Что значит составлять множество

Множества

Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от A до Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N — множество натуральных чисел,

Z — множество целых чисел.

Элемент множества — это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 – элемент множества Z .

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Рассмотрим два множества:

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :

Запись L⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M .

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .

Рассмотрим два множества:

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств — это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .

Запись L∩M читается так: пересечение множеств L и M .

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .

Запись L∪M читается так: объединение множеств L и M .

При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:

Источник

Множество и его элементы. Подмножества

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Множество людей в салоне самолёта

Множество деревьев в парке

Множество планет Солнечной системы

Множество электронов в атоме

Множество натуральных чисел

Множество «синих-синих презелёных красных шаров»

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Помидоры на грядке

Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)

Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]

Полосатые летающие слоны

Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Множество всех континентов Земли:

Множество букв слова «математика»:

Множество натуральных чисел меньших 5:

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

A = $\$ — множество всех действительных положительных x

B = $\$ — множество всех натуральных n, кратных 5

C = $\<(x,y)|x^2+y^2 \ge 1,x \in \Bbb R,y \in \Bbb R\>$ – множество всех действительных точек координатной плоскости (x,y), расстояние от которых до начала координат не больше 1 (круг с центром в начале координат, радиусом 1).

D = – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Множество A называют подмножеством множества B (A $\subseteq$ B), если всякий элемент множества A также является элементом множества B:

$$ A \subseteq B \iff (a \in \Bbb A \Rightarrow a \in \Bbb B) $$

Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Знак $\subseteq$ является аналогом $\ge$, т.е. «нестрогим» неравенством. Это значит, что множества A и B могут и совпадать (любое множество является подмножеством самого себя).

Между множествами можно также ввести отношение «строгое подмножество», $A \subset B$, в котором B заведомо «шире» множества A (аналог строгого неравенства $\lt$).

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество натуральных чисел меньших 5 является подмножеством натуральных чисел меньших $10: A = \, B = \, A \subseteq B$

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество полосатых летающих слонов – как пустое множество — является подмножеством чего угодно: приматов, чисел, прямоугольников. Что удобно для размышлений о смысле всего.

Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.

Булеан конечного множества из n элементов содержит $2^n$ элементов:

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

Задано множество натуральных чисел, входящих в полуинтервал $9 \lt n \le 12$.

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

г) Множество всех целых решений уравнения $x^3+x^2+4 = 0$

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

Задано бесконечное множество точек, принадлежащих данной гиперболе $y = \frac<4>$ в данном интервале $-4 \le x \le -1$. На графике:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

Источник

Что такое множество?

Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.

Например: множество школьников, множество машин, множество чисел .

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео , то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F ( friends ), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

Пример 2 . Запишем множество делителей числа 6.

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈ . К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D ). Записывается это так:

Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉ . К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D . Записывается это так:

Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

Множество натуральных чисел

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число» , чаще всего подразумевалось именно натуральное число.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

Множество целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z .

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число тоже может быть представлено в виде дроби . Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

• целые числа
• обыкновенные дроби
• десятичные дроби
• смешанные числа

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

Укажем, что смешанное число принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

12 thoughts on “Что такое множество?”

В первой части во втором примере вы написали что 5 не принадлежит D ,но в объяснение написали что «2 не принадлежит множеству делителей числа 6″. Поправьте ошибку.

Источник