Что значит тип float

Тип float

Числа с плавающей запятой используют формат IEEE (Института инженеров по электротехнике и электронике). Значения с одиночной точностью и типом float имеют 4 байта, состоят из бита знака, 8-разрядной двоичной экспоненты excess-127 и 23-битной мантиссы. Мантисса представляет число от 1,0 до 2,0. Поскольку бит высокого порядка мантиссы всегда равен 1, он не сохраняется в числе. Это представление обеспечивает для типа float диапазон примерно от 3,4E–38 до 3,4E+38.

Можно объявить переменные в качестве типа float или double в зависимости от нужд приложения. Основные различия между двумя типами значения заключаются в представляемой ими значимости, требуемых ресурсах хранения и диапазоне. В следующей таблице показана связь между значимостью и требованиями к хранению.

Типы с плавающей запятой

Type	Значимые цифры	Число байтов
float	6–7	4
double	15–16	8

Переменные с плавающей запятой представлены мантиссой, которая содержит значение числа, и экспонентой, которая содержит порядок возрастания числа.

В следующей таблице показано количество битов, выделенных мантиссе и экспоненте для каждого типа с плавающей запятой. Наиболее значимый бит любого типа float или double — всегда бит знака. Если он равен 1, число считается отрицательным; в противном случае — положительным.

Длина экспонент и мантисс

Type	Длина экспоненты	Длина мантиссы
float	8 бит	23 бита
double	11 бит	52 бита

Поскольку экспоненты хранятся в форме без знака, экспоненты смещены на половину своего возможного значения. Для типа float смещение составляет 127; для типа double это 1023. Можно вычислить фактическое значение экспоненты, вычтя значение смещения из значения экспоненты.

Мантисса хранится в виде бинарной доли, которая больше или равна 1 и меньше 2. Для типов float и double в мантиссе подразумевается наличие начального 1 в наиболее значимой битовой позиции, поэтому фактически длина мантисс составляет 24 и 53 бит соответственно, даже если наиболее значимый бит никогда не хранится в памяти.

Вместо только что описанного метода хранения пакет значений с плавающей запятой может хранить двоичные числа с плавающей запятой как денормализованные числа. Денормализованные числа — это ненулевые числа с плавающей запятой и зарезервированными значениями экспонент, в которых наиболее значимый бит мантиссы равен 0. Используя денормализованный формат, можно расширить диапазон числа с плавающей запятой в ущерб точности. Невозможно контролировать, в какой форме будет представлено число с плавающей запятой — нормализованной или денормализованной. Пакет значений с плавающей запятой определяет представление. В пакете значений с плавающей запятой никогда не используется денормализованная форма. Исключение составляют случаи, когда экспонента становится меньше, чем минимальное значение, которое может быть представлено в нормализованной форме.

В следующей таблице показаны минимальное и максимальное значения, которое можно сохранить в переменных каждого типа с плавающей запятой. Значения, указанные в этой таблице, применяются только к нормализованным числам с плавающей запятой; денормализованные числа с плавающей запятой имеют меньшее минимальное значение. Обратите внимание, что номера, сохраненные в регистрах 80x87, всегда представлены в 80-разрядной нормализованной форме; при сохранении в 32- или 64-разрядных переменных с плавающей запятой числа могут быть представлены только в ненормализованной форме (переменные типов float и long).

Диапазон типов с плавающей запятой

Type	Минимальное значение	Максимальное значение
плавающее	1,175494351 E – 38	3,402823466 E + 38
double	2,2250738585072014 E – 308	1,7976931348623158 E + 308

Если точность менее важна, чем размер хранимых данных, имеет смысл использовать тип float для переменных с плавающей запятой. И наоборот, если точность — наиболее важный критерий, используйте тип double.

Уровень переменных с плавающей запятой можно повысить до типа большей значимости (преобразование типа float в тип double). Повышение уровня часто происходит при выполнении арифметических действий с переменными плавающего типа. Это арифметическое действие всегда выполняется на том же уровне точности, что и переменная с наивысшим уровнем точности. Например, проанализируйте объявления следующих типов.

В предыдущем примере уровень переменной f_short повышается до типа double, а затем переменная умножается на f_long ; затем результат округляется до типа float и присваивается объекту f_short .

В следующем примере (с использованием объявлений из предыдущего примера) арифметическая операция выполняется на уровне точности переменной типа float (32-разрядной). Уровень результата затем повышается до уровня double.

Источник

4.8 – Числовые типы с плавающей точкой

Целочисленные типы отлично подходят для подсчета целых чисел, но иногда нам нужно хранить очень большие числа или числа с дробной частью. Переменная типа с плавающей точкой (запятой) – это переменная, которая может содержать действительное число, например 4320,0, -3,33 или 0,01226. «Плавающая» в названии «с плавающей точкой» указывает на то, что десятичная точка может «плавать»; то есть она может поддерживать переменное количество цифр до и после себя.

Существует три разных типа данных с плавающей точкой: float , double и long double . Как и в случае с целыми числами, C++ не определяет фактические размеры этих типов (но гарантирует минимальные размеры). В современных архитектурах представление с плавающей точкой почти всегда соответствует двоичному формату IEEE 754. В этом формате float составляет 4 байта, double – 8, а long double может быть эквивалентно double (8 байтов), 80 битам (часто с дополнением до 12 байтов) или 16 байтам.

Типы данных с плавающей запятой всегда идут со знаком (могут содержать положительные и отрицательные значения).

Категория	Тип	Минимальный размер	Типовой размер
С плавающей запятой	float	4 байта	4 байта
double	8 байт	8 байт
long double	8 байт	8, 12 или 16 байт

Ниже показан пример определения чисел с плавающей запятой:

При использовании литералов с плавающей точкой всегда включайте хотя бы один знак после десятичной точки (даже если этот знак равен 0). Это помогает компилятору понять, что число принадлежит типу плавающей точкой, а не к целочисленному типу.

Обратите внимание, что по умолчанию литералы с плавающей точкой по умолчанию имеют тип double . Суффикс f используется для обозначения литерала типа float .

Лучшая практика

Всегда проверяйте, соответствует ли тип ваших литералов типу переменных, которым они назначаются или используются для инициализации. В противном случае произойдет ненужное преобразование, возможно, с потерей точности.

Предупреждение

Убедитесь, что вы не используете целочисленные литералы там, где должны использоваться литералы с плавающей точкой. Это включает в себя инициализацию или присвоение значений объектам с плавающей точкой, выполнение арифметических операций с плавающей точкой и вызов функций, ожидающих значений с плавающей точкой.

Печать чисел с плавающей точкой

Теперь рассмотрим следующую простую программу:

Результаты работы этой, казалось бы, простой программы могут вас удивить:

В первом случае std::cout напечатал 5, хотя мы ввели 5.0. По умолчанию std::cout не будет печатать дробную часть числа, если она равна 0.

Во втором случае число печатается так, как мы и ожидали.

В третьем случае напечаталось число в экспоненциальном представлении (если вам нужно освежить в памяти экспоненциальное представление, смотрите урок «4.7 – Введение в экспоненциальную запись»).

Диапазоны значений типов с плавающей точкой

Предполагая, что используется представление IEEE 754:

Размер	Диапазон значений	Точность
4 байта	от ±1,18 × 10 -38 до ±3,4 × 10 38	6-9 значащих цифр, обычно 7
8 байт	от ±2,23 × 10 -308 до ±1,80 × 10 308	15-18 значащих цифр, обычно 16
80 бит (обычно используется 12 или 16 байт)	от ±3,36 × 10 -4932 до ± 1,18 × 10 4932	18-21 значащая цифра
16 байт	от ±3,36 × 10 -4932 до ± 1,18 × 10 4932	33-36 значащих цифр

80-битный тип с плавающей запятой – это своего рода историческая аномалия. На современных процессорах он обычно реализуется с использованием 12 или 16 байтов (что является более естественным размером для обработки процессорами).

Может показаться немного странным, что 80-битный тип с плавающей запятой имеет тот же диапазон значений, что и 16-байтовый тип с плавающей запятой. Это связано с тем, что у них одинаковое количество бит, выделенных для показателя степени, однако 16-байтовое число может хранить больше значащих цифр.

Точность с типов плавающей запятой

Рассмотрим дробь 1/3. Десятичное представление этого числа – 0,33333333333333… с тройками, уходящими в бесконечность. Если бы вы писали это число на листе бумаги, ваша рука в какой-то момент устала бы, и вы, в конце концов, прекратили бы писать. И число, которое у вас осталось, будет близко к 0,3333333333…. (где 3-ки уходят в бесконечность), но не совсем.

На компьютере число бесконечной длины потребует для хранения бесконечной памяти, но обычно у нас есть только 4 или 8 байтов. Эта ограниченная память означает, что числа с плавающей запятой могут хранить только определенное количество значащих цифр – и что любые дополнительные значащие цифры теряются. Фактически сохраненное число будет близко к необходимому, но не точно.

Точность числа с плавающей запятой определяет, сколько значащих цифр оно может представлять без потери информации.

При выводе чисел с плавающей точкой std::cout по умолчанию имеет точность 6, то есть предполагает, что все переменные с плавающей точкой имеют только до 6 значащих цифр (минимальная точность с плавающей точкой), и, следовательно, он будет отсекать всё, что идет дальше.

Следующая программа показывает усечение std::cout до 6 цифр:

Эта программа выводит:

Обратите внимание, что каждое из напечатанных значений имеет только 6 значащих цифр.

Также обратите внимание, что std::cout в некоторых случаях переключился на вывод чисел в экспоненциальном представлении. В зависимости от компилятора показатель степени обычно дополняется до минимального количества цифр. Не беспокойтесь, 9.87654e+006 – это то же самое, что 9.87654e6 , только с некоторым количеством дополнительных нулей. Минимальное количество отображаемых цифр показателя степени зависит от компилятора (Visual Studio использует 3, некоторые другие в соответствии со стандартом C99 используют 2).

Число цифр точности переменной с плавающей запятой зависит как от размера (у float точность меньше, чем у double ), так и от конкретного сохраняемого значения (некоторые значения имеют большую точность, чем другие). Значения float имеют точность от 6 до 9 цифр, при этом большинство значений float имеют не менее 7 значащих цифр. Значения double имеют от 15 до 18 цифр точности, при этом большинство значений double имеют не менее 16 значащих цифр. Значения long double имеет минимальную точность 15, 18 или 33 значащих цифр в зависимости от того, сколько байтов этот тип занимает.

Мы можем переопределить точность по умолчанию, которую показывает std::cout , используя функцию манипулятора вывода с именем std::setprecision() . Манипуляторы вывода изменяют способ вывода данных и определяются в заголовке iomanip .

Поскольку с помощью std::setprecision() мы устанавливаем точность в 16 цифр, каждое из приведенных выше чисел печатается с 16 цифрами. Но, как видите, числа определенно неточны до 16 цифр! А поскольку числа float менее точны, чем числа double , число ошибок у float больше.

Проблемы с точностью влияют не только на дробные числа, они влияют на любое число со слишком большим количеством значащих цифр. Рассмотрим большое число:

123456792 больше, чем 123456789 . Значение 123456789.0 имеет 10 значащих цифр, но значения float обычно имеют точность 7 цифр (и результат 123456792 точен только до 7 значащих цифр). Мы потеряли точность! Когда теряется точность из-за того, что число не может быть точно сохранено, это называется ошибкой округления.

Следовательно, нужно быть осторожным при использовании чисел с плавающей запятой, которые требуют большей точности, чем могут содержать переменные.

Лучшая практика

Если нет ограничений по использованию памяти, отдавайте предпочтение использованию double вместо float , поскольку неточность float часто приводит к погрешностям.

Ошибки округления затрудняют сравнение чисел с плавающей запятой

С числами с плавающей запятой сложно работать из-за неочевидных различий между двоичными (как хранятся данные) и десятичными (как мы думаем) числами. Рассмотрим дробь 1/10. В десятичном формате ее легко представить как 0,1, и мы привыкли думать о 0,1 как о легко представимом числе с 1 значащей цифрой. Однако в двоичном формате 0,1 представлен бесконечной последовательностью: 0,00011001100110011… Из-за этого, когда мы присваиваем 0,1 числу с плавающей точкой, мы сталкиваемся с проблемами точности.

Эффект от этого можно увидеть в следующей программе:

Эта программ выводит следующее:

Как и ожидалось, в первой строке std::cout печатает 0,1 .

Во второй строке, где std::cout показывает нам 17-значную точность, мы видим, что d на самом деле не совсем равно 0,1 ! Это связано с тем, что из-за ограниченной памяти double пришлось усекать приближение. В результате получается число с точностью до 16 значащих цифр (что гарантирует тип double ), но это число не равно 0,1. Ошибки округления могут сделать число немного меньше или немного больше, в зависимости от того, где происходит усечение.

Ошибки округления также могут иметь неожиданные последствия:

Хотя можно было ожидать, что d1 и d2 должны быть равны, мы видим, что это не так. Если бы мы сравнивали d1 и d2 в программе, программа, вероятно, не работала бы так, как ожидалось. Поскольку числа с плавающей запятой имеют тенденцию быть неточными, их сравнение обычно проблематично – мы обсудим эту тему (и решения) подробнее в уроке «5.6 – Операторы отношения и сравнение значений с плавающей запятой».

Последнее замечание об ошибках округления: математические операции (такие как сложение и умножение), как правило, приводят к увеличению ошибок округления. Таким образом, даже несмотря на то, что 0,1 имеет ошибку округления в 17-й значащей цифре, когда мы складываем 0,1 десять раз, ошибка округления добралась бы и до 16-й значащей цифры. Продолжение операций приведет к тому, что эта ошибка станет всё более значительной.

Ключевые выводы

Ошибки округления возникают, когда число не может быть сохранено точно. Это может произойти даже с простыми числами, например, 0,1 . Таким образом, ошибки округления могут происходить постоянно. Ошибки округления – не исключение, а правило. Никогда не предполагайте, что ваши числа с плавающей запятой точны.

Следствие этого правила: будьте осторожны с использованием чисел с плавающей запятой для финансовых или валютных данных.

NaN и Inf

Существует две особые категории чисел с плавающей запятой. Первая – Inf , которая представляет бесконечность. Inf может быть положительной или отрицательной. Вторая – NaN , что означает «Not a Number» (не число). Существует несколько различных типов NaN (которые мы здесь обсуждать не будем). NaN и Inf доступны только в том случае, если компилятор для чисел с плавающей запятой использует определенный формат (IEEE 754). Если используется другой формат, следующий код приводит к неопределенному поведению.

Ниже приведена программа, показывающая все эти три категории чисел с плавающей точкой:

И результаты работы этой программы при использовании Visual Studio 2008 в Windows:

INF означает бесконечность, а IND означает неопределенность. Обратите внимание, что результаты печати Inf и NaN зависят от платформы, поэтому ваши результаты могут отличаться.

Лучшая практика

Вообще избегайте деления на 0, даже если ваш компилятор поддерживает это.

Заключение

Подводя итог, вы должны помнить две вещи о числах с плавающей запятой:

1. Числа с плавающей запятой полезны для хранения очень больших или очень маленьких чисел, в том числе с дробными частями.
2. Числа с плавающей запятой часто имеют небольшие ошибки округления, даже если число имеет меньше значащих цифр, чем точность, предоставляемая используемым типом данных. Часто они остаются незамеченными, потому что они малы, и потому, что при выводе числа урезаются. Однако сравнение чисел с плавающей запятой может не дать ожидаемых результатов. Выполнение математических операций над этими значениями приведет к увеличению ошибок округления.

Источник