Пирамида и усеченная пирамида
Как можно построить пирамиду? На плоскости р построим какой-либо многоугольник, например пятиугольник ABCDE. Вне плоскости р возьмем точку S. Соединив точку S отрезками со всеми точками многоугольника, получим пирамиду SABCDE (рис.).
Точка S называется вершиной, а многоугольник ABCDE — основанием этой пирамиды. Таким образом, пирамида с вершиной S и основанием ABCDE — это объединение всех отрезков [SM], где М ∈ ABCDE.
Треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA называются боковыми гранями пирамиды, общие стороны боковых граней SA, SB, SC, SD, SE — боковыми ребрами.
Пирамиды называются треугольными, четырехугольными, п-угольными в зависимости от числа сторон основания. На рис. даны изображения треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамид.
Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания, называется диагональной, а полученное сечение — диагональным. На рис. 186 одно из диагональных сечений шестиугольной пирамиды заштриховано.
Отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Пирамида называется правильной, если основание пирамиды—правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в его центр.
Все боковые грани правильной пирамиды — конгруэнтные равнобедренные треугольники. У правильной пирамиды все боковые ребра конгруэнтны.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды. Все апофемы правильной пирамиды конгруэнтны.
Если обозначить сторону основания через а, а апофему через h, то площадь одной боковой грани пирамиды равна 1 /2 ah .
Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды и обозначается через Sбок.
Так как боковая поверхность правильной пирамиды состоит из n конгруэнтных граней, то
где Р — периметр основания пирамиды. Следовательно,
т. е. площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания Socн. на высоту Н:
Вывод этой и некоторых других формул будет дан в одной из последующих глав.
Построим теперь пирамиду другим способом. Пусть дан многогранный угол, например, пятигранный, с вершиной S (рис.).
Проведем плоскость р так, чтобы она пересекала все ребра данного многогранного угла в разных точках А, В, С, D, Е (рис.). Тогда пирамиду SABCDE можно рассматривать как пересечение многогранного угла и полупространства с границей р, в котором лежит вершина S.
Очевидно, что число всех граней пирамиды может быть произвольным, но не меньшим четырех. При пересечении трехгранного угла плоскостью получается треугольная пирамида, у которой четыре грани. Любую треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром, что означает четырехгранник.
Усеченную пирамиду можно получить, если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания.
На рис. дано изображение четырехугольной усеченной пирамиды.
Усеченные пирамиды также называются треугольными, четырехугольными, n-угольными в зависимости от числа сторон основания. Из построения усеченной пирамиды следует, что она имеет два основания: верхнее и нижнее. Основания усеченной пирамиды — два многоугольника, стороны которых попарно параллельны. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.
Высотой усеченной пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки верхнего основания к плоскости нижнего.
Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и плоскостью сечения, параллельной основанию. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды (трапеции) называется апофемой.
Можно доказать, что у правильной усеченной пирамиды боковые ребра конгруэнтны, все боковые грани конгруэнтны, все апофемы конгруэнтны.
Если в правильной усеченной n-угольной пирамиде через а и bn обозначить длины сторон верхнего и нижнего оснований, а через h — длину апофемы, то площадь каждой боковой грани пирамиды равна
Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью ее боковой поверхности и обозначается Sбок. . Очевидно, что для правильной усеченной n-угольной пирамиды
Так как па = Р и nbn = Р1 — периметры оснований усеченной пирамиды, то
т. е. площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна половине произведения суммы периметров ее оснований на апофему.
Сечение, параллельное основанию пирамиды
1) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части;
2) в сечении получится многоугольник, подобный основанию;
3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
Теорему достаточно доказать для треугольной пирамиды.
Так как параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то (АВ) || (А1В1), (BС) ||( В1C1), (AС) || (A1С1) (рис.).
Параллельные прямые рассекают стороны угла на пропорциональные части, и поэтому
Соответственные углы треугольников ABC и A1B1C1 конгруэнтны, как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами. Поэтому
Площади подобных треугольников относятся, как квадраты соответствующих сторон:
Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.
Пусть (черт. 84) В и В1— площади оснований двух пирамид, H — высота каждой из них, b и b1 — площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удалёнными от вершин на одно и то же расстояние h.
Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:
Следствие. Если В = В1, то и b = b1 , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.
Источник
Сечение пирамиды плоскостью
Сечение пирамиды плоскостью представляет собой плоскую фигуру и содержит в себе точки принадлежащие как поверхности пирамиды так и секущей плоскости.
Пирамида это многогранник — геометрическое тело боковой поверхностью которого служат плоские грани в виде треугольников. Линии пересечения граней (плоскостей) называются ребрами. В основании пирамиды находится плоский многоугольник число сторон которого соответствует количеству боковых граней. По количеству боковых граней пирамиду называют трех-, четырех-, пяти-, шестигранной и т. д.
Проекциями сечения многогранников плоскостью, в общем случае, являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны граням многогранника.
Найти сечение пирамиды плоскостью означает построение линии пересечения поверхности пирамиды (многогранника) плоскостью и сводится к многократному определению: — либо, линии пересечения двух плоскостей (граней пирамиды и секущей плоскости), которые соединяясь между собой образуют искомую линию сечения; — либо, точки встречи прямой (ребер пирамиды) с секущей плоскостью, которые соединяясь между собой прямыми линиями, образуют искомую линию сечения.
Построить сечение пирамиды плоскостью будет значительно проще если секущая плоскость занимает проецирующее положение. Найти трехгранной пирамиды плоскостью a ⊥ H — горизонтальной плоскости проекций.
На горизонтальной плоскости проекций находим точки пересечения αH с ребрами пирамиды: 1`, 2`, 3`. На фронтальной плоскости проекций находим точки: 1″, 2″, 3″, на пересечении линий проекционной связи с ребрами пирамиды: [S»A»], [S»B»], [S»C» ] соответственно. Плоская фигура 1 2 3 — треугольник, есть искомое сечение пирамиды плоскостью αH.
Построить сечение пирамиды плоскостью. Даны проекции пятигранной пирамиды SABCDE и секущая плоскость α(αH, αV), заданная следами.
| Всп. пл. | Заним. полож. | Лин. закл. в пл. | Линии пересеч плоскостей | Точки пересеч. линий |
| β | произвольное | SB ∈ β | β ∩ α = 6-7(6`- 7`, 6″- 7″) | 6-7 ∩ SB = 2(2`, 2″) |
| γ1 | γ1 ⊥ H ∧ γ1 ║ V | SA ∈ γ1 | γ1 ∩ α = f(f`, f») | f ∩ SA = 1(1`, 1″) |
| γ2 | γ2 ⊥ V | SC ∈ γ2 | γ2 ∩ α = 8-9(8`- 9`, 8″- 9″) | 8-9 ∩ SC = 3(3`, 3″) |
| γ3 | γ2 ⊥ V | SD ∈ γ3 | γ3 ∩ α = 10-11(10`- 11`, 10″- 11″) | 10-11 ∩ SD = 4(4`, 4″) |
| γ4 | γ4 ⊥ V | SE ∈ γ4 | γ4 ∩ α = 12-13(12`- 13`, 12″- 13″) | 12-13 ∩ SE = 5(5`, 5″) |
Даны проекции пятигранной пирамида SABCDE и секущая плоскость α заданная проекциями трех точек 1(. 1″), 3(3`, . ) и 5(. 5″), принадлежащих ребрам SA, SC и SE соответственно. Достроить линию сечения пирамиды плоскостью α.
если известны проекции точек лежащих на ребрах пирамиды: 1(. 1″), 3(3`, . ) 5(. 5″). Составляем план решения задачи: — строим недостающие проекции для заданных точек; — соединяем точки сечения пирамиды прямыми линиями и построив следы этих прямых линий переходим к заданию секущей плоскости α следами αH и αV. Дальнейший ход решения задачи на сечение пирамиды плоскостью изложен в предыдущем примере.
Даны проекции пятигранной пирамида SABCDE и секущая плоскость α заданная проекциями трех точек 7(7`, 7″), 8(8`, 8″), 9(9`, 9″) и 10(10`, 10″), являющихся вершинами ромба. Построить линию сечения пирамиды SABCDE плоскостью α и его натуральную величину, используя способ перемены плоскостей проекций .
Составляем план решения задачи: Преобразуем секущую плоскость α в фронтально проецирующую: — строится в секущей плоскости горизонталь h; — производится Перемена плоскости проекции V на V1; — строятся проекции секущей плоскости α»1 и пирамиды S»1A»1B»1C»1D»1E»1; — отмечаются точки пересечения ребер пирамиды с α»1: 1″1, 2″1, 3″1, 4″1 и 5″1; Преобразуем секущую плоскость α(α`, α»1) в фронтально проецирующую плоскость уровня α»1: — производится Перемена плоскости проекции H на H1 при этом x2 ‖ α»1; — строятся точки сечения 1`0, 2`0, 3`0, 4`0 и 5`0, найденные точки соединяем прямыми линиями и получаем искомую натуральную величину сечения пирамиды
Сечение пирамиды плоскостью, построенное здесь применено в статьях: — развертка поверхности усеченной пирамиды: Развертка поверхности усеченной пирамиды; — построение аксонометрических проекций усеченной пирамиды: Прямоугольная изометрия усеченной пирамиды; — графическая работа 12: Графическая работа 12.
Источник
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Как построить сечение пирамиды
Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.
В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.
Построить сечение плоскостью (MNP)
Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Треугольник MNP — сечение пирамиды
Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.
Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.
Треугольник MNP — искомое сечение.
Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.
Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.
Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.
Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.
Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.
Треугольник BKL — искомое сечение.
Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.
Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.
Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.
Продолжим прямую NP.
Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.
Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.
Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.
Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).
Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.
Получим след MT.
T — точка пересечения прямых MH и AC.
Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).
4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.
Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.
Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.
Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.
Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), 
которой принадлежит прямая AS.
Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.
Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.
Таким образом, получили все то же сечение MNPT.
Рассмотрим еще один пример такого рода.
Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).
Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).
Через точки M и P прямую провести не можем.
1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.
Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.
F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.
2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.
Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).
Источник
