Что значит стороны одного угла перпендикулярны

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180 0 .

Дано: АОВ, А₁О₁В₁, ОАО₁А₁, ОВО₁В₁.

Доказать: АОВ = А₁О₁В₁ или АОВ + А₁О₁В₁ = 180 0 .

Доказательство:

1 случай

Пусть угол АОВ — развернутый (Рис. 1).

Угол АОВ — развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАО₁А₁, ОВО₁В₁, значит, лучи О₁А₁ и О₁В₁ также будут лежать на одной прямой, следовательно, А₁О₁В₁ — будет развернутым, тогда АОВ = А₁О₁В₁.

2 случай

Пусть угол АОВ — прямой, т.е. равен 90 0 (Рис.2).

АОВ = 90 0 , то ОАОВ, при этом по условию ОАО₁А₁, следовательно, ОВО₁А₁. Итак, О₁В₁ — секущая относительно прямых ОВ и О₁А₁, ОВО₁А₁, тогда по теореме об односторонних углах их сумма равна 180 0 , т.е. 1 + А₁О₁В₁ = 180 0 , откуда А₁О₁В₁ = 180 0 —1, при этом по условию ОВО₁В₁, значит 1 — прямой, т.е. 1 = 90 0 , следовательно, А₁О₁В₁ = 180 0 — 90 0 = 90 0 . Из равенств АОВ = 90 0 и А₁О₁В₁ = 90 0 следует, что АОВ = А₁О₁В₁ и АОВ + А₁О₁В₁ = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

3 случай

Пусть ОО₁А₁ (Рис.3).

По условию ОО₁А₁, тогда лучи ОВ и О₁А₁ будут лежать на одной прямой А₁В. По условию ОАО₁А₁, ОВО₁В₁, значит, ОА и О₁В₁ будут перпендикулярны одной прямой А₁В, следовательно, ОАО₁В₁. Итак, ОАО₁В₁, А₁В — секущая относительно прямых ОА и О₁В₁, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А₁О₁В₁, причем, учитывая то, что ОАО₁А₁, ОВО₁В₁ эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А₁О₁В₁ = 90 0 , тогда АОВ + А₁О₁В₁ = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

4 случай

Пусть ОО₁В₁ (Рис.4).

По условию ОО₁В₁, тогда лучи ОА и О₁В₁ будут лежать на одной прямой В₁А. По условию ОАО₁А₁, ОВО₁В₁, значит ОВ и О₁А₁ будут перпендикулярны одной прямой В₁А, следовательно, ОВО₁А₁. Итак, ОВО₁А₁, В₁А — секущая относительно прямых ОВ и О₁А₁, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А₁О₁В₁, причем, учитывая то, что ОАО₁А₁, ОВО₁В₁ эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А₁О₁В₁ = 90 0 , тогда АОВ + А₁О₁В₁ = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

5 случай

Пусть угол АОВ — острый, т.е. меньше 90 0 , при этом ОО₁А₁, ОО₁В₁ (Рис.5).

Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными (т.е. ОАОС), а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА. Далее проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными (т.е. ОВОD), а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА (Рис.6).

Получим, что АОВ = 90 0 — АОD, а СОD = 90 0 — АОD, значит АОВ = СОD. Стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла А₁О₁В₁, т.е. ОСО₁А₁ (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой параллельны друг другу, по построению ОАОС и по условию ОАО₁А₁), также ОDО₁В₁ (т.к. по построению ОВОD и по условию ОВО₁В₁), поэтому по теореме об углах с соответственно параллельными сторонами либо СОD = А₁О₁В₁, либо СОD + А₁О₁В₁ = 180 0 . Следовательно, учитывая то, что АОВ = СОD получим, либо АОВ = А₁О₁В₁, либо АОВ + А₁О₁В₁ = 180 0 .

6 случай

Пусть угол АОВ — тупой, т.е. меньше 180 0 , но больше 90 0 , при этом ОО₁А₁, ОО₁В₁ (Рис.7).

Проведем луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ (Рис.8).

Угол АВС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А₁О₁В₁. Следовательно, либо АОС + А₁О₁В₁ = 180 0 , либо АОС = А₁О₁В₁ (смотри случай 5). Тогда, учитывая, что углы АОС и АОВ смежные, их сумма будет равна 180 0 , значит АОС = 180 0 — АОВ, следовательно, в первом случае 180 0 — АОВ + А₁О₁В₁ = 180 0 , откуда АОВ = А₁О₁В₁, а во втором случае 180 0 — АОВ = А₁О₁В₁, откуда АОВ + А₁О₁В₁ = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник