Что значит с точностью до порядка

Приближенные вычисления с помощью рядов

После изучения основных понятий функциональных и степенных рядов, задачи разложения функций в ряды переходим к обширной группе приложений рассматриваемой темы. К основным заданиям, которые часто встречаются на практике, относятся следующие:

– приближённое вычисление значения функции с помощью ряда;

На данном уроке мы рассмотрим первую, наиболее простую задачу, для решения которой потребуются самые элементарные знания о рядах, таблица разложений функций в степенные ряды и микрокалькулятор. Как вариант, пойдёт Эксель (если умеете управляться с его функциями). Вычислительные задачи требуют повышенной концентрации внимания, поэтому к изучению статьи рекомендую подойти в хорошей физической форме и со свежей головой:

Существует 2 типа рассматриваемой задачи, с которыми мы на самом деле уже сталкивались ранее, в частности при вычислении интеграла по формуле трапеций и методом Симпсона. Тип первый:

Используя разложение функции в ряд, вычислить число , ограничившись 5 членами разложения. Результат округлить до 0,001. Провести вычисления на калькуляторе и найти абсолютную погрешность вычислений.

Решение: прежде всего, выбираем подходящее табличное разложение функции. Очевидно, что в нашем случае необходимо взять следующий ряд:
, который сходится при любом значении «икс».

Кратко повторим, что такое сходимость функционального ряда: чем больше слагаемых мы рассмотрим, тем точнее функция-многочлен будет приближать функцию . Действительно, график параболы совсем не напоминает экспоненту и график кубической функции тоже далёк от идеала, но если взять 50-100 членов ряда, то картина в корне поменяется. И, наконец, график бесконечного многочлена совпадёт с графиком экспоненциальной функции .

Примечание: в теории даже есть такой подход и определение: функция – это сумма функционального ряда .

В условии прямо сказано, что нужно просуммировать 5 первых членов ряда, причём, результат следует округлить до 0,001. И поэтому проблем здесь никаких:

Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора:

Абсолютная погрешность вычислений:
– ну что же, вполне и вполне неплохо. Но бывает лучше.

Ответ:

Теперь рассмотрим нескольку другую разновидность задания:

Используя разложение функции в ряд, вычислить приближённо с точностью до 0,001.

! Примечание: иногда аргумент бывает выражен в градусах, в таких случаях его необходимо перевести в радианы.

Давайте вспомним смысл выражения «с точностью до 0,001». Оно обозначает, что наш ответ должен отличаться от истины не более чем на 0,001.

Решение: используя табличное разложение , запишем несколько членов соответствующего ряда, при этом округление лучше проводить с «запасом» – до 5-6 знаков после запятой:

Сколько членов ряда следует просуммировать для достижения требуемой точности? Для сходящихся знакочередующихся рядов справедлив следующий критерий: члены следует суммировать до тех пор, пока они по модулю больше заданной точности. Первый же меньший вместе со всем «хвостом» подлежит утилизации. В данном примере таковым является 4-й член: , поэтому:

– с округлением финального результата до требуемой точности.

Ответ: с точностью до 0,001

Наверное, все понимают, почему она гарантирована: здесь к отрицательному 4-му члену прибавляется мЕньшее по модулю число , затем из результата вычитается ещё более малое число – и так далее до бесконечности. Образно говоря, конструкция напоминает маятник с затухающими колебаниями, где – самый большой размах в отрицательную сторону, «затмевающий» собой все остальные движения.

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

с точностью до . порядка

We expand Φ(ω) about ω₀ and, correct to first order, obtain .

Русско-английский научно-технический словарь переводчика . Михаил Циммерман, Клавдия Веденеева . 2003 .

Смотреть что такое «с точностью до . порядка» в других словарях:

вычисление с точностью до порядка величины — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN order of magnitude calculation … Справочник технического переводчика

ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА — множество точек 3 мерного действительного (или комплексноро) пространства, координаты к рых в декартовой системе удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени (*) Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, в таких… … Математическая энциклопедия

БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА УРАВНЕНИЕ — в комплексной области дифференциальное уравнение вида где искомая функция комплексного переменного заданные .функции. Наиболее полно изучены .Б. п. у. с постоянными коэффициентами: Если .характеристич. функция есть целая функция экспоненциального … Математическая энциклопедия

ЛИНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА — плоская линия, декартовы прямоугольные координаты к рой удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет… … Математическая энциклопедия

Линии второго порядка — плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2 й степени a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*) Уравнение (*) может и не определять действительного… … Большая советская энциклопедия

НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА — 1) Н. ф. матрицы A матрица Nзаранее определенного специального вида, получаемая из Ас помощью преобразований определенного типа. В зависимости от рассматриваемого типа преобразований, от области K, к к рой принадлежат коэффициенты А , от вида Аи … Математическая энциклопедия

Вариационное исчисление — Вариационное исчисление это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает… … Википедия

КОСМОЛОГИЯ — (от греч. kosmos мир, Вселенная и logos слово, учение), учение о Вселенной как едином целом и о всей охваченной астр. наблюдениями области Вселенной (Метагалактике) как части целого; раздел астрономии. Выводы К. основываются на законах физики и… … Физическая энциклопедия

Перестановка — В комбинаторике перестановка это упорядоченный набор чисел обычно трактуемый как биекция на множестве , которая числу i ставит соответствие i й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки. Как синоним слову… … Википедия

Жорданова матрица — (нормальная жорданова форма) одно из фундаментальных понятий линейной алгебры, имеющее большое число приложений в различных разделах математики и физики. Жордановой матрицей называется квадратная блочно диагональная матрица над полем , с блоками… … Википедия

Чисел теория — наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций. Особое место среди целых чисел, т. е. чисел. 3 … Большая советская энциклопедия

Источник

С точностью до порядка

Наука | Научпоп

6.1K поста 69K подписчик

Правила сообщества

ВНИМАНИЕ! В связи с новой волной пандемии и шумом вокруг вакцинации агрессивные антивакцинаторы банятся без предупреждения, а их особенно мракобесные комментарии — скрываются.

Основные условия публикации

— Посты должны иметь отношение к науке, актуальным открытиям или жизни научного сообщества и содержать ссылки на авторитетный источник.

— Посты должны по возможности избегать кликбейта и броских фраз, вводящих в заблуждение.

— Научные статьи должны сопровождаться описанием исследования, доступным на популярном уровне. Слишком профессиональный материал может быть отклонён.

— Видеоматериалы должны иметь описание.

— Названия должны отражать суть исследования.

— Если пост содержит материал, оригинал которого написан или снят на иностранном языке, русская версия должна содержать все основные положения.

Не принимаются к публикации

— Точные или урезанные копии журнальных и газетных статей. Посты о последних достижениях науки должны содержать ваш разъясняющий комментарий или представлять обзоры нескольких статей.

— Юмористические посты, представляющие также точные и урезанные копии из популярных источников, цитаты сборников. Научный юмор приветствуется, но должен публиковаться большими порциями, а не набивать рейтинг единичными цитатами огромного сборника.

— Посты с вопросами околонаучного, но базового уровня, просьбы о помощи в решении задач и проведении исследований отправляются в общую ленту. По возможности модерация сообщества даст свой ответ.

— Оскорбления, выраженные лично пользователю или категории пользователей.

— Попытки использовать сообщество для рекламы.

— Многократные попытки публикации материалов, не удовлетворяющих правилам.

— Нарушение правил сайта в целом.

Окончательное решение по соответствию поста или комментария правилам принимается модерацией сообщества. Просьбы о разбане и жалобы на модерацию принимает администратор сообщества. Жалобы на администратора принимает @SupportComunity и общество пикабу.

Есть замечательные книги «Так говорил Ландау», «Так говорил Альберт Эйнштейн» и «Физики шутят» и ещё неплохая «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман». Мне больше всего понравилась история про то что самая распространённая надпись на стенах физических факультетов — это «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

Это значит, что в 3 раза больше денег — в 9 раз охуенее. Как-то так.

Как-то сама цитата сомнительная. Может был контекст какой-то. Для каких величин важен только порядок?

Я даже загуглил, что такое «экспонента», но всё равно не понял XD

Хорошо взять книгу и перепечатыать каждую историю сюда? держи минус.

Бенцион Вул – инженер, создавший лазеры и солнечные батареи

Возможно, не случись в 1917 году в России революции, мир так и не узнал бы имени Бенциона Моисеевича Вула. А так он, пережив множество опасностей, из малограмотного паренька с периферии страны, превратился в известнейшего ученого, создавшего высокоэффективные фильтры для противогазов, лазеры и даже солнечные батареи.

Родился Бенцион в городке Белая Церковь (ныне территория Украины) 22 мая 1903 года. Городок находился в черте оседлости, поэтому в нем проживала большая еврейская диаспора. Отец мальчика хоть и был кузнецом, однако сам много читал и сумел привить любовь к чтению своему сыну. Правда, мальчишка из всей домашней библиотеки больше предпочитал перечитывать энциклопедический словарь Брокгауза и Эфрона. Когда Бене исполнилось 5 лет, его отдали в хедер, где он показал себя очень перспективным учеником. Видя старания мальчика, местный раввин даже попросил городские власти, чтобы его зачислили в Белоцерковскую гимназию сразу в 4 класс.

К сожалению, долго учиться ему там не пришлось. В 1917 году страна пережила 2 революции, а затем грянула гражданская война, во время которой через Белую Церковь прокатилось несколько волн всевозможных армий: от националистических украинских соединений до собственных белогвардейских и иностранных экспедиционных корпусов. Когда же в 1920 в город вошли части Красной армии, то уже и сам Бенцион записался в ряды Конной армии Буденного. Парня сразу отправили на фронт, однако полгода спустя, выяснив, что ему еще нет 18, демобилизовали.

Как сознательного большевика Вула начали продвигать по комсомольской линии, и вскоре он дорос до должности секретаря Белоцерковского городского комитета комсомола. Правда, юноша руководил этой организацией недолго, потому что его в 1921 году отправили учиться в Киевский политехнический институт. Так как молодой комсомольский вожак не имел среднего образования, предполагалось, что он сначала поступит на рабфак (впоследствии его назовут подготовительными курсами), а только после него пойдет сдавать экзамены в институт.

Однако в ситуацию вмешался случай. Не разобравшись, куда идти, Бенцион направился в кабинет, где сдавали экзамены настоящие абитуриенты. В аудитории сотрудник института, смешавшийся при виде одетого в военную форму человека, даже не спрашивая его фамилии и не проверяя уровень знаний, сразу предложил Вулу записаться на электротехнический факультет. Бенцион и не возражал.

Столь легкое поступление в институт обернулось для Вула тяжелейшей работой на первом курсе. Весь учебный год бедняга просидел за книгами, параллельно набираясь знаний, и на рабфаке, и в институте. К счастью, находились люди, которые с удовольствием помогали молодому студенту. В частности, профессор Евгений Вотчал помог юноше понять тонкости геометрии. Для наглядности он вырезал из картофелин различные геометрические фигуры, чтобы Вул мог понять их свойства.

Однако уже на втором курсе Бенцион вошел в число лучших студентов. Его вновь стали продвигать вверх по комсомольской линии, а в 1923 даже приняли в ВКП(б). Правда, тонкости политики оказались не его коньком. В те времена построения индустриально развитой страны крайне сложно было в точности выдерживать партийную линию, не замаравшись сотрудничеством с какой-нибудь антипартийной группировкой. Именно это случилось и с Вулом, что закрыло ему дорогу в партийную верхушку страны.

Зато в науке у него все шло довольно гладко. После окончания в 1928 году Киевского политехнического института молодому человеку предложили должность аспиранта на кафедре электротехники. Буквально в следующем году он уже защитил кандидатскую диссертацию, выбрав тему очистки заводских дымов и газов. Сразу же после этого, Вул направился в Ленинград, где поступил в аспирантуру Ленинградского физико-технического института. Он стал лаборантом направления физики диэлектриков, которой руководил сам Абрам Федорович Иоффе.

1932 год стал для Вула решающим. Местом его постоянной работы стал Физико-математический институт Академии наук, из которого ученый уезжал только в командировки. Одна из них вполне могла стать последней в жизни, ведь пока еще молодого ученого отправили изучать тонкости свойств диэлектриков в Германию. Едва к власти в стране пришли нацисты, все евреи, включая иностранцев, немедленно попали в зону риска. В любой момент под любым предлогом Вула могли арестовать. По некоторым сведениям сведениям так и произошло. И буквально чудо помогло ученому выбраться из Берлина.

На родине Вул продолжал работать по избранной тематике. Когда же Ленинградский физмат было решено разделить на два равнозначных вуза, Бенциону Моисеевичу предложили возглавить тот, который переводили в Москву. В 1938 ученый был награжден орденом Красной Звезды за работу в области фильтрации аэрозолей. Результатом этих исследований стал выпуск в Советском Союзе высокоэффективных фильтров для противогазов. Спустя год Вул стал членом-корреспондентом Академии наук СССР.

Послевоенные годы стали для ученого временем его расцвета. Работая в области изучения диэлектриков и полупроводников, Бенцион Моисеевич совершил массу открытий. В частности, он получил поистине уникальный сегнетоэлектрик титан бария, что до него не удавалось никому. Исследования им фотоэлектрических явлений дали толчок к созданию кремниевых фотоэлементов для солнечных батарей.

Не обошлось без Вула и в сфере создания первых эксимерных лазеров. Кстати, одна из их разновидностей в настоящее время активно используется в глазной хирургии. За выдающиеся заслуги перед наукой и страной в 1972 году Бенциону Моисеевичу Вулу было присвоено звание академика АН СССР.

Источник