Что значит упростить пропорцию
ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН
§ 125. Понятие о пропорции.
Пропорцией называется равенство двух отношений. Вот примеры равенств, называемых пропорциями:
Примечание. Наименования величин в пропорциях не указаны.
Пропорции принято читать следующим образом: 2 так относится к 1 (единице), как 10 относится к 5 (первая пропорция). Можно читать иначе, например: 2 во столько раз больше 1, во сколько раз 10 больше 5. Третью пропорцию можно прочесть так: — 0,5 во столько раз меньше 2, во сколько раз 0,75 меньше 3.
Числа, входящие в пропорцию, называются членами пропорции. Значит, пропорция состоит из четырёх членов. Первый и последний члены, т. е. члены, стоящие по краям, называются крайними, а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Значит, в первой пропорции числа 2 и 5 будут крайними членами, а числа 1 и 10 — средними членами пропорции.
§ 126. Основное свойство пропорции.
Перемножим отдельно её крайние и средние члены. Произведение крайних 6 • 4 = 24, произведение средних 3 • 8 = 24.
Рассмотрим другую пропорцию: 10 : 5 = 12 : 6. Перемножим и здесь отдельно крайние и средние члены.
Произведение крайних 10 • 6 = 60, произведение средних 5 • 12 = 60.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних её членов.
В общем виде основное свойство пропорции 
записывается так: ad = bc.
Проверим его на нескольких пропорциях:
1) 12 : 4 = 30 : 10.
Пропорция эта верна, так как равны отношения, из которых она составлена. Вместе с тем, взяв произведение крайних членов пропорции (12 • 10) и произведение средних её членов (4 • 30), мы увидим, что они равны между собой, т. е.
Пропорция верна, в чём легко убедиться, упростив первое и второе отношения. Основное свойство пропорции примет вид:
Нетрудно убедиться в том, что если мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоит произведение двух каких-нибудь чисел, а в правой части произведение двух других чисел, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию.
Пусть у нас имеется равенство, в которое входят четыре числа, попарно перемноженные:
эти четыре числа могут быть членами пропорции, которую нетрудно написать, если принять первое произведение за произведение крайних членов, а второе — за произведение средних. Изданного равенства можно составить, например, такую пропорцию:
Вообще, из равенства ad = bc можно получить следующие пропорции:
Проделайте самостоятельно следующее упражнение. Имея произведение двух пар чисел, напишите пропорцию, соответствующую каждому равенству:
§ 127. Вычисление неизвестных членов пропорции.
Основное свойство пропорции позволяет вычислить любой из членов пропорции, если он неизвестен. Возьмём пропорцию:
В этой пропорции неизвестен один крайний член. Мы знаем, что во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. На этом основании мы можем написать:
После умножения 4 на 15 мы можем переписать это равенство так:
Рассмотрим это равенство. В нём первый сомножитель неизвестен, второй сомножитель известен и произведение известно. Мы знаем, что для нахождения неизвестного сомножителя достаточно произведение разделить на другой (известный) сомножитель. Тогда получится:
Проверим найденный результат подстановкой числа 20 вместо х в данную пропорцию:
Подумаем, какие действия нам пришлось выполнить для вычисления неизвестного крайнего члена пропорции. Из четырёх членов пропорции нам был неизвестен только один крайний; два средних и второй крайний были известны. Для нахождения крайнего члена пропорции мы сначала перемножили средние члены (4 и 15), а затем найденное произведение разделили на известный крайний член. Сейчас мы покажем, что действия не изменились бы, если бы искомый крайний член пропорции стоял не на первом месте, а на последнем. Возьмём пропорцию:
Запишем основное свойство пропорции: 70 • х = 10 • 21.
Перемножив числа 10 и 21, перепишем равенство в таком виде:
Здесь неизвестен один сомножитель, для его вычисления достаточно произведение (210) разделить на другой сомножитель (70),
Таким образом, мы можем сказать, что каждый крайний член пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний.
Перейдём теперь к вычислению неизвестного среднего члена. Возьмём пропорцию:
Напишем основное свойство пропорции:
Вычислим произведение 30 на 9 и переставим части последнего равенства:
Найдём неизвестный сомножитель:
30 : 10 = 27 : 9. Пропорция верна.
Возьмём ещё одну пропорцию:
12 : б = х : 8. Напишем основное свойство пропорции:
12 . 8 = 6 • х. Перемножая 12 и 8 и переставляя части равенства, получим:
6 • х = 96. Находим неизвестный сомножитель:
Таким образом, каждый средний член пропорции равен произведению крайних, делённому на другой средний.
Найдите неизвестные члены следующих пропорций:
Два последних правила в общем виде можно записать так:
1) Если пропорция имеет вид:
2) Если пропорция имеет вид:
§ 128. Упрощение пропорции и перестановка её членов.
В настоящем параграфе мы выведем правила, позволяющие упрощать пропорцию в том случае, когда в неё входят большие числа или дробные члены. K числу преобразований, не нарушающих пропорцию, относятся следующие:
1. Одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз.
П р и м е р. 40 : 10 = 60 : 15.
Увеличив в 3 раза оба члена первого отношения, получим:
Пропорция не нарушилась.
Уменьшив в 5 раз оба члена второго отношения, получим:
Получили опять правильную пропорцию.
2. Одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз.
Пример. 16:8 = 40:20.
Увеличим в 2 раза предыдущие члены обоих отношений:
Получили правильную пропорцию.
Уменьшим в 4 раза последующие члены обоих отношений:
Пропорция не нарушилась.
Два полученных вывода можно кратко высказать так: Пропорция не нарушится, если мы одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз любой крайний член пропорции и любой средний.
Например, уменьшив в 4 раза 1-й крайний и 2-й средний члены пропорции 16:8 = 40:20, получим:
3. Одновременное увеличение или уменьшение всех членов пропорции в одинаковое число раз. Пример. 36:12 = 60:20. Увеличим все четыре числа в 2 раза:
Пропорция не нарушилась. Уменьшим все четыре числа в 4 раза:
Перечисленные преобразования дают возможность, во-первых, упрощать пропорции, а во-вторых, освобождать их от дробных членов. Приведём примеры.
1) Пусть имеется пропорция:
В ней членами первого отношения являются сравнительно большие числа, и если бы мы пожелали найти значение х, то нам пришлось бы выполнять вычисления над этими числами; но мы знаем, что пропорция не нарушится, если оба члена отношения разделить на одно и то же число. Разделим каждый из них на 25. Пропорция примет вид:
Мы получили, таким образом, более удобную пропорцию, из которой х можно найти в уме:
2) Возьмём пропорцию:
В этой пропорции есть дробный член ( 1 /2), от которого можно освободиться. Для этого придётся умножить этот член, например, на 2. Но о д и н средний член пропорции мы не имеем права увеличивать; нужно вместе с ним увеличить какой-нибудь из крайних членов; тогда пропорция не нарушится (на основании первых двух пунктов). Увеличим первый из крайних членов
(2 • 2) : (2 • 1 /2) = 20 : 5, или 4 : 1 = 20:5.
Увеличим второй крайний член:
2 : (2 • 1 /2) = 20 : (2 • 5), или 2 : 1 = 20 : 10.
Рассмотрим ещё три примера на освобождение пропорции от дробных членов.
Приведём дроби к общему знаменателю:
Умножив на 8 оба члена первого отношения, получим:
Пример 2. 12 : 15 /14= 16 : 10 /7. Приведём дроби к общему знаменателю:
Умножим оба последующих члена на 14, получим: 12:15 = 16:20.
Умножим все члены пропорции на 48:
При решении задач, в которых встречаются какие-нибудь пропорции, часто приходится для разных целей переставлять члены пропорции. Рассмотрим, какие перестановки являются законными, т. е. не нарушающими пропорции. Возьмём пропорцию:
Переставив в ней крайние члены, получим:
Переставим теперь средние члены:
Переставим одновременно и крайние, и средние члены:
Все эти пропорции верны. Теперь поставим первое отношение на место второго, а второе — на место первого. Получится пропорция:
В этой пропорции мы сделаем те же перестановки, какие делали раньше, т. е. переставим сначала крайние члены, затем средние и, наконец, одновременно и крайние, и средние. Получатся ещё три пропорции, которые тоже будут справедливыми:
Итак, из одной данной пропорции путём перестановки можно получить ещё 7 пропорций, что вместе с данной составляет 8 пропорций.
Особенно легко обнаруживается справедливость всех этих пропорций при буквенной записи. Полученные выше 8 пропорций принимают вид:
а : b = с : d; c : d = a : b ;
d : b = с : a; b : d = a : c;
a : c = b : d; c: a = d : b;
d : c = b : a; b : a = d : c.
Легко видеть, что в каждой из этих пропорций основное свойство принимает вид:
Таким образом, указанные перестановки не нарушают справедливости пропорции и ими можно пользоваться в случае надобности.
Источник
Задачи на пропорции
О чем эта статья:
5 класс, 7 класс, 8 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие пропорции
Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.
Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.
Главное свойство пропорции:
Произведение крайних членов равно произведению средних.
где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.
Вывод из главного свойства пропорции:
- Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
- Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:
Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.
Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.
Задачи на пропорции с решением и ответами
Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.
Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1
В этом примере неизвестны крайние члены, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:
Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y
Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8
Задание 4. Решить: 7/5 = y/10
Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y
- Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.
На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡
Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?
- Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:
Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.
Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?
- Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
- Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.
Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.
Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?
Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.
Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.
Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.
Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.
- Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.
Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.
Подставим известные значения: 75/52 = t2/13
t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин
Ответ: 18 часов 45 минут.
Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?
1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:
- Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:
Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:
Источник
