное наступление, или произведение, двух независимых случайных событий – «стекло сделано на первой фабрике» и «стекло бракованное». Вероятность произведения этих двух событий равна

Или другой случай. Стекло могло быть со второй фабрики и также бракованное. Вероятность одновременного наступления этих двух событий равна События «стекло с первой фабрики» и «стекло со второй фабрики» несовместны – они не могут случиться одновременно.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.

Значит, вероятность купить бракованное стекло равна:

Следующая задача будет интересна и старшеклассникам, и студентам. В самом деле – как быть, если вы пришли на экзамен, выучив всего 20 билетов из 30? Идти отвечать первым? Или вторым? Или предпоследним? В каком случае вероятность вытянуть билет, который ты выучил, будет наибольшей?

8. Экзамен проходит по следующей схеме: если некоторый билет уже был вытянут, то после ответа экзаменатор откладывает его в сторону. Студент выучил 20 билетов из 30. Когда ему выгоднее идти, первым или вторым, чтобы вероятность вынуть выученный билет была больше?

Назовем билеты, которые студент выучил, «счастливыми».
Если студент пошел отвечать первым, вероятность вытянуть «счастливый» билет равна

Если идти отвечать вторым, возможны два случая:

1) Первый билет, который вытянул кто-то другой, был «счастливым», и тогда «счастливых» билетов теперь 19.

2) Первый билет не был «счастливым», и «счастливых» билетов так и осталось 20.

Нарисуем схему возможных исходов, как всегда делаем в подобных задачах:

Вот наш студент идет отвечать вторым. Вероятность вытянуть «счастливый» билет равна Удивительный ответ! Та же самая вероятность! Значит, неважно, первым или вторым идти отвечать, если ты выучил 20 билетов из 30.

Конечно, это были самые простые задачи по теории вероятностей. Такие, которые встречаются на ЕГЭ по математике.

Источник