Что значит симметричные кольца

Кольца Борромео

Обычное представление колец Борромео

Кольца Борромео — одна из известных невозможных фигур, имеющая древнюю историю. Эта фигура основана на симметричной расстановке перекрывающих друг друга колец. Предполагая, что все кольца плоские, такая фигура не может существовать в нашем мире. Для создания фигуры в трехмерном пространстве необходимы разрывы или искажения.

В математике кольца Борромео состоят из трех топологических кругов, объединенных в соединение Брунниана (Brunnian link), таким образом при удалении из конструкции одного из колец мы получаем два разомкнутых кольца.

Во все времена кольца Борромео служили символом «силы в единстве».

Семья Борромео

Название кольца Борромео происходит от фамилии аристократической итальянской семьи Борромео. Семья Борромео владеет на севере Италии тремя островами на озере Маджоре (Maggiore): Исола Белла (Isola Bella), Исола Мадре (Isola Madre) и Исола Сьюпериоре (Isola Superiore). На Исола Белла находится впечатляющий дворец в стиле барокко, построенный в семнадцатом веке Витальяно Борромео (Vitaliano Borromeo) (1620-1690). В самом дворце и в саду можно встретить много примеров знаменитой эмблемы дома Борромео.

Исола Белла

Однако, на территории дворца можно встретить несколько вариантов фигуры с различными пересечениями колец.

Варианты пересечения колец

На фотографиях ниже Вы можете видеть эти варианты.

Входной билет (a)

Цветочный горшок (a)

Цветочный горшок (c)

Ворота (c)

Викинги

Задолго до Витальяно Борромео такое соединение было известно викингам Скандинавии. Этот символ был известен им как «Треугольник Одина» или Валькнут и изображался в двух вариантах.

Валькнут

Ниже представлен один из примеров Валькнута. Это часть изображения на камне, найденном на острове Готланд (Gotland) в Балтийском море недалеко от берегов Швеции. Этот камень был воздвигнут в 9 веке н.э. Символ Валькнут изображен в верхней части камня. Сейчас он находится в Историческом Музее Стокгольма.

Камен с острова Готланд

Святая троица

Кольца Борромео часто служат символом единства. В христианстве он иногда используется для обозначения Святой Троицы.

Символ Святой Троицы из манускрипта 13 века

Змеи, полумесяцы, серпы

Подобно кольцам Борромео в соединялсь и другие изогнутые объекты таким же способом. Например, в геральдике часто применялись символы змей, полумесяцев и серпов. Символ с объединением полумесяцев был разработан архитектором Филибертом де л’Орме (Philibert de l’Orme) для Дианы де Пуатье (Diane de Poitiers) (1499-1566) — фаворитки французского короля Генриха II, чьей эмблемой был полумесяц.

Полумесяцы Дианы де Пуатье

Змеи на гербе. Изображение из кафедрального собора в Бангоре (северо-западный Уэлс, Англия)

Серпы из крепости Фарлейх Хангерфолд на юго-западе Англии

Японские геральдические символы примечательны своим многообразием, изобретательностью и элегантность. В изображениях ниже можно заметить и аистов, и бамбук и многоугольники и томо (символ в виде запятой).

Логотипы

В наши дни кольца Борромео можно встретить в различных логотипах. Наиболее известным является логотип пива Баллантайнс (Ballantine). В Северной Америке кольца Борромео известный под названием кольца Баллантайна по названию фирмы из Нью-Джерси Brewing company P. Ballantine and Sons, занимающегося производством пива.

Символика пива Беллентайнс

Krupp Прусский промышленник Альфед Крупп (Alfred Krupp) (1812-1887) унаследовал небольшое сталелитейное производство от отца и превратил его в большую металлургическую империю. В 1875 году он зарегистрировал торговую марку из трех пересекающихся кругов, символизировавших колеса поезда — главный продукт предприятия того время. С увеличением производства оружия эти кольца стали ассоциироваться с дулами пушек. Сегодня этот символ используется новой корпорацией Thyssen-Krupp.
Consorzio Pisa Ricerche Логотип Исследовательского консорциума Пизы совмещает кольца Борромео с лентой Мебиуса. Консорциум способствует партнерству между университетами и производством. Как и во многих других случаях, логотип символизирует важность взаимодействия между различными отраслями.
Arts Festival Логотип Фестиваля афро-американской литературы и искусства в Университете Клемсона.
University of British Columbia Одним из направлений деятельности Университета Британской Колумбии (UBC) является создание сообщества по изучения разумного и эффективного использования ресурсов планеты. Организация оказывает помощь в преподавании, продвижении и реализации принципов сообщества, заключающегося в балансе экологических, экономических и социальных целей.

Химия

Кольца Борромео можно встретить в такой неожиданной области науки, как химия. Ученые создают полимеры, молекулы которых соединены в виде колец Борромео, а также узлы из молекул ДНК. Но, наверное, самая маленькая структура Борромео была создана из молекулярных колец.

Кольца Борромео, созданные из молекул

Невозможная фигура

Хотя кольца Борромео в своей обычной форме являются невозможной фигурой, ее можно сделать еще более невозможной, если заменить кольца на невозможные треугольники.

© Lee Sallows

Статья создана по материалам сайта http://www.liv.ac.uk/

Символ Валькнут изображен на монетах островных государств Токелау и Ниуэ, которые находятся практические на противоположной стороне земного шара от родины викингов Скандинавского полуострова.

Источник

Кольцо симметричных функций

В алгебре и в частности в алгебраической комбинаторике , то кольцо симметрических функций является пределом конкретных колец симметричных многочленов в п неизвестных, а п стремится к бесконечности. Это кольцо служит универсальной структурой, в которой отношения между симметричными многочленами могут быть выражены способом, не зависящим от числа неопределенных n (но его элементы не являются ни многочленами, ни функциями). Помимо прочего, это кольцо играет важную роль в теории представлений симметрической группы .

Кольцу симметрических функций можно придать копроизведение и билинейную форму, превратив его в положительную самосопряженную градуированную алгебру Хопфа, которая одновременно коммутативна и кокоммутативна.

СОДЕРЖАНИЕ

Симметричные полиномы [ править ]

Изучение симметричных функций основано на изучении симметричных многочленов. В кольце многочленов от некоторого конечного набора неопределенных многочлен называется симметричным, если он остается неизменным всякий раз, когда неопределенные переменные каким-либо образом переставляются. Более формально, существует действие с помощью кольцевых автоморфизмов в симметрической группы S _п на кольце многочленов в п неизвестных, где перестановка действует на многочлен, одновременно с заменой каждого из неизвестных для другого в соответствии с используемой перестановки. Эти инварианты для этого действий образуют подкольцо симметричных полиномов. Если неопределенными являются X₁ , . X _n , то примерами таких симметричных многочленов являются

Икс 1 + Икс 2 + ⋯ + Икс п , <\ Displaystyle X_ <1>+ X_ <2>+ \ cdots + X_ , \,> Икс 1 3 + Икс 2 3 + ⋯ + Икс п 3 , <\ Displaystyle X_ <1>^ <3>+ X_ <2>^ <3>+ \ cdots + X_ ^ <3>, \,>

Икс 1 Икс 2 ⋯ Икс п . <\ Displaystyle X_ <1>X_ <2>\ cdots X_ . \,>

Кольцо симметричных функций [ править ]

Большинство отношений между симметричными многочленами не зависят от числа неопределенностей n , за исключением того, что некоторые многочлены в отношении могут требовать, чтобы n было достаточно большим, чтобы их можно было определить. Например , тождество Ньютона для полинома суммы третьей степени p ₃ приводит к

п 3 ( Икс 1 , … , Икс п ) знак равно е 1 ( Икс 1 , … , Икс п ) 3 — 3 е 2 ( Икс 1 , … , Икс п ) е 1 ( Икс 1 , … , Икс п ) + 3 е 3 ( Икс 1 , … , Икс п ) , <\ displaystyle p_ <3>(X_ <1>, \ ldots, X_ ) = e_ <1>(X_ <1>, \ ldots, X_ ) ^ <3>-3e_ <2>( X_ <1>, \ ldots, X_ ) e_ <1>(X_ <1>, \ ldots, X_ ) + 3e_ <3>(X_ <1>, \ ldots, X_ ) ,>

где обозначают элементарные симметричные многочлены; эта формула действительна для всех натуральных чисел n , и единственная заметная зависимость от нее состоит в том, что e _k ( X ₁ , . X _n ) = 0 всякий раз, когда n е я <\displaystyle e_>

p 3 = e 1 3 − 3 e 2 e 1 + 3 e 3 <\displaystyle p_<3>=e_<1>^<3>-3e_<2>e_<1>+3e_<3>>

который совершенно не зависит от n , и это можно сделать в кольце симметричных функций. В этом кольце есть элементы e _k для всех целых k ≥ 1, и любой элемент кольца может быть задан полиномиальным выражением от элементов e _k .

Определения [ править ]

Кольцо симметрических функций может быть определенно над любым коммутативным кольцом R , и будет обозначать Л _R ; основной случай для R = Z . Кольцо Λ _R является фактически градуированным R — алгебра . Для этого есть две основные конструкции; первый, приведенный ниже, можно найти в (Stanley, 1999), а второй, по существу, приведен в (Macdonald, 1979).

Как кольцо формальных степенных рядов [ править ]

Самая простая (хотя и несколько тяжелая) конструкция начинается с кольца формальных степенных рядов над R от бесконечного (счетного) числа неопределенных; элементы этого кольца степенных рядов представляют собой формальные бесконечные суммы членов, каждое из которых состоит из коэффициента из R, умноженного на моном, где каждый моном является произведением конечного числа конечных степеней неопределенностей. Можно определить Λ _R как его подкольцо, состоящее из тех степенных рядов S, которые удовлетворяют R [ [ X 1 , X 2 , . . . ] ] <\displaystyle R[[X_<1>,X_<2>. ]]>

1. S инвариантно относительно любой перестановки неопределенных, и
2. степени мономов, входящих в S , ограничены.

Обратите внимание, что из-за второго условия степенные ряды используются здесь только для того, чтобы позволить бесконечное количество членов фиксированной степени, а не для суммирования членов всех возможных степеней. Это необходимо, потому что элемент, который содержит, например, член X _1, должен также содержать член X _i для каждого i > 1, чтобы быть симметричным. В отличие от всего кольца степенных рядов, подкольцо Λ _R градуируется общей степенью мономов: в силу условия 2 каждый элемент Λ _R является конечной суммой однородных элементов Λ _R (которые сами по себе являются бесконечными суммами членов равных степень). Для любого k ≥ 0 элементe _k ∈ Λ _R определяется как формальная сумма всех произведений k различных неопределенных, которая, очевидно, однородна степени k .

Как алгебраический предел [ править ]

Другая конструкция Λ _R требует немного больше времени для описания, но лучше показывает связь с кольцами R [ X ₁ , . X _n ] S _n симметричных многочленов от n неопределенностей. Для каждого n существует сюръективный кольцевой гомоморфизм ρ _n из аналогичного кольца R [ X ₁ , . X _{n +1} ] S _{n +1} с еще одним неопределенным на R [ X ₁ , . X_n ] S _n , определяемый установкой последнего неопределенного X _{n +1} в 0. Хотя ρ _n имеет нетривиальное ядро, ненулевые элементы этого ядра имеют степень не менее(они кратны X ₁ X ₂ . Х _{п +1} ). Это означает, что ограничение ρ _n на элементы степени не выше n является биективным линейным отображением и ρ _n ( e _k ( X ₁ , . X _{n +1} )) = e _k ( X n + 1 <\displaystyle n+1> ₁ , . X _n ) для всех k ≤ n . Обратное к этому ограничению однозначно продолжается до гомоморфизма колец φ _n из R [ X ₁ , . X _n ] S _n в R [ X ₁ , . X _{n +1} ] S _{n +1} , как следует, например, из основной теоремы о симметричных многочленах . Поскольку образы φ _n ( e _k ( X ₁ , . X_n )) = e _k ( X ₁ , . X _{n +1} ) для k = 1, . n по-прежнему алгебраически независимы над R , гомоморфизм φ _n инъективен и может рассматриваться как (отчасти необычное) включение колец; применение φ _n к многочлену равносильно сложению всех одночленов, содержащих новое неопределенное значение, полученное симметрией от уже имеющихся одночленов. Кольцо Λ _R тогда является «объединением» ( прямым пределом ) всех этих колец, подверженных этим включениям. Поскольку все φ _nсовместимы с градуировкой по полной степени участвующих колец, Λ _R получает структуру градуированного кольца.

Эта конструкция немного отличается от конструкции (Macdonald, 1979). Эта конструкция использует только сюръективные морфизмы ρ _n без упоминания инъективных морфизмов φ _n : она строит однородные компоненты Λ _R отдельно и снабжает их прямую сумму кольцевой структурой, используя ρ _n . Также замечено, что результат можно описать как обратный предел в категории градуированных колец. Однако это описание несколько затемняет важное свойство, типичное для прямогопредел инъективных морфизмов, а именно, что каждый отдельный элемент (симметрическая функция) уже точно представлен в некотором объекте, используемом в конструкции предела, здесь кольцо R [ X ₁ , . X _d ] S _d . Достаточно взять в качестве d степень симметрической функции, так как часть в степени d этого кольца изоморфно отображается в кольца с большим количеством неопределенных посредством φ _n для всех n ≥ d . Это означает, что для изучения отношений между отдельными элементами нет принципиальной разницы между симметричными многочленами и симметричными функциями.

Определение отдельных симметричных функций [ править ]

Название «симметричная функция» для элементов Λ _R является неправильным : ни в одной конструкции элементы не являются функциями, и на самом деле, в отличие от симметричных многочленов, никакая функция независимых переменных не может быть связана с такими элементами (например, e ₁ будет сумма всех бесконечно многих переменных, которая не определена, если на переменные не наложены ограничения). Однако название традиционное и хорошо известное; его можно найти как в (Macdonald, 1979), где говорится (сноска на стр. 12)

Элементы Λ (в отличие от элементов Λ _n ) больше не являются многочленами: они представляют собой формальные бесконечные суммы одночленов. Поэтому мы вернулись к старой терминологии симметричных функций.

(здесь Λ _n обозначает кольцо симметрических многочленов от n неопределенных), а также в (Stanley, 1999).

Чтобы определить симметричную функцию, нужно либо указать непосредственно степенной ряд, как в первой конструкции, либо дать симметричный многочлен от n неопределенностей для каждого натурального числа n способом, совместимым со второй конструкцией. Выражение в неопределенном количестве неопределенных может делать и то, и другое, например

e 2 = ∑ i j X i X j <\displaystyle e_<2>=\sum _

может рассматриваться как определение элементарной симметричной функции, если число неопределенных бесконечно, или как определение элементарного симметричного многочлена от любого конечного числа неопределенностей. Симметричные многочлены для одной и той же симметрической функции должны быть совместимы с морфизмами ρ _n (уменьшение числа неопределенностей достигается приравниванием некоторых из них к нулю, так что коэффициенты любого одночлена в оставшихся неопределенных не изменяются), а их степень должна остаются ограниченными. (Примером семейства симметричных многочленов, не удовлетворяющего обоим условиям, является ; семейство не выполняет только второе условие.) Любой симметричный многочлен от n Π i = 1 n X i <\displaystyle \Pi _^X_> Π i = 1 n ( X i + 1 ) <\displaystyle \Pi _^(X_+1)> неопределенные можно использовать для построения совместимого семейства симметричных многочленов, используя морфизмы ρ _i для i α = X ₁ α ₁ X ₂ α ₂ X ₃ α ₃ . Тогда m _α — симметричная функция, определяемая X α , т.е. сумма всех мономов, полученных из X α по симметрии. Для формального определения определим β

α, чтобы означать, что последовательность β является перестановкой последовательности α, и положим

m α = ∑ β ∼ α X β . <\displaystyle m_<\alpha >=\sum \nolimits _<\beta \sim \alpha >X^<\beta >.>Эта симметричная функция соответствует мономиальному симметричному многочлену m_α ( X₁ , . X_n ) для любого n, достаточно большого, чтобы иметь моном X α . Различные мономиальные симметрические функции параметризуются целочисленными разбиениями (каждый m_α имеет уникальный репрезентативный моном X λ с частями λ _i в слабо убывающем порядке). Поскольку любая симметрическая функция, содержащая любой из мономов некоторого m_αдолжен содержать все из них с тем же коэффициентом, каждая симметричная функция может быть записана в виде R -линейной комбинации мономиальных симметричных функций, и , следовательно, различные мономиальные симметрические функции образуют базис Л _R как R — модуль .

• В элементарных симметрических функцияхе_К , для любого натурального числа к ; имеем e_k = m_α, где . Как степенной ряд, это сумма всех различных произведений k различных неопределенных. Эта симметричная функция соответствует элементарному симметричному многочлену e_k ( X₁ , . X_n ) для любого n ≥ k . X α = Π i = 1 k X i <\displaystyle X^<\alpha >=\Pi _^X_>
• Сумма мощности симметрических функцийр_к , для любого положительного целого числа к ; есть p_k = m_{( k )} , мономиальная симметрическая функция для монома X₁k . Эта симметричная функция соответствует степенному симметричному полиному p_k ( X₁ , . X_n ) = X₁k + . + X_nk для любого n ≥ 1.
• Полная однородная симметричные функциич_к , для любого натурального числа к ; ч_к является суммой всех мономиальных симметричных функций м_{& alpha} ;, где α представляет собой разбиение на к . Как степенной ряд, это сумма всех одночленов степени k , что и послужило причиной его названия. Эта симметричная функция соответствует полному однородному симметрическому многочлену h_k ( X₁ , . X_n ) для любого n ≥ k .
• Функции Шураs_λ для любого разбиения λ, которое соответствует многочлену Шура s_λ ( X₁ , . X_n ) для любого n, достаточно большого, чтобы иметь моном X λ .

Там нет суммы мощности симметричной функции р ₀ : хотя возможно (и в некоторых контекстах естественных) , чтобы определить , как симметричный многочлен в п переменных, эти значения не совместимы с морфизмами р _п . «Дискриминант» — еще один пример выражения, задающего симметричный полином для всех n , но не определяющего никакой симметричной функции. Выражения, определяющие полиномы Шура как частное чередующихся многочленов, в чем-то похожи на выражение для дискриминанта, но многочлены s _λ ( X ₁ , . X _n p 0 ( X 1 , … , X n ) = Σ i = 1 n X i 0 = n <\displaystyle p_<0>(X_<1>,\ldots ,X_)=\Sigma _^X_^<0>=n> ( ∏ i j ( X i − X j ) ) 2 <\displaystyle \textstyle (\prod _) оказываются совместимыми для изменения n и, следовательно, определяют симметричную функцию.

Принцип, связывающий симметричные многочлены и симметричные функции [ править ]

Для любой симметричной функции P соответствующие симметричные многочлены от n неопределенностей для любого натурального числа n могут быть обозначены как P ( X ₁ , . X _n ). Из второго определения кольца симметрических функций следует следующий фундаментальный принцип:

Если P и Q являются симметричными функциями степени d , то одна имеет тождество симметричных функций тогда и только тогда, когда у одной есть тождество P ( X ₁ , . X _d ) = Q ( X ₁ , . X _d ) симметричных многочленов от d неопределенностей. В этом случае фактически P ( X ₁ , . X _n ) = Q ( X ₁ , . X _n ) для любого числа P = Q <\displaystyle P=Q> п неопределенных.

Это потому, что всегда можно уменьшить количество переменных, заменив некоторые переменные нулем, и можно увеличить количество переменных, применяя гомоморфизмы φ _n ; определение этих гомоморфизмов гарантирует, что φ _n ( P ( X ₁ , . X _n )) = P ( X ₁ , . X _{n +1} ) (и аналогично для Q ) всякий раз, когда n ≥ d . См. Доказательство тождественности Ньютона для эффективного применения этого принципа.

Свойства кольца симметричных функций [ править ]

Личности [ править ]

Кольцо симметричных функций — удобный инструмент для записи тождеств между симметричными многочленами, не зависящими от числа неопределенных: в Λ _R такого числа нет, однако по вышеуказанному принципу любое тождество в Λ _R автоматически дает тождества кольца симметричных многочлены над R от любого числа неопределенностей. Некоторые фундаментальные идентичности

который показывает симметрию между элементарными и полными однородными симметричными функциями; эти соотношения объясняются в рамках полного однородного симметричного полинома .

k e k = ∑ i = 1 k ( − 1 ) i − 1 p i e k − i for all k ≥ 0 , <\displaystyle ke_=\sum _^(-1)^p_e_\quad <\mbox>k\geq 0,>

в тождества Ньютона , которые также имеют вариант для полных однородных симметрических функций:

k h k = ∑ i = 1 k p i h k − i for all k ≥ 0. <\displaystyle kh_=\sum _^p_h_\quad <\mbox>k\geq 0.>

Структурные свойства Λ _R [ править ]

Важные свойства Λ _R включают следующее.

1. Набор мономиальных симметричных функций параметризованных перегородок образуют базис Л _R как градуированного R — модуль , те , параметризованных разбиений д будучи однородным степени г ; то же самое верно для набора функций Шура (также параметризованных разбиениями).
2. Λ _R является изоморфной как градуированного R — алгебры на кольца многочленов R [ Y₁ , Y₂ , . ] в бесконечно многих переменных, где Y_я в заданной степени I для всех I > 0, один изоморфизм является тот , который переводит Y_i в e_i ∈ Λ _R для каждого i .
3. Существует инволютивный автоморфизм ω группы Λ _R, который меняет местами элементарные симметрические функции e_i и полную однородную симметрическую функцию h_i для всех i . Он также отправляет каждую симметричную функцию p_i суммирования степеней в (−1) i −1 p_i и переставляет функции Шура между собой, меняя местами s_λ и s_{λ t,} где λ t — транспонированное разбиение λ.

Свойство 2 составляет суть основной теоремы о симметричных многочленах . Сразу подразумеваются некоторые другие свойства:

• Подкольцо Л _R порождается своими элементами степени не более п изоморфна кольцу симметрических многочленов над R в п переменных;
• Ряд Гильберта-Пуанкаре Л _R является , то производящая функция из разбиений (это также следует из свойства 1); ∏ i = 1 ∞ 1 1 − t i <\displaystyle \textstyle \prod _^<\infty ><\frac <1><1-t^>>>
• Для любого n > 0 R -модуль, образованный однородной частью Λ _R степени n , по модулю его пересечения с подкольцом, порожденным его элементами степени строго меньше n , не имеет ранга 1 и (образ ) e_n является генератором этого R -модуля;
• Для каждого семейства симметрических функций ( f_i ) _{i > 0,} в котором f_i однороден степени i и дает генератор свободного R -модуля предыдущей точки (для всех i ), существует альтернативный изоморфизм градуированных R -алгебры из R [ Y₁ , Y₂ , . ], как указано выше, в Λ _R, который отправляет Y_i в f_i ; другими словами, семейство ( f_i ) _{i > 0}образует множество свободных полиномиальных образующих Л _R .

Этот последний пункт применим, в частности, к семейству ( h _i ) _{i > 0} полных однородных симметрических функций. Если R содержит поле из рациональных чисел , это также относится к семейству ( р _I ) _{я > 0} суммарных мощности симметричных функций. Это объясняет, почему первые n элементов каждого из этих семейств определяют наборы симметричных многочленов от n переменных, которые являются свободными полиномиальными генераторами этого кольца симметричных многочленов. Q <\displaystyle \mathbb >

Тот факт, что полные однородные симметрические функции образуют набор свободных полиномиальных образующих Λ _R, уже показывает существование автоморфизма ω, переводящего элементарные симметрические функции в полные однородные функции, как указано в свойстве 3. Тот факт, что ω является инволюцией Λ _R следует из симметрии между элементарными и полными однородными симметричными функциями, выраженными первым набором соотношений, приведенных выше.

Кольцо симметрических функций Λ _Z является Exp кольца целых чисел Z . Это также естественное лямбда-кольцо ; по сути, это универсальное лямбда-кольцо в одном генераторе.

Генерация функций [ править ]

Первое определение Λ _R как подкольца позволяет элегантно выразить производящие функции нескольких последовательностей симметричных функций. В отличие от упомянутых ранее отношений, которые являются внутренними для Λ _R , эти выражения включают операции , выполняемые в R [[ X ₁ , X ₂ , . ; t ]], но вне его подкольца Λ _R [[ t ]], поэтому они имеют смысл только в том случае, если симметричные функции рассматриваются как формальные степенные ряды от неопределенных X _i . Мы будем писать «( X R [ [ X 1 , X 2 , . . . ] ] <\displaystyle R[[X_<1>,X_<2>. ]]> ) «после симметричных функций, чтобы подчеркнуть эту интерпретацию.

Производящая функция для элементарных симметричных функций есть

E ( t ) = ∑ k ≥ 0 e k ( X ) t k = ∏ i = 1 ∞ ( 1 + X i t ) . <\displaystyle E(t)=\sum _e_(X)t^=\prod _^<\infty >(1+X_t).>

Аналогично для полных однородных симметрических функций

H ( t ) = ∑ k ≥ 0 h k ( X ) t k = ∏ i = 1 ∞ ( ∑ k ≥ 0 ( X i t ) k ) = ∏ i = 1 ∞ 1 1 − X i t . <\displaystyle H(t)=\sum _h_(X)t^=\prod _^<\infty >\left(\sum _(X_t)^\right)=\prod _^<\infty ><\frac <1><1-X_t>>.>

Очевидный факт, объясняющий симметрию между элементарными и полными однородными симметричными функциями. Производящая функция для симметричных функций степенной суммы может быть выражена как E ( − t ) H ( t ) = 1 = E ( t ) H ( − t ) <\displaystyle E(-t)H(t)=1=E(t)H(-t)>

((Macdonald, 1979) определяет P ( t ) как Σ _{k > 0} p _k ( X ) t k −1 , и поэтому в его выражениях отсутствует множитель t по сравнению с приведенными здесь). Два окончательных выражения, включающие формальные производные производящих функций E ( t ) и H ( t ), подразумевают тождества Ньютона и их варианты для полных однородных симметрических функций. Эти выражения иногда записывают как

P ( t ) = − t d d t log ⁡ ( E ( − t ) ) = t d d t log ⁡ ( H ( t ) ) , <\displaystyle P(t)=-t<\frac

>\log(E(-t))=t<\frac

>\log(H(t)),>

Источник