Что такое функция?
О чем эта статья:
7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
- х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
Источник
Задания ОГЭ на анализ графиков
Часть I
Если возникают вопросы — обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.
Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.
Изученные функции и их графики.
К концу учебного года в 9-ом классе вы успели изучить следующие функции:
\(y = kx+b\) — линейная функция. Графиком является прямая линия. Коэффициент \(k\) задаёт тангенс угла наклона к оси \(Ox\). Если \(k>0\), прямая наклонена под острым углом к оси, если \(k \(y = \dfrac
Ещё подробнее повторить графики функций вы сможете, если перейдёте к сводной таблице и воспользуетесь помещенными там ссылками на другие статьи сайта и видео на youtube-канале Mathematichka.
Задания на соответствие графика и формулы функции.
Задачи, в которых приведены графики функций разных типов, я считаю самыми лёгкими в этом задании. Давайте рассмотрим несколько примеров, и вы в этом убедитесь.
Задача 1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают
На рисунке всего один график прямая линия. Ищем среди формул ту, которая содержит \(x\) только в первой степени. Смотрим, чтобы в этой формуле не было квадрата и переменной в знаменателе. Такая формула только одна, это формула \(3)\; y=-2x\). Делаем вывод: графику Б) соответствует формула 3).
Среди формул только одна содержит \(x^2\) (формула 4), и только один график непрерывная кривая линия симметричная относительно вертикальной прямой, проведенной через её вершину. Это парабола – график В). Вывод: графику В) соответствует формула 4).
Остался один график с разрывом. Две отдельных ветви содержит график А) – гипербола. Но у нас две формулы с \(x\) в знаменателе. Придётся выбирать.
На графике А) ветви гиперболы расположены во второй и четвёртой координатных четвертях, где знаки координат \(x и y\) не совпадают, поэтому перед дробью в формуле гиперболы должен быть знак минус. Но оказалось, что этой приметы недостаточно, так как минус есть в обоих формулах.
Смотреть насколько близка вершина к центру координат здесь бесполезно, потому что не с чем сравнить. Остаётся только проверить по какой-нибудь точке. Легче всего по единичке.
Пусть \(x = 1\), тогда по формуле 1) получим \(y = -\dfrac<4> <1>= -4\), а по формуле 2) получим \(y = -\dfrac<2> <1>= -2\). Проводим на рисунке вертикальную линию \(x = 1\) до пересечения с графиком и смотрим значение \(y\). Получилось \(y = -4\), значит верна первая формула. Вывод: графику А) соответствует формула 1).
Ответ:
| А | Б | В |
| 1 | 3 | 4 |
Ответы и решения некоторых задач временно скрыты. Это задачи для самостоятельного решения. Чтобы посмотреть ответы, воспользуйтесь соответствующими кнопками. Но предварительно попробуйте решить задачу самостоятельно.
Задача 2. Установите соответствие между функциями и их графиками.
На графике 1) линия с разрывом, следовательно в формуле есть \(x\) в знаменателе. Вывод: графику 1) соответствует формула А).
На графике 2) изображена прямая линия. Осталась только одна формула, где \(x\) в первой степени умножен на число \(\dfrac<3x> <2>= \dfrac<3><2>\cdot x\). Вывод: графику 2) соответствует формула В).
Два оставшихся графика нелинейны, т.е. кривые линии. Формула Б) представляет собой квадратный трёхчлен. Следовательно, график должен быть параболой. Мы знаем, что парабола симметрична относительно линии, проходящей через вершину. График 3) обладает этим свойством, а на графике 4) такую линию провести невозможно. Вывод: формула Б) соответствует графику 3).
Замечение. Проверку ответа можно сделать «по единичке», т.е. задать какое-либо значение \(x\), подставить его в формулы, вычислить значения \(y\) и найти соответствующие точки на графике. Но решить задание в буквальном смысле по единичке, т.е. подставить \(x = 1\) в формулу Б), а затем найти на графиках 3) и 4) ординаты точек с абсциссой 1, не получится. Потому что во всех случаях будет \(y = 2\). Выбор не состоится.
Ответ:
| А | Б | В |
| 1 | 3 | 2 |
Задача 3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Координатные плоскости здесь представлены без клеточек. Проверить принадлежность точек не получится, выбираем только по внешнему виду графиков.
Прямая линия олна – А). Её формула 1) содержит просто \(x\).
Симметричная кривая на графике В) – парабола. Формула 2) содержит \(x^2\).
На среднем графике кривая линия похожа на перевёрнутую половинку параболы. Это график функции 3) квадратный корень.
Ответ:
| А | Б | В |
| 1 | 3 | 2 |
Линейная функция. Прямая линия.
Задача 4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Все графики – прямые линии и все формулы имеют вид \(y = kx + b\). Выбираем по наклону к оси \(Ox\) и точке пересечения с осью \(Oy\).
На графике В) прямая никак не наклонена к оси \(Ox\), она ей параллельна. Следовательно, угол наклона равен 0, тангенс угла наклона равен 0, угловой коэффициент \(k=0\), и \(y = kx + b = 0\cdot x + b = 0 + b = b.\) Таким образом, формула, которая задаёт прямую, параллельную оси абсцисс, не должна содержать \(x\). Здесь такая формула под номером 3.
В двух оставшихся графиках наклон на глаз кажется примерно одинаковым. Поэтому начнём с точки пересечения с с осью \(Oy\). Вспомним, что для точек, расположенных на этой оси, \(x=0\), поэтому \(y = kx + b = k\cdot0 + b = 0 + b = b.\) Таким образом, высота точки пересечения графика с этой осью показывает значение коэффициента \(b\) в формуле функции. На первом графике пересечение при \(y=2\), подходит формула \(2)\; y = x+2.\) На втором – при \(y=0\), подходит формула \(1)\; y = 2x,\) так как \(2x = 2x+0.\)
Сделаем проверку по единичке для графиков А) и Б).
При \(x=1\) по формуле 2) получим \(y = 1 + 2 = 3\). Если мы правильно установили соответствие, то точка с координатами (1;3) должна лежать на графике А).
При \(x=1\) по формуле 1) получим \(y = 2\cdot1 =2\). Если мы правильно установили соответствие, то точка с координатами (1;2) должна лежать на графике Б).
Отметим эти точки на указанных графиках. Точки «не промахнулись», значит задача решена верно.
Ответ:
| А | Б | В |
| 2 | 1 | 3 |
Итак, все графики, которые задаются формулой \(y = b\), т.е. формулой, содержащей \(y\) и число, но не содержащей \(x\), представляют собой прямые линии, параллельные оси \(Ox\). Все графики, которые задаются формулой \(y = kx\), т.е. формулой, содержащей \(x\) в виде одночлена первой степени, представляют собой прямые линии, проходящие через начало координат. Эти выводы нужно запомнить на будущее не только, чтобы быстрее решать это задание ОГЭ, но и для задания на графики во второй части экзаменационного варианта.
Задача 5. Установите соответствие между функциями и их графиками.
Прямые на графиках 1) и 2) имеют одинаковый наклон. Одинаковый угловой коэффициент \(k = 2\) мы видим в формулах Б) и В). Методом исключения делаем вывод, что для графика 3) остаётся формула А).
Теперь, чтобы установить соответствие между графиками 1) и 2) и формулами Б) и В) смотрим на точку пересечения с осью \(Oy\). На первом графике она находится ниже оси абсцисс, что говорит о том, что в формуле коэффициент \(b\) имеет отрицательное значение. Смотрим: \(b = -6\) в формуле Б). Вывод: формула Б) соответствует графику 1), тогда формула В) соответствует графику 2).
Проверка по единичке: \[А)\; y = -2\cdot1+6 = 4\;\;\; Б)\; y = 2\cdot1-6 = -4\;\;\; В)\; y = 2\cdot1+6 = 8\] 
Как и предполагалось, \(y = 4\) на графике 3), \(y = -4\) на графике 1) \(y = 8\) на графике 2).
Ответ:
| А | Б | В |
| 3 | 1 | 2 |
Задача 6. На рисунке изображены графики функций вида \(y = kx+b.\) Установите соответствие между графиками линейных функций и угловыми коэффициентами прямых.
\[1)\; -1\;\;\; 2)\; -1,25\;\;\; 3)\; 3\;\;\; 4)\;0,8\] В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В | Г |
Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси \(Ox.\) На данный момент мы знаем, что тангенс определён в прямоугольном треугольнике, как отношение противолежащего катета к прилежащему. Поэтому, прежде всего, надо начертить прямоугольные треугольники такие, что их гипотенузы лежат на заданных прямых, а катеты проходят по клеточкам. Вершины этих треугольников обязательно должны находиться в узлах клеточек, иначе будет трудно определить длины катетов. Размер треугольника может быть произвольным, «приклеить» его к прямой можно в любом удобном месте.
Угол наклона прямой по определению отсчитывается от положительного направления оси абсцисс (оси \(Ox\)), поэтому в наших треугольниках противолежащий катет всегда параллелен оси \(Oy\) (считаем клеточки по вертикали), а прилежащий – оси \(Ox\) (считаем клеточки по горизонтали).
Если прямая образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол, то угловой коэффициент будет со знаком минус. Поскольку линии клеток параллельны, то можно смотреть угол между прямой и правой частью горизонтальных линий сетки, как показано на рисунке.
Итак, вычисляем угловые коэффициенты по чертежу
\[А)\; k = \frac<4> <5>= 0,8; \;\;\; Б)\; k = -\frac<5> <4>= -1,25; \;\;\; В)\; k = \frac<3> <1>= 3; \;\;\; Г)\; k = -\frac<2> <2>= -1 \] и сравниваем с предложенными значениями. \[1)\;-1\;\;\; 2)\;-1,25\;\;\; 3)\; 3 \;\;\; 4)\;0,8.\]
Ответ:
| А | Б | В | Г |
| 4 | 2 | 3 | 1 |
На эту тему также можно посмотреть видеоуроки на странице Линейная функция или на youtube-канале Mathematichka.
Источник
