Что значит умножить почленно неравенства

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 12 Почленное умножение неравенств

Теорема. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать.

Доказательство. Пусть а > b и с > d, причем числа а, b, с и d положительны. Докажем, что aс > bd.

Умножив неравенство а > b почленно на положительное число с, получим ас > bc. Умножив затем неравенство с > d почленно на положительное число b, получим bc > bd. Теперь имеем: ас > bc, a bc > bd. Но тогда по второму основному свойству неравенств (§ 10) должно быть ас > bd.

Аналогично может быть рассмотрен случай, когда a b, причем числа а и b положительны, то для любого натурального п

Действительно, умножая почленно неравенство а > b само на себя, получим а 2 > b 2 . Умножая затем почленно полученное неравенство на исходное неравенство а > b, получим а 3 > b 3 и т. д.

Следствие 2. Если числа а и b положительны и

Действительно, возможен один из трех случаев: а = b, a b.
Если а = b, то а n = b n .
При а а, и потому по следствию 1 b n > а n . И то и другое противоречит неравенству (1).
Остается признать, что а > b.

Пример. Определить, какое число больше: √ 5 + √ 6 или √ 3 + √ 8 .

Возвысим оба числа в квадрат:

(√ 5 + √ 6 ) 2 = 5 + 2√ 30 + 6 = 11 + 2√ 30 ;
(√ 3 + √ 8 ) 2 = 3 + 2√ 24 + 8 = 11 + 2√ 24

Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так как эти числа положительны, то по следствию 2

93. Любые ли два неравенства одинакового смысла можно почленно умножить? (Рассмотрите пример: 3 > — 10 и — 2 > — 7.)

94. а) Всегда ли из а > b вытекает, что а n > b n ? Ответ пояснить примерами.

б) Следует ли из а n n , что а 2 + √ 3 и √ 7 . 99*. 3 √ 2 + 3 √ 4 и 3 √ 26 ?

96. √ 5 + √ 3 и √ 6 + √ 2 100. (1 + √ 5 ) 100 и 3 100 .

97. √ 11 — √ 10 и √ 6 — √ 5 . 101. (√ 7 +√ 2 ) 9 и 4 9 .

98. √ 8 — √15 и 1 /₂(√ 30 — √ 2 ) 102. (√ 5 —√ 3 ) 51 и (√ 6 —√ 2 ) 51

Источник

Действия с неравенствами

Какие действия можно выполнять с неравенствами?

Неравенства вида a>b и c>d называются неравенствами одинакового смысла (одинакового знака, одноимённые).

Неравенства a>b и c

2) Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства из которого производится вычитание.

3) Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать.

Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o

4) Неравенства противоположного смысла ч положительными членами можно почленно делить, оставляя знак того неравенства, которое является делимым.

Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o

5) Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень.

b,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

>\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Верно и обратное: для a>0, b>o, k∈ N

,>\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

b.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Почленное сложение неравенств и другие действия с неравенств используются как в алгебре, так и в геометрии.

Источник

Решение линейных неравенств

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Символ Название Тип знака

> больше строгий знак
(число на границе не включается )

строгий знак
(число на границе не включается )

≥ больше или равно нестрогий знак
(число на границе включается )

≤ меньше или равно нестрогий знак
(число на границе включается )

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».

Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства.

Как решить линейное неравенство

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на противоположный .

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

если неравенство строгое, то число отмечается как «пустая» точка. Это означает, что число не входит в область решения;

если неравенство нестрогое, то число отмечается как «заполненная» точка. Это означает, что число входит в область решения.

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.

Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

Если неравенство умножается (делится) на положительное число, то
знак самого неравенства остаётся прежним .

Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число, то
знак самого неравенства меняется на противоположный .

Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.

Рассмотрим другое неравенство.

Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

Источник

Решение линейных неравенств

О чем эта статья:

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Типы неравенств

Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.

a > b и b > и

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

Если а > b , то b а.

Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.

Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x

Решение линейных неравенств

Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.

Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов заключается в следующем:

вводим функцию y = ax + b;

ищем нули для разбиения области определения на промежутки;

отмечаем полученные корни на координатной прямой;

определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;

определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

Как решаем:

В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

Определим знаки на промежутках.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;

во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.

Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).

Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.

Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

Источник

Читайте также: Что значит если выпадают брови у женщин