Что значит сомнительное число

Что значит сомнительное число

Формы записи приближенных чисел

Приближенные числа записываются либо в виде конечных десятичных дробей, либо в виде целых чисел.

Определение 1 . Естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи конечной десятичной дроби называется следующая запись

. (1)

Пример 1. .

Замечание 1. Определение естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи целого числа дается аналогично.

Если в левой части равенства (1) несколько первых цифр =0, то соответствующие слагаемые в правой части этого равенства писать смысла нет .

Пример 2 . .

В связи с этим имеет место следующее определение.

Определение 2. Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 3 . У числа 5142,39 все цифры значащие.

Пример 4. У числа 0,0046 только две значащих цифры: 4 и 6.

Пример 5. У числа 0,004600 четыре значащих цифры: 4, 6 и два последних нуля. (Для чего оставляют нули в конце числа, будет рассмотрено позднее).

Если приходится работать с большим количеством приближенных чисел, то запись не удобна. Поэтому решено было установить такой способ записи приближенных чисел, чтобы по самой этой записи можно было судить об их абсолютной (предельной абсолютной) погрешности.

Определение 3 . Цифра приближенного числа называется верной в широком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в широком смысле.

Пример 6. Пусть . Определим верные и сомнительные в широком смысле цифры приближенного числа . Заметим, что , . Т.к. , то цифра 7 верная в широком смысле. Т.к. , то цифра 1 верная в широком смысле. Т.к. , то цифра 5 верная в широком смысле. Т.к. , то цифра 8 сомнительная в широком смысле.

Определение 4. Цифра приближенного числа называется верной в узком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в узком смысле.

Пример 7. Определим верные и сомнительные в узком смысле цифры приближенного числа 7,158 из предыдущего примера. Т.к. , то цифра 7 верная в узком смысле. Т.к. , то цифра 1 верная в узком смысле. Т.к. , то цифра 5 сомнительная в узком смысле. Очевидно, что цифра 8 также сомнительная в узком смысле.

Замечание 2 . Если приближенное число записывается без указания его абсолютной (предельной абсолютной) погрешности, то выписываются только верные его цифры (в узком или широком смысле). При этом верные нули в конце числа не отбрасываются. Поэтому числа 0,0344 и 0,03440 как приближенные различны: у первого , у второго .

Замечание 3 . При записи целых приближенных чисел сомнительные цифры принято заменять нулями.

Пример 8 . Известно, что у приближенного числа последние две цифры сомнительные в узком смысле. Поэтому правильно его записать так: . Нули означают, что последние две цифры – сомнительные.

В связи с рассмотренным примером возникает следующий вопрос: «Как отличить приближенное число 34200 с двумя последними сомнительными нулями от точного числа 34200?»

Определение 5 . С плавающей точкой формой записи приближенного числа называется следующая запись:

. (2)

В этом случае называется мантиссой числа, — порядком, — характеристикой числа.

Если число — приближенное, то его записывают в виде (2), оставляя в мантиссе лишь верные цифры, т. е. так: .

Определение 6 . Если , то запись (2) называется нормализованной формой числа.

Определение 7 . Если , то запись (2) называется стандартной формой числа.

Пример 9 . В нормализованной форме число запишется так: , в стандартной так: .

Нормализованная форма используется для представления чисел в памяти компьютера (калькулятора), стандартная — для вывода чисел на экран компьютера (калькулятора), если оно не умещается на нем.

Источник

Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры

Создатель теории приближенных вычислений А. Н. Крылов говорил: «При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся». Ему же принадлежат слова: «Помните, что каждая неверная цифра — это ошибка, всякая лишняя цифра — это пол-ошибки».

Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то вес его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.

Цифра десятичного разряда приближенного числа приближения называется верной, если в том же десятичном разряде чисел и стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.

Пример №45.4.

Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа .

Решение:

Поскольку , запишем диапазон возможных значений в виде двойного неравенства:

Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда — единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи и ), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.

Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.

Итак, точное число обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.

Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:

1. Оставлять в записи числа только верные цифры.
2. Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписывать.
3. Если число содержит на конце целой части сомнительные цифры, то они должны быть заменены на , где — число цифр, которые нужно заменить.
4. Граница абсолютной погрешности числа, содержащего только верные цифры, равна единице последнего разряда.

Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.

1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение будет записано следующим образом: . В этом случае граница абсолютной погрешности .

2. Если задано число , то нетрудно показать, что в записи приближенного числа 3,005 цифры 3,00 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем все его верные цифры, включая нули на конце: . Эта запись показывает, что граница абсолютной погрешности равна единице последнего разряда, т.е. 0,01. Если бы мы записали это число как , то граница абсолютной погрешности была бы равна 1, а это значительно более низкая точность, чем заданная в примере 0,01.

3. Пусть задано число . В записи приближенного числа 3005 цифры 300 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем вес его верные цифры 300, а вместо одной сомнительной цифры 5 запишем умножение на , поскольку заменяем только одну цифру. Тогда .

В науке принято записывать числа в стандартном виде, т.е. в виде , где — цифры, причем (в целой части числа стоит только одна цифра, отличная от нуля). Число в стандартном виде будет представлено как .

Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.

Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 — две значащие цифры: 1 и 2. Число — три значащие цифры: 3, 0, 0.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник