Что значит стороны пропорциональны геометрия

Прямая и обратная пропорциональность

О чем эта статья:

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

• Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
• Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

• Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
• Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

• при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
• периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
• стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

1. Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
2. Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
3. Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

• х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
• х = 1 * 30 : 12/8
• х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

• время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
• при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
• количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

Источник

Пропорциональные отрезки

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 316.

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 316.

Пропорциональные отрезки очень важны для определения подобия фигур. К тому же, правильно нареченные пропорционально рисунки помогают в правильном решении математических задач. Именно поэтому так важно разбираться в данной тематике.

Определение

Пропорциональными отрезками называются отрезки, у которых имеется постоянный коэффициент пропорциональности. Под коэффициентом пропорциональности понимается отношение длин отрезков.

Рис. 1. Пропорциональные отрезки.

Согласно определению пропорциональных отрезков, два отрезка всегда пропорциональны между собой, поскольку их длины не меняются со временем. Значит, не меняется и коэффициент пропорциональности.

Несмотря на это, чаще всего под пропорциональными отрезками понимают отрезки с коэффициентом кратным 0,5. Например, отрезки с коэффициентом 2,5, 1,5, 2 и тому подобные.

Пропорциональными будут являться и отрезки, составляющие подобные фигуры. Это действует в обе стороны. Если фигуры подобны, то их стороны пропорциональны, если все стороны пропорциональны, то фигуры подобны.

Подобные фигуры

Нужно понимать, что подобными фигурами могут быть не только треугольники, но вообще любые фигуры в геометрии, если все углы этих фигур равны, а длины сторон пропорциональны.

Рис. 2. Подобные фигуры.

Но при этом признаки подобия существуют только для треугольников. Их всего 3:

• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пропорциональными могут быть только отрезки, как объекты имеющие длину. Прямая или луч бесконечны, а потому не могут быть подобными.

Пример

Решим небольшую задачу на пропорциональность отрезков. Имеется 3 пропорциональных отрезка. Каждый из которых больше предыдущего. Первый отрезок равен 5, третий 20. Необходимо найти длину второго отрезка.

Отрезки пропорциональны, значит отношение больших к меньшим будет постоянным. Обозначим неизвестны отрезок за х и решим уравнение.

Перенесем выражение из правой части в левую. Приведем получившееся выражение под один знаменатель и решим дробно-рациональное уравнение.

$х^2=100$ – х может являться положительным или отрицательным числом , но отрезок не может иметь отрицательную длину, значит х=10.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое пропорциональные отрезки. Выделили области, где могут быть применены навыки обращения с пропорциональными длинами и привели пример на заданную тему.

Источник

Математика

Четыре отрезка называются пропорциональными, если они такой величины, что образуют пропорцию. В этом случае отношение двух отрезков по длине равно отношению других двух отрезков.

Так четыре отрезка AB, CD, EF, GH (черт. 144) будут пропорциональными, если они удовлетворяют пропорции:

В этой пропорции под отрезками AB, CD подразумевают их длины. Так как длина отрезков может быть выражена числом, которое выражает отношение длины отрезка к длине, принятой за единицу, то под отрезками AB, CD, EF, GH можно подразумевать и сами числа.

На этом основании пропорция из отрезков обладает всеми свойствами пропорции, составленной из чисел.

Члены пропорции можно переставлять, перемножать и т. д.

Таким образом из пропорции (1) вытекает равенство

а также пропорции:

AB/EF = CD/GH, GH/CD = EF/AB и т. д.

Каждый из отрезков по отношению к остальным называется четвертым пропорциональным .

Таким образом отрезок GH будет четвертым пропорциональным отрезкам EF, CD, AB. Отрезок AB четвертым пропорциональным отрезкам CD, EF, GH.

Теоремы о пропорциональных отрезках

В основу всех предположений о пропорциональных отрезках может быть положена следующая теорема.

Теорема 83. Если от вершины угла по стороне его отложим несколько равных частей и проведем через точки деления параллельные прямые до другой стороны угла, на последней отложатся тоже равные части.

Дан угол ABC (черт. 145), на одной стороне которого отложены равные части BD, DE, EF, FG и проведены параллельные линии DD’, EE’, FF’, GG’, то есть

BD = DE = EF = FG
DD’ || EE’ || FF’ || GG’

Требуется доказать, что

Доказательство. Проведем отрезок D’M параллельно лучу AB. Треугольники BDD’ и D’ME’ равны, ибо D’M = BD (потому что D’M = DE как части параллельных между параллельными, а DE = BD по условию, следовательно, D’M = BD).

∠B = ∠MD’E’ (как соответствующие углы при пересечении параллельных прямых BD и D’M третьей прямой BC).

∠BDD’ = ∠D’ME’ (ибо ∠BDD’ = ∠BEE’, а ∠BEE’ = ∠D’ME’). Следовательно, BD’ = D’E’.

Подобным же образом, проведя отрезок E’N параллельно AB, можно доказать, что D’E’ = E’F’. Следовательно,

BD’ = D’E’ = E’F’ = … (ЧТД).

Теорема 84. Если на одной прямой отложим несколько равных частей и проведем параллельные прямые до пересечения с другой прямой, на последней отложатся тоже равные части.

Дано. На прямой AB отложены равные части EF, FG и проведены параллельные прямые EE’, FF’, GG’ (черт. 146).

Требуется доказать, что E’F’ = F’G’ и т. д.

Доказательство. Проведем отрезки E’M, F’N параллельно прямой AB, тогда треугольники E’MF’ и F’NG’ равны, ибо E’M = F’N (E’M = EF, F’N = FG и так как EF = FG, то E’M = F’N).

∠ME’F’ = ∠NF’G’ как соответственные.

∠E’MF’ = ∠F’NG’ как углы с параллельными сторонами.

Теорема 85. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, делит две другие его стороны на части пропорциональные.

Дано. В треугольнике ABC прямая DE || BC (черт. 147).

Требуется доказать, что

Доказательство. Здесь могут быть два случая:

1) когда отрезки AD и DB соизмеримы и

2) когда они несоизмеримы.

Первый случай. Отрезки AD и DB соизмеримы. Положим, что их общая мера укладывается m раз в отрезке AD и n раз в отрезке DB. Разделив AD на m и DB на n равных частей и проведя из точек деления прямые, параллельные BC, мы разделим также и отрезок AE на m, а EC на n равных частей (теорема 83).

Рядом с отношением

имеет место отношение

Второй случай . Отрезки AD и DB несоизмеримы (черт. 148).

Докажем, что в этом случае не имеет мета ни неравенство

Чтобы имело место равенство, нужно второе отношение увеличить. Для этого нужно знаменатель этого отношения уменьшить, т. е. EC заменить меньшим отрезком EG. Тогда будет иметь место пропорция

Разделим отрезок AE на равные части, которые были бы меньше GC, и станем их откладывать от точки A по отрезку AC; тогда одна из частей упадет в точку α между G и C. Проведем из точки α прямую αβ параллельную BC, тогда отрезок AE будет соизмерим с E α и будет иметь место пропорция

Разделив отношение (1) на (2), получим равенство

Это равенство несообразно, ибо отношение D β /DB α /EG > 1, следовательно, неравенство (a) не имеет места, ибо ведет к несообразному заключению.

Точно также можно доказать, что не имеет места и неравенство

Источник

Вам также может понравиться

Бухгалтерские термины и определения

ПРОЦЕДУРЫ ОТКЛЮЧЕНИЯ Процессы, обеспечивающие изоляцию

Происхождение слова «вокзал»

О том, что представляют собой современные вокзалы

Этимология слова «сланцы»

Сланцы — летняя открытая обувь, особенно популярная