Что значит взаимно обратные корни

Обратные числа

Возьмём дробь

5

8

и «перевернём» её, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь

8

5

.
Дробь

5

8

называют обратной дроби

8

5

.
Если теперь дробь

8

5

опять «перевернуть», мы получим исходную дробь

5

8

. Поэтому такие дроби как

5

8

и

8

5

называют взаимно обратными.

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

• записать его в виде неправильной дроби;
• полученную дробь «перевернуть».

Пример. Найти число обратное смешанному числу:

• Запишем смешанное число в виде неправильной дроби.
• Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:

Взаимно обратные числа обладают важным свойством.

Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Пример произведения обратных дробей.

Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.

Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.

Источник

Взаимно обратные числа, нахождение числа, обратного данному числу.

Сейчас мы тщательно изучим взаимно обратные числа. Сначала дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Дальше на примерах разберем, как находится число, обратное данному числу. В частности, найдем число, обратное обыкновенной дроби, число, обратное натуральному числу, и т.п. В заключение приведем и докажем неравенство, характерное для суммы взаимно обратных чисел.

Навигация по странице.

Взаимно обратные числа, определение, примеры

Сразу дадим определение взаимно обратных чисел.

Взаимно обратные числа – это два числа, произведение которых равно 1 .

Если числа a и b взаимно обратные, то можно сказать, что число a – это число, обратное числу b , а число b – это число, обратное числу a . Также можно говорить, что числу a обратно число b , а числу b обратно число a .

Приведем примеры взаимно обратных чисел. Так как произведение 1·1 равно 1 , то по определению числа 1 и 1 – взаимно обратные. Взаимно обратными числами также являются следующие пары чисел: 2 и 1/2 , −5/7 и −7/5 , и , и , и , и . Действительно, произведение любой пары чисел из указанных выше равно единице. А числа 5/9 и 3 , или числа 1,1 и 5 не являются взаимно обратными, так как их произведение отлично от 1 .

Из рассмотренных примеров взаимно обратных чисел понятно, что определение взаимно обратных чисел относится к любым числам – и к натуральным, и к целым и к действительным, и даже к комплексным.

Нахождение числа, обратного данному числу

Особый интерес представляет нахождение числа, обратного данному числу. В общем случае число, обратное отличному от нуля числу a , записывается в виде дробного выражения 1/a или как a -1 , так как и a·a -1 =1 . Однако в некоторых случаях 1/a подлежит сокращению.

Иногда число, обратное данному числу, очевидно, как, например, для натуральных чисел или обыкновенных дробей. В других случаях приходится проводить вычисления, как, например, при отыскании числа, обратного иррациональному числу, или обратного комплексному числу.

Остановимся на наиболее часто встречающихся случаях нахождения числа, обратного данному числу.

Число, обратное обыкновенной дроби

Числом, обратным обыкновенной дроби a/b , является дробь b/a . Действительно, выполнив умножение обыкновенных дробей a/b и b/a , мы получим 1 , следовательно, дроби a/b и b/a – взаимно обратные числа.

Итак, если числитель и знаменатель дроби a/b поменять местами, то получится дробь b/a , обратная дроби a/b .

Это правило позволяет нам сразу записывать число, обратное данной обыкновенной дроби. К примеру, обратным числом дроби 3/5 является дробь 5/3 , а число, обратное обыкновенной дроби 117/28 , есть дробь 28/117 .

Число, обратное натуральному числу

Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно лишь записать данное натуральное число как дробь со знаменателем 1.

Пусть нам дано натуральное число n , и нужно записать число, обратное числу n . Так как натуральное число n равно дроби n/1 , то, поменяв местами числитель и знаменатель этой дроби, получим дробь 1/n , которая и является числом, обратным натуральному числу n .

Итак, натуральному числу n обратным числом является число 1/n , то есть, дробь с числителем 1 и знаменателем n . Иными словами, n и 1/n – взаимно обратные числа.

Например, натуральному числу 2 обратным числом является дробь 1/2 , число 1/3 – обратное натуральному числу 3 , …

Отдельно стоит сказать о числе, обратном натуральному числу 1 . Число, обратное 1 , это 1 . Пара взаимно обратных чисел 1 и 1 уникальна тем, что составляющие ее числа равны, других таких пар взаимно обратных чисел не существует.

Нахождение числа, обратного смешанному числу

Чтобы найти число, обратное данному смешанному числу, можно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, после чего найти число, обратное этой дроби. Рассмотрим применение этого правила на примере.

Найдите число, обратное смешанному числу .

Выполним перевод смешанного числа в неправильную дробь: . Число, обратное дроби 65/9 , есть дробь 9/65 . Следовательно, смешанному числу обратно число 9/65 .

и 9/65 взаимно обратные числа.

Нахождение числа, обратного десятичной дроби

Мы знаем, что конечная десятичная дробь или периодическая десятичная дробь может быть заменена обыкновенной дробью. Поэтому, нахождение числа, обратного конечной или периодической десятичной дроби, может быть сведено к нахождению числа, обратного обыкновенной дроби. Рассмотрим примеры.

Напишите число, обратное десятичной дроби 5,128 .

Осуществим перевод конечной десятичной дроби в обыкновенную дробь: . Числом, обратным полученной дроби, является обыкновенная дробь 125/641 . Это и есть искомое число, обратное исходной десятичной дроби. При необходимости найденную обыкновенную дробь можно перевести в десятичную (смотрите перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби).

Источник

Основные сведения о взаимно обратных числах в математике

Что такое обратное число

На уроках алгебры в средних классах школы ученики узнают массу математических закономерностей. Например, при умножении или делении некого числа на единицу получается то же самое число.

Единица является нейтральным элементом для действий умножения и деления. Симметричными числами называют такие числа, результатом умножения которых является единица. Например:

Пару чисел можно назвать взаимно обратными, когда при умножении они дают единицу.

Обратным числом к данному числу является такое, результат произведения которого с данным числом равен единице.

Рассмотрим взаимно обратные числа а и b:

• число a представляет собой число, обратное числу b;
• число b определяется, как число, обратное числу a.

Допустима и такая формулировка: если число а обратно числу b, то число b является обратным числу а.

Зная, что при умножении единицы на единицу результат равен единице, можно сделать вывод о том, что 1 и 1 являются взаимно обратными.

Взаимно обратные числа:

log 3 15 и log 15 3

Понятие взаимно обратных чисел распространяется на следующие множества чисел:

Взаимно обратные числа, определение, примеры

Взаимно обратные числа — это пара чисел, которые при умножении дают единицу.

Взаимно обратные числа:

4 7 × 7 4 = 4 × 7 7 × 4 = 28 28 = 1

В этом примере записаны два дробных числа. Заметим, что если поменять числитель и знаменатель местами в первой дроби, то получится вторая дробь. Таким способом можно определить взаимообратную дробь для заданной дроби.

Для проверки результата необходимо умножить начальную дробь на полученное дробное число. В том случае, когда в результате получается единица, действие по поиску обратного числа выполнено верно.

Далее рассмотрим метод определения обратного числа для некоторого натурального числа. К примеру, имеется число 15. Если записать его в виде дроби, то получим:

Если поменять местами числитель и знаменатель этой дроби, то в результате получается дробь:

Число, которое является обратным данному натуральному числу, представляет собой результат деления единицы на это натуральное число.

Алгоритм нахождения обратного числа для смешанного числа:

• записать данное число, как неправильную дробь;
• поменять местами знаменатель и числитель в полученной дроби.

Попробуем вычислить обратное число для числа 2 2 3 :

2 2 3 = 2 × 3 + 1 3 = 7 3

Проверим полученный результат путем умножения полученных чисел:

7 3 × 3 7 = 7 × 3 3 × 7 = 21 21 = 1

Найти число, которое является обратным для некой десятичной дроби можно аналогичным методом, как и в случае смешанного числа. Рассмотрим наглядный пример:

4 10 × 10 4 = 4 × 10 10 × 4 = 40 40 = 1

Обратное число для единицы равно единице:

Нуль не имеет обратного числа. Это связано с отсутствием возможности умножить нуль на какое-либо число, чтобы в результате получилась единица.

Таким образом, это значит, что для любого числа, за исключением нуля, существует обратное число.

Взаимно обратные числа со степенями

Предположим, что имеется некое число, равное определенной степени числа а (число а, возведенное в степень со значением b). В таком случае, обратными являются следующие числа:

a b × a — b = a b × 1 a b = 1

В качестве примера определим число, являющееся обратным для числа

Исходя из правила, согласно которому нужно находить обратное число, искомым числом является:

6 — ( — 7 + 2 ) = 6 7 + 2

Взаимно обратные числа с корнями

При решении задач на взаимно обратные числа важно знать их свойства и уметь правильно определять, так как такие числа не всегда записаны в стандартном виде: а и 1 a . Нередко в самостоятельной работе можно встретить в записи знак корня. Рассмотрим типичный пример. Дано два числа:

4 — 2 3 и 1 + 3 2

Попробуем определить, являются ли данные числа взаимно обратными. Для этого умножим их:

4 — 2 3 × 1 + 3 2 = 4 — 2 3 + 2 3 – 3 = 1

В результате получилась единица. Известно, что произведение взаимно обратных чисел равно 1. Можно сделать простой вывод о том, что данные числа являются взаимно обратными.

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

При разборе темы взаимно обратных чисел невозможно обойтись без специальной теоремы. В ней идет речь о сумме взаимно обратных чисел.

При сложении пары положительных чисел, которые являются взаимно обратными, получается число больше или равное 2.

Попробуем доказать записанную теорему. Зная, что среднее арифметическое положительных чисел а и b в любом случае будет больше или равно среднему геометрическому данных чисел, можно записать справедливое неравенство:

Подставим в выражение вместо b число, которое является обратным а. Тогда неравенство примет следующий вид:

a + 1 a 2 ≥ a × 1 a

Попробуем решить наглядный пример. Предположим, что даны два обратных числа, требуется вычислить их сумму:

Найдем сумму данных чисел:

2 3 + 3 2 = 4 6 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6 .

В результате получилось число, которое > 2.

Источник

Алгебра

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Взаимно обратные функции

Напомним, что любая функция у = у(х) представляет собой некоторое правило, которое устанавливает соответствие между значениями х и значениями у. В частности, функция у = х 2 ставит в соответствие каждому действительному числу его квадрат. Приведем таблицу, содержащую значения этой функции для целых аргументов от – 2 до 2:

Но если есть соответствие между х и у, то должно существовать и обратное соответствие между у и х. Действительно, строки таблички можно «перевернуть» и она примет следующий вид:

Мы получили два взаимно обратных соответствия. Однако второе из них функцией не является, ведь функция должна ставить в соответствие своему аргументу только одно значение функции. Однако, судя по второй таблице, числу у = 1 соответствует сразу два х: х = – 1 и х = 1. В таком случае математики говорят, что исходная функция у = х 2 является необратимой.

Теперь изучим зависимость у = х 3 . Построим табличку и для неё:

Теперь «перевернем таблицу» и получим следующее:

Мы видим, что как каждому значению х соответствует единственное значение у, так и наоборот, каждому у соответствует единственное значение х. В математике для подобных соответствий используют понятие взаимно-однозначное соответствие.

Для лучшего понимания этого определения отвлечемся от чисел. Пусть в футбольном чемпионате играет несколько команд. Они образуют множество Х команд-участниц соревнования. За множество У примем отдельных футболистов, выступающих на турнире. Каждому игроку соответствует единственная команда, за которую он выступает, но обратное неверно – каждой команде соответствует несколько игроков. Значит, это пример соответствия, не являющегося взаимно-однозначным.

Пусть тренеры команд образуют множество Z. Каждый тренер тренирует лишь одну команду, и наоборот, каждую команду тренирует единственный тренер. Значит, между множествами X и Z есть взаимно-однозначное соответствие.

Вернемся к функциям. Если соответствие, которое задает функция у = у(х), является взаимно-однозначным, то каждому значению у будет соответствовать единственное значение х. Значит, существует некоторая функция х = х(у). Пары функций у = у(х) и х = х(у) называются взаимно обратными функциями.

Ещё раз скажем, что не для любой функции существует обратная функция, ведь не все они определяют взаимно-однозначное соответствие. Если всё же для у = у(х) есть обратная функция х = х(у), то у = у(х) называют обратимой функцией.

Покажем, какие функции являются обратными, на примере пары у = 4х + 12 и у = 0,25х – 3. Возьмем, например, значение х = 5 и подставим его в у = 4х + 12:

у = 4х + 12 = 4•5 + 12 = 32

Получили 32. Подставим это число в обратную функцию:

у = 0,25х – 3 = 0,25•32 – 3 = 8 – 3 = 5

Получили именно то число, которое первоначально подставили в первую функцию! Возьмем другое произвольное число, например, 10, и подставим его в у = 4х + 12:

у = 4•10 + 12 = 40 + 12 = 52

Полученный результат подставляем в у = 0,25х – 3:

у = 0,25•52 – 3 = 13 – 3 = 10

Снова получили исходное число! Выберете сами ещё несколько произвольных чисел и убедитесь, что и с ними будет происходить то же самое.

Посмотрим, как получить обратную функцию. Пусть дана зависимость

Это, по сути, выражение для вычисления у. Выразим из него х:

Получили зависимость х от у. Чтобы мы получили из нее обратную функцию, необходимо просто поменять местами буквы х и у:

Убедитесь самостоятельно на нескольких примерах, что полученная функция обратна функции у = 5х + 20.

Пример. Найдите функцию, обратную зависимости у = 1/(х + 7).

Решение. Умножим обе части равенства у = 1/(х + 7) на (х + 7):

Далее поделим обе части нау:

Перенесем семерку вправо и получим формулу для вычисления х:

Для получения обратной функции просто меняем х и у местами:

Предположим, у нас есть у= у(х), чей график нам известен, и необходимо построить график взаимно обратной функции. Как это сделать? Если одна точка на координатной прямой имеет координаты (a; b) и принадлежит функции у = у(х), то, обратной функции должна принадлежать точка (b; a):

Эти точки симметричны относительно прямой у = х:

Поэтому для построения графика обратной функции достаточно симметрично отобразить его относительно прямой у = х.

С помощью этого правила построим график функции, обратной у = х 3 :

Практика показывает, что не все школьники (да и взрослые тоже) понимают, что означает симметричность относительно прямой у = х, ведь эта прямая наклонена. Здесь требуется довольно высокий уровень пространственного мышления. Куда проще понять симметрию относительно вертикальной или горизонтальной линии. Поэтому мы покажем ещё один способ построения обратных функций, который состоит из двух этапов.

Он заключается в том, что сначала график отображают симметрично относительно вертикальной оси Оу:

На втором этапе полученное отображение поворачивают по часовой стрелке относительно начала координат:

Заметим важное правило. При построении обратной функции области определения и области значений меняются местами. Действительно, если какое-то число входит в область значения функции, то это значит, что его можно подставить в обратную функцию. Но это в свою очередь означает, что она входит в область определения обратной функции. Проиллюстрируем это правило картинкой:

До сих пор мы рассматривали способы построения обратных функций, но ведь в самом начале урока говорилось о том, что обратная функция существует не всегда. Действительно, попытаемся построить обратную функцию для у = х 2 :

Получилась та же парабола, но «лежащая на боку». Является ли она графиком функции? Нет. На рисунке проведена вертикальная линия, которая пересевает график в двух точках. Это значит, что одному значению х (в данном случае х = 5) соответствует сразу два значения у. Но подобное соответствие не является функцией. Это значит, что у = х 2 – необратимая функция.

Есть ли какой-то признак, позволяющий быстро сказать, является ли функция обратимой? Оказывается, есть. Если функция строго монотонна (то есть либо только возрастает, либо только убывает), то это гарантирует, что она ещё и обратима. Покажем это с помощью рисунков. Известно, что каждому значению строго монотонной функции соответствует лишь один аргумент. С точки зрения геометрии это означает, что любая горизонтальная линия пересекает монотонную функцию не более чем в одной точке:

К слову, это свойство мы использовали для решения некоторых уравнений. Теперь отобразим график симметрично прямой у = х, причем также отобразим и горизонтальные линии:

Горизонтальные линии превратились в вертикальные, при этом они всё также пересекают график не более чем в одной точке. Но это как раз и означает, что график задает функцию, а не какое-то другое соответствие. Отсюда делаем вывод – любая строго монотонная функция обратима.

Снова вернемся к функции у = х 2 . Мы уже показали, что она необратима. Но теперь наложим на нее дополнительное ограничение: х⩾0. Тогда от графика параболы останется только одна ветвь. Для нее уже можно построить обратную функцию:

Можно сделать вывод – обратимость функции зависит не только от самого вида функции, но и от того, на какой области определения ее рассматривают.

Кубический корень

Ранее мы изучили понятие квадратного корня. Напомним, что извлечение квадратного корня – это операция, обратная возведению в квадрат. Другими словами, функция

является обратной для у = х 2 .

Встает вопрос – а можно ли придумать функцию, обратную возведению в куб? Конечно же да, ведь мы убедились в том, что функция у = х 3 обратима. Называют же функцию, обратную у = х 3 , кубическим корнем.

Можно дать и другое определение, не использующее понятие функции:

Например, мы знаем, что число 5 в кубе равно 125:

Это значит, что кубический корень из 125 равен 5.

Для обозначения кубического корня используют тот же знак радикала, что и для квадратного корня. Чтобы их отличать друг от друга, в случае с кубическим корнем перед знаком радикала ставят тройку:

Заметим важное отличие кубического и квадратного корня. Мы привыкли, что под знаком радикала не должно стоять отрицательное число. Но кубический корень из отрицательного числа извлечь можно. Например, мы знаем, что (– 6) 3 = – 216. Отсюда следует, что

График кубического корня можно получить, просто построив функцию, обратную у = х 3 :

Корни n-ой степени

Аналогично кубическому корню можно ввести понятие и корня произвольной n-ой степени.

Для обозначения корня n-ой степени используется знак радикала, перед которым стоит число n. Приведем пример. Мы знаем, что 2 5 = 32. Это значит, что корень 5-ой степени из 32 равен 2:

Мы помним, что все степенные функции вида у = х n схожи друг с другом и при этом могут быть разбиты на два класса, в зависимости от четности или нечетности показателя степени n. Если n– четное число (2, 4, 6…), то график будет похож на параболу у = х 2 , просто он будет чуть сильнее «прижат» к оси Ох вблизи точки О (0;0), но вместе с тем он будет и быстрее возрастать:

Если же показателем n является нечетное число, то график у = х n будет схож с графиком у = х 3 :

Мы видим, что при нечетном показателе получается строго монотонная (возрастающая) функция. Следовательно, она обратима. Функция, обратная функции у = х n , и будет корнем степени n.

Если n нечетно, то корень можно извлечь и из отрицательного числа. Так, известно, что (– 3) 7 = – 2187. Это значит, что корень седьмой степени из (– 2187) равен (– 3):

Очевидно, что корень получится отрицательным, если под ним стоит отрицательное число. Если же подкоренное выражение положительно, то и сам корень положителен. Более того, можно заметить, что корень из отрицательного числа равен корню из противоположенного ему положительного числа, взятого со знаком минус:

В общем случае графики всех корней нечетных степеней будут похожи на график кубического корня:

Несколько сложнее дело обстоит в том случае, если показатель n является четным. Мы уже выяснили, что у = х 2 – это необратимая функция. Аналогично и любая другая степенная функция у = х n необратима. Однако у = х 2 обратима, если наложить дополнительное ограничение: х ≥ 0. Аналогично, при использовании такого же ограничения, обратимой будет и любая функция у = х n , где n – четное число. График такой функции будет похож на квадратный корень:

При четном значении n корень n-ой степени нельзя извлечь из отрицательного числа. Действительно, попробуем возвести в четную степень положительное число:

Получили другое положительное число. Теперь попробуем возвести в четную степень отрицательное число:

(– 5) 4 = (– 5)•(– 5)•(– 5)•(– 5) = 625

Результат снова положительный! Минусы у отрицательных чисел «сократились» друг с другом, и получилось положительное произведение. Но раз при возведении в четную степень всегда получается неотрицательное число, значит, и под четным корнем должно также стоять неотрицательное число. Поэтому подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Арифметические корни n-ой степени

Мы видим, что складывается не очень удобная для математиков ситуация: корни n-ой степени из отрицательного числа можно извлечь, если n – нечетное число, но при четном n такая операция уже недопустима. Это порождает много проблем при работе с корнями. Для устранения этих проблем вводится понятие арифметического корня степени n. Его особенность в том, что он всегда извлекается из неотрицательного числа и сам принимает значения, не меньшие нуля.

Заметим, что корень нечетной степени из отрицательного числа всегда можно выразить с помощью арифметического корня, просто вынеся знак минус из-под корня:

Поэтому арифметических корней вполне хватает для работы в любых ситуациях.

Определение корня можно записать в более формализованном виде:

Проиллюстрируем использование этой формулы:

Свойства корня n-ой степени

Далее рассмотрим некоторые свойства корней степени n, помогающие вычислять их значения. Сразу скажем, что они во многом идентичны свойствам квадратного корня.

Для доказательства этого свойства правую часть в n-ую степень:

Приведем примеры использования этого свойства:

Отсюда следует, что множители можно вносить и выносить из-под знака корня:

Следующее свойство помогает извлекать корни из дробей.

Доказывается это свойство так же, как и первое. Возведем в n-ую степень правую часть формулы:

Продемонстрируем применение доказанного тождества:

Заметим, что если под корнем находится степень какого-то числа, то ее вынести из-под радикала:

Доказать это можно, разложив число a m в произведение:

Всего справа стоит m множителей. Теперь извлечем корень степени n:

Справа всё те же m множителей, а потому

Таким образом, получаем, что

Покажем несколько примеров использования этого правила:

Далее посмотрим, как извлекать корень из другого корня.

Для доказательства возведем корень в левой части формулы в степень mn:

По определению корня получаем, что

Проиллюстрируем использование данного правила:

Последнее свойство, которое нам осталось изучить, называют основным свойством корня.

Доказательство записывается всего в одну строчку:

Степени в корне и под ним можно «сокращать»:

Сравнение корней

Естественно, что большинство корней – это не целые, а иррациональные числа, которые довольно сложно вычислять. Тем не менее есть несколько правил, которые помогают оценивать их значение. Из графиков корней видно, что все они являются возрастающими функциями. Поэтому, если необходимо сравнить два корня одной степени, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Тот корень, у которого под корнем стоит большее число, и будет больше

В частности, справедливы неравенства:

В случае, если у корней различаются степени, следует постараться преобразовать их так, чтобы степени всё же совпали.

Пример. Сравните числа

Решение. Преобразуем первое число, чтобы у нас получился корень шестой степени:

Так как 121 > 119, то и

Пример. Сравните числа

Решение. Сначала избавимся от вложенных корней:

Получили два кубических корня. Меньше тот из них, у которого под радикалом меньшее число:

Пример. Сравните корни

Решение. Имеем корни 7-ой и 4-ой степени. К какой одинаковой степени можно привести оба корня? Это число 28, ведь оно представляет собой произведение 7•4:

Источник