Главная » Этимология слов

Что значит унитарное преобразование

Содержание
  1. Унитарные операторы
  2. Содержание
  3. Унитарное преобразование [ править ]
  4. Воздействие на кубит [ править ]
  5. Унитарность воздействия [ править ]
  6. Квантовые вычисления [ править ]
  7. Матричная запись вычислений [ править ]
  8. Примеры однокомпонентных логических элементов [ править ]
  9. Воздействие на n-кубит [ править ]
  10. Двухкубитовые системы и операторы [ править ]
  11. Унитарные пространства и их линейные преобразования
  12. Линейные преобразования унитарных пространств
  13. Сопряженные преобразования унитарного пространства
  14. Эрмитово преобразование унитарного пространства[/h1]
  15. Нормальное преобразование унитарного пространства
  16. Теорема (9.13) о диагонализируемости нормального преобразования
  17. УНИТАРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
  18. Смотреть что такое «УНИТАРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ» в других словарях:

Унитарные операторы

Содержание

Унитарное преобразование [ править ]

Преобразование нормированного пространства, сохраняющее норму вектора, называется унитарным.

Простейшие свойства унитарного преобразования:

  1. унитарный оператор всегда обратим
  2. если оператор [math]\hat[/math] — эрмитов, то оператор [math]\hat = exp(i\hat)[/math] — унитарный
  3. существует оператор, обратный к унитарному [math]\hat^ <-1>= \hat^*[/math] , где [math]\hat^*[/math] — оператор, сопряженный к [math]\hat[/math]

Унитарные операторы играют огромную роль в квантовой информатике.

Воздействие на кубит [ править ]

Унитарность воздействия [ править ]

Покажем, что любое физическое воздействие на кубит в квантовой механике описывается линейным унитарным оператором [math]\hat[/math] как [math]|\tilde<\psi>\rangle = \hat|\psi\rangle[/math] .

Линейность [math]\hat[/math] вытекает из линейности уравнения Шредингера. Пусть [math]|\Psi\rangle = \alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle[/math] — вектор, описывающий состояние системы. Тогда уравнение Шредингера записывается как [math]ih\frac<\partial |\Psi\rangle> <\partial t>= \hat|\Psi\rangle[/math] , где оператор [math]\hat[/math] — оператор Гамильтона. Решение этого уравнения с начальным условием [math]|\Psi\rangle|_ = |\psi\rangle[/math] может быть записано в виде [math]|\tilde<\psi>\rangle = \exp\left(\frac<-i\hatt>\right)|\psi\rangle = \hat |\psi\rangle[/math] . Оператор Гамильтона [math]\hat[/math] должен быть эрмитовым, чтобы допустимые значения энергии системы были вещественными. Тогда оператор [math]\frac<-\hatt>[/math] тоже будет эрмитов. Отсюда в силу свойства 2 унитарного оператора вытекает, что оператор [math]\hat[/math] — унитарный, что и требовалось показать.

Унитарность оператора [math]\hat[/math] означает, что если исходное состояние квантовой системы нормировано, то и состояние, в которое система перейдет после совершения воздействия также будет нормированным.

Квантовые вычисления [ править ]

В дальнейшем будем рассматривать воздействие на кубит (или на систему кубитов) как процесс вычисления. При этом вектор [math]|\psi\rangle[/math] играет роль входных данных, оператор [math]\hat[/math] — вычислительного процесса, а вектор [math]|\tilde<\psi>\rangle[/math] — результата вычислений.

Так как воздействие представимо унитарным оператором, то любой вычислительный процесс обратим.

Матричная запись вычислений [ править ]

Будем использовать матричное представление операторов [math]\hat[/math] .

Рассмотрим действие оператора на кубит. В силу линейности оператора [math]\hat|\psi\rangle = \tilde<\alpha>|0\rangle + \tilde<\beta>|1\rangle = \hat(\tilde<\alpha>|0\rangle + \tilde<\beta>|1\rangle) = \tilde<\alpha>\hat|0\rangle + \tilde<\beta>\hat|1\rangle[/math] , то есть действие оператора на кубит предствляется действием на базисные вектора [math]|0\rangle[/math] и [math]|1\rangle[/math] , которые представляют собой ортонормированный базис в двумерном гильбертовом пространстве. Тогда получим:

[math]\hat|0\rangle = \hat_<00>|0\rangle + \hat_<10>|1\rangle[/math]

[math]\hat|1\rangle = \hat_<01>|0\rangle + \hat_<11>|1\rangle[/math]

Тогда вычисление можно записать в виде

или просто [math]\tilde <\psi>= U\psi[/math] . Матрица [math]U[/math] называется матричным представлением оператора [math]\hat[/math] . Свойство унитарности оператора налагает требование унитарности на его матрицу.

Примеры однокомпонентных логических элементов [ править ]

Воздействие на n-кубит [ править ]

Двухкубитовые системы и операторы [ править ]

Для простоты будем рассматривать 2-кубиты. Все сказанное ниже может быть несложным образом обобщено на случай [math]n\gt 2[/math]

Рассмотрим систему из двух кубитов:

[math]|\psi_1\rangle = \alpha_1|0_1\rangle + \beta_1|1_1\rangle \in H_1[/math] ,

[math]|\psi_2\rangle = \alpha_2|0_2\rangle + \beta_2|1_2\rangle \in H_2[/math]

Построим векторное пространство, элементами которого являются пары векторов, один из которых принадлежит [math]H_1[/math] , а другой [math]H_2[/math] . Такое пространство называется тензорным произведением [math]H_1[/math] и [math]H_2[/math] и обозначается как [math]H_1\otimes H_2[/math] . Базисные вектора такого пространства представляют собой
[math]|00\rangle = |0_1\rangle \otimes |0_2\rangle[/math] ,
[math]|01\rangle = |0_1\rangle \otimes |1_2\rangle[/math] ,
[math]|10\rangle = |1_1\rangle \otimes |0_2\rangle[/math] ,
[math]|11\rangle = |1_1\rangle \otimes |1_2\rangle[/math] .

Базисные вектора тензорного произведения являются ортонормированными.

Любое состояние двухкубитовой системы можно представить как

[math]|\psi\rangle = \gamma_<00>|00\rangle + \gamma_<01>|01\rangle + \gamma_<10>|10\rangle + \gamma_<11>|11\rangle[/math] , где [math]\gamma_[/math] как и раньше — вероятность обнаружить систему в состоянии [math]|ij\rangle[/math] .

Операторы, определенные в тензорном произведении действуют покомнонентно:
[math](\hat \otimes \hat)(|\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle = (\hat|\psi_1\rangle) \otimes (\hat|\psi_2\rangle)[/math]

Источник

Унитарные пространства и их линейные преобразования

Комплексное линейное пространство [math]\mathbb[/math] называется унитарным (или эрмитовым ), если каждой паре элементов [math]\boldsymbol, \boldsymbol[/math] этого пространства поставлено в соответствие комплексное число [math]\langle \boldsymbol,\boldsymbol\rangle[/math] , называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

0\quad \forall\boldsymbol\ne \boldsymbol

\land\, \langle \boldsymbol,\boldsymbol \rangle=0

\land\, \langle \boldsymbol,\boldsymbol \rangle=0

Условия 1-4 называются аксиомами скалярного произведения (в комплексном линейном пространстве). По аксиоме 1 комплексные числа [math]\langle \boldsymbol,\boldsymbol \rangle[/math] и [math]\langle \boldsymbol,\boldsymbol \rangle[/math] сопряженные, а скалярный квадрат [math]\langle \boldsymbol,\boldsymbol \rangle=\overline<\langle \boldsymbol, \boldsymbol \rangle>[/math] — действительное число, причем неотрицательное (по аксиоме 4).

Из аксиом 1 и 3 следует правило вынесения числового множителя от второго сомножителя скалярного произведения:

Из аксиом 1-3 следует общая формула

для любых векторов [math]\boldsymbol_i,\,\boldsymbol_j[/math] и комплексных чисел [math]\alpha_1,\,\beta_j,

Для унитарных пространств также, как для евклидовых, вводятся понятия длины (нормы, модуля) вектора, ортогональности векторов, ортогонального и ортонормированного базисов, процесса ортогонализации, ортогонального дополнения, изоморфизма. В частности, любое n-мерное унитарное пространство изоморфно комплексному арифметическому пространству [math]\mathbb^n[/math] со стандартным скалярным произведением

где [math]x=\beginx_1&x_2& \cdots&x_n \end^T[/math] и [math]y=\begin y_1&y_2&\cdots&y_n \end^T[/math] .

Линейные преобразования унитарных пространств

Рассмотрим линейные преобразования конечномерных унитарных пространств, т.е. комплексных линейных пространств со скалярным произведением. Заметим, что в отличие от линейных преобразований вещественных пространств любое линейное преобразование комплексного пространства всегда имеет собственные значения и собственные векторы, которые совпадают с собственными значениями и собственными векторами матрицы этого преобразования, определенной относительно любого базиса.

Сопряженные преобразования унитарного пространства

Определения сопряженных преобразований унитарных и евклидовых пространств совпадают. Поэтому они имеют аналогичные свойства.

1. Сопряженное преобразование унитарного пространства — линейное.

2. Для каждого линейного преобразования существует единственное сопряженное преобразование, причем матрица сопряженного преобразования является сопряженной по отношению к матрице данного преобразования. Другими словами, если [math]A[/math] — матрица преобразования [math]\mathcal[/math] (определенная относительно ортонормированного базиса), то сопряженная матрица [math]A^<\ast>[/math] является матрицей сопряженного преобразования [math]\mathcal^<\ast>[/math] (определенной относительно того же базиса).

Эрмитово преобразование унитарного пространства[/h1]

Определение эрмитова преобразования аналогично определению самосопряженного преобразования евклидова пространства. Поэтому они имеют аналогичные свойства.

1. Матрица [math]A[/math] эрмитова преобразования в любом ортонормированном базисе является эрмитовой [math]\bigl(A^<\ast>=A\bigr)[/math] , и наоборот, если в каком-либо ортонормированном базисе матрица преобразования эрмитова, то это преобразование является эрмитовым.

2. Все корни характеристического уравнения эрмитова преобразования действительные.

3. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям эрмитова преобразования, ортогональны.

[h2]Унитарное преобразование унитарного пространства

Унитарное преобразование аналогично ортогональному преобразованию евклидова пространства и обладает соответствующими свойствами (см. свойства ортогонального преобразования).

1. Унитарное преобразование — линейное.

2. Линейное преобразование унитарно тогда и только тогда, когда оно отображает ортонормированный базис в ортонормированный.

4. Унитарное преобразование обратимо.

5. Все собственные значения унитарного преобразования по модулю равны единице.

6. Определитель матрицы унитарного преобразования по модулю равен единице.

Нормальное преобразование унитарного пространства

Эрмитовы и унитарные преобразования являются нормальными, так как из равенства [math]\mathcal= \mathcal^<\ast>[/math] следует, что

Нормальное преобразование унитарного пространства обладает следующими свойствами.

Теорема (9.13) о диагонализируемости нормального преобразования

где [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] — собственные значения преобразования of, повторенные в соответствии с их кратностью.

Следствие 1. Унитарное преобразование приводится к диагональному виду (9.25) с собственными значениями [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] , по модулю равными единице.

Следствие 2. Эрмитово преобразование приводится к диагональному виду (9.25) с вещественными собственными значениями [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] .

Методика приведения нормального преобразования к диагональному виду аналогична методике приведения самосопряженного преобразования к диагональному виду.

Источник

УНИТАРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

— линейное преобразование Аунитарного пространства L, сохраняющее скалярное произведение векторов, т. е. такое, что для любых векторов хи . из Lимеет место равенство

У. п. сохраняет, в частности, длину вектора. Обратно, если линейное преобразование унитарного пространства сохраняет длины всех векторов, то оно унитарно. Собственные значения У. п. равны по модулю 1; собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Линейное преобразование Аконечномерного унитарного пространства Lявляется У. п. тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих условий:
1) в любом ортонормированием базисе преобразованию Асоответствует унитарная матрица;
2) Апереводит любой ортонормированный базис в ортопормированный;
3) в Lсуществует ортонормированный базис, состоящий из собственных для Авекторов, причем соответствующая Ав этом базисе диагональная матрица имеет диагональные элементы, равные по модулю 1.
У. п. данного унитарного пространства образуют относительно умножения преобразований группу (наз. унитарной группой).
A. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Смотреть что такое «УНИТАРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ» в других словарях:

унитарное преобразование — unitarinė transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. unitary transformation vok. unitäre Transformation, f rus. унитарное преобразование, n pranc. transformation unitaire, f … Fizikos terminų žodynas

Унитарное преобразование — Преобразование заданного нормированного пространства называется унитарным, если оно сохраняет норму вектора. Свойства унитарных преобразований: оператор унитарного преобразования всегда обратим. если оператор эрмитов, то оператор унитарен.… … Википедия

Унитарное преобразование — Линейное преобразование x’i = ui1x1 + ui2x2 +. + uinxn (i = 1, 2. n) с комплексными коэффициентами, сохраняющее неизменной сумму квадратов модулей преобразуемых величин У. п. представляет собой… … Большая советская энциклопедия

УНИТАРНОЕ ГОСУДАРСТВО — простое по составу, единое цельное государственное образование, состоящее из административно территориальных единиц (департаменты, провинции, округа, области, кантоны и т.д.), не имеющих каких либо суверенных прав и подчиненных центральным… … Юридическая энциклопедия

УНИТАРНОЕ ГОСУДАРСТВО — простое по составу, единое цельное государственное образование, состоящее из административно территориальных единиц (департаменты, провинции, округа, области, кантоны и т.д.), не имеющих каких либо суверенных прав и подчиненное центральным… … Энциклопедический словарь экономики и права

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХОЗЯЙСТВЕННЫХ ТОВАРИЩЕСТВ И ОБЩЕСТВ — в соответствии со ст. 65 ГК хозяйственные товарищества и общества одного вида могут преобразовываться в хозяйственные товарищества и общества другого вида или в производственные кооперативы по решению общего собрания участников в случаях и… … Юридический словарь современного гражданского права

ПЕРРОНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — ортогональное (унитарное) преобразование (1) гладко зависящее от tи преобразующее линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (2) в систему треугольного вида (3) Введено О. Перроном [1]. Справедлива теорема Перрона: для всякой… … Математическая энциклопедия

Квантовый вентиль — (квантовый логический элемент) это базовый элемент квантового компьютера, преобразующий входные состояния кубитов на выходные по определённому закону. Отличается от обычных логических вентилей тем, что работает с кубитами, а следовательно… … Википедия

Квантовое сверхплотное кодирование — Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Квантовое сверхплотное кодирование&#1 … Википедия

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ — оператора, действующего в функциональном пространстве, ненулевые ф ции , переводящиеся оператором А в пропорциональные им: Комплексное либо вещественное число наз. собственным значением оператора А. В гильбертовомпространстве ф цийиа множестве … Физическая энциклопедия

Источник

Читайте также:  Что значит нотариальное заверение
Оцените статью
© 2024 Значения слов и выражений