Понятие о квадратном неравенстве и его решении, аналитический способ решения — КВАДРАТНОЕ НЕРАВЕНСТВО И ЕГО РЕШЕНИЕ — КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Цель: рассмотрение квадратного неравенства и его решения, аналитического способа решения.
I. Сообщение темы и цели урока
II. Изучение нового материала (основные понятия)
Понятие квадратного неравенства аналогично понятию квадратного уравнения. Если в одной части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в другой — число нуль, такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства 3х2 — 2х — 1 ≤ 0 и -5х2 + 3х + 2 > 0 являются квадратными. Вообще, если в части неравенства переменная х входит в степени 2 и ниже, то после несложных преобразований такое неравенство сводится к квадратному.
В неравенстве 2х2 ≥ 5х — 3 перенесем (изменяя знак) члены 5х и -3 в левую часть и получим квадратное неравенство 2х2 — 5х + 3 ≥ 0.
Напомним, что решением неравенства с одним неизвестным называется такое значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет. Например, для неравенства примера 1 число х = 2 является одним из решений, а число х = 1,2 — нет.
К квадратным неравенствам приводят многие геометрические и текстовые задачи.
Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую — на 6 см. Площадь получившегося прямоугольника стала больше 45 см3. Какова была сторона квадрата?
Пусть сторона квадрата равна х см, тогда стороны прямоугольника (х + 2) см и (х + 6) см и его площадь равна (х + 2)(х + 6) см2. По условию задачи получаем неравенство (х + 2)(x + 6) > 45 или х2 + 8х + 12 > 45, или x2 + 8x – 33 > 0. Разложим левую часть неравенства на множители (х – 3)(х + 11) > 0. Так как по условию х > 0, то и х + 11 > 0. Разделим обе части неравенства на положительное выражение х + 11, (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем линейное неравенство х — 3 > 0, откуда х > 3. Итак, сторона квадрата больше 3 см.
На плану производит построение рота солдат, состоящая не менее чем из 72 человек. Оказалось, что шеренг на 6 больше, чем солдат в каждой шеренге. Сколько может быть солдат в каждой шеренге?
Пусть число солдат в каждой шеренге равно х, тогда число шеренг равно х + 6 и число солдат в роте равно х(х + 6). По условию задачи получаем неравенство х(х + 6) ≥ 72 или х2 + 6х – 72 ≥ 0. Разложим левую часть этого квадратного неравенства на множители (х + 12)(х — 6) ≥ 0. Так как по условию х > 0, то и х + 12 > 0. Разделим обе части неравенства на положительное выражение х + 12 (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем линейное неравенство х — 6 ≥ 0, откуда х ≥ 6. Итак, в каждой шеренге находится не менее 6 солдат.
Заметим, что в двух последних примерах по условию задачи возникало дополнительное условие х > 0, что позволило легко свести квадратное неравенство к линейному неравенству и решить его. Теперь рассмотрим решение квадратных неравенств (без ограничений на х).
Решим неравенство x2 + 8х – 33 > 0.
Квадратное уравнение х2 + 8х — 33 = 0 имеет два корня x1 = -11 и х2 = 3. Поэтому квадратный трехчлен x2 + 8x — 33 можно разложить на множители x2 + 8x – 33 = (x + 11)(x — 3). Тогда данное неравенство имеет вид (х + 11)(х — 3) > 0. Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая.
1) Пусть оба множителя положительны, т. е. х + 11 > 0 и х — 3 > 0. Получаем систему линейных неравенств 
Решая систему, имеем 
откуда х > 3. Итак, все числа х > 3 являются решениями неравенства (х + 11)(x — 3) > 0.
2) Пусть оба множителя отрицательны, т. е. х + 11 0. Таким образом, решениями неравенства (х + 11)(x — 3) > 0, а следовательно, и данного неравенства х2 + 8х – 33 > 0 являются числа х 3. Итак, х 3.
Итак, при решении квадратного неравенства ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c 0 или а(х – х1)(x – х2) 0). Итак, при a = 2 решение данного неравенства х = 2.
3) Пусть a > 2. Тогда получаем две системы линейных неравенств: 
или 
(решение этой системы 2 ≤ х ≤ a) и 
или 
(такая система решений не имеет, т. к. а > 2). Итак, при а > 2 решение данного неравенства 2 ≤ х ≤ а.
Так как в задачах с параметрами очень важен правильный ответ, то выпишем ответ данной задачи: при а 2 2 ≤ х ≤ а.
Заметим, что аналогичный подход можно использовать и при решении неравенств с модулями. При этом надо помнить, что при возведении в квадрат неотрицательных частей неравенства знак неравенства сохраняется и получается равносильное неравенство (т. е. имеющее те же решения, что и данное неравенство). Учитывая свойство модуля |а| = а2, отпадает необходимость раскрытия модуля.
Решим неравенство 
Возведем в квадрат обе неотрицательные части данного неравенства и получим: 
или 
(при этом знак модуля исчезает). Перенесем все члены неравенства в левую часть 
Используя формулу разности квадратов, разложим эту часть на множители. Имеем: 
или 
или 
Произведение множителей положительно, если множители х — 2 и х + 1 имеют одинаковые знаки. Получаем две системы линейных неравенств.
1) 
или 
Решение этой системы х > 2.
2) 
или 
Решение этой системы х 2.
Решим неравенство 
Возведем в квадрат обе неотрицательные части данного неравенства и получим: 
или 
(при этом знаки модулей исчезают). Перенесем все члены неравенства в левую часть 
Используя формулу разности квадратов, разложим эту часть на множители. Имеем: 
или 
или 
Произведение множителей отрицательно, если множители 2 — х и 3х — 1 имеют разные знаки. Получаем две системы линейных неравенств.
1) 
или 
Решение этой системы x 2.
Итак, решение данного неравенства х 2.
III. Контрольные вопросы
1. Какое неравенство называется квадратным? Приведите примеры.
2. Что называется решением неравенства с одной переменной?
3. Что значит решить неравенство?
4. Как решают квадратное неравенство (опишите алгоритм)?
IV. Задание на уроке
№ 649; 650 (1, 4); 651 (1, 2); 652 (2, 3); 653 (1, 4); 654 (5); 655 (1, 4); 657.
V. Задание на дом
№ 650 (2, 3); 651 (3, 4); 652 (1,4); 653 (2, 3); 654 (6); 655 (2, 3); 658.
VI. Творческие задания
1. При всех значениях параметра а решите неравенство:
Ответы: а) при всех а х = a/2;
б) при всех а х — любое число, кроме х = -3/4а;
в) при всех а решений нет;
г) при всех а х — любое число;
д) при а 1, при а = 1 х — любое число, кроме х = 1, при а > 1 х a;
е) при а 1 2 ≤ х ≤ 2а;
ж) при а 3 3 -4 х ≤ -4 и х ≥ a;
и) при a > 0 х ≤ 2а и х ≥ a, при a = 0 х — любое число, при a > 0 х ≤ a и х ≥ 2a.
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
© 2014-2021 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.
Источник
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР.
Нужно ответить на поставленные вопросы.
ВОПРОС №1. Какие неравенства называются квадратными?
Ответ: Неравенства, у которых в левой части стоит квадратный трехчлен, а в правой нуль.
ВОПРОС №2. Какими способами можно решить квадратное неравенство?
Ответ: Квадратное неравенство можно решить аналитическим способом, т.е. используя системы, графическим способом и методом интервалов.
ВОПРОС №3. Как решить квадратное неравенство аналитическим способом, т. е., используя системы?
Ответ:Нужно разложить на множители соответствующий квадратный трехчлен, из вновь получившегося неравенства составить системы и решить их.
ВОПРОС №4. Всегда ли можно решить квадратное неравенство аналитическим способом?
Ответ: Нет, только в том случае если дискриминант положительный.
ВОПРОС №5. По какой формуле раскладываем на множители квадратный трехчлен?
ВОПРОС №6.По какой формуле находят корни квадратного уравнения?
ВОПРОС №8.Как решить квадратное неравенство графическим способом?
Ответ:Нужно определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента, затем найти корни соответствующего квадратного уравнения (точки пересечения с осью Ох), построить эскиз графика и по нему определить промежутки, где функция положительна, а где отрицательна.
ВОПРОС №9. Что является графиком квадратичной функции?
ВОПРОС №10.Как решить квадратное неравенство методом интервалов?
Ответ: Нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения. Отметить получившиеся числа на координатной прямой, определить знак неравенства на каждом из получившихся числовых промежутков, которые называются интервалами.
ВОПРОС №11.Какие числовые промежутки вы знаете?
Ответ: Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи.
ВОПРОС №12. Почему в ответе могут получиться разные числовые промежутки?
Ответ: Это происходит, потому что неравенства бывают строгие и нестрогие. Строгие, в которых знак , нестрогие — в которых знак ≤ или ≥.
Хорошо, а теперь подведем итоги этого этапа.
Оцениваться будет ваша активность — поднятая рука и полнота ответа. Во время ваших ответов я буду помечать себе, кто как отвечает. И так, ставим в ваши листы контроля, следующие оценки:
Оценка «5» соответствует первому месту,
оценка «4» — второму, «3» — третьему, «2» — четвертому. Кроме этого в листах контроля отмечаем еще и «улыбку настроения».
А теперь «УСТНЫЙ СЧЕТ» —второй тур нашей разминки.
Работать будем с перфокартами. У вас на корточках даны задания с выбором ответа. Вам нужно выполнить предложенное задание, найти получившийся ответ и в окошечке около него поставить крестик. (Выдают ученикам перфокарты).
ЗАДАНИЕ №1.Решите неравенство:
| 8 – 4х -1 х > 1 |
ЗАДАНИЕ №2.Решить систему и записать ответ в виде числового промежутка.
| — х > 8 2х + 7 > 0 | ( — 3,5; 8) [-3,5; 8] (-3,5; 8] [-3,5; 8) |
ЗАДАНИЕ №3.Изобразить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству: — 2 
Ну вот, разминка закончилась. Переходим непосредственно к троеборью.
В виде троеборья будет проходить основной этап нашего урока систематизация и обобщение знаний.
3.Систематизация и обобщение знаний.
Дидактическая цель: выявление главного в изученном материале.
Задачи:подведение итогов работы учащихся; практическое применение знаний.
Способ решения:практикум по решению неравенств.
ТОЛКАНИЕ ЯДРА –первый этап троеборья
В этом виде спорта побеждает тот, кто дальше толкнул это ядро. У нас в роли ядра — ваши умения, а в роли метров — квадратные неравенства. Победит тот, кто больше решит квадратных неравенств.
Цель этого этапа:Проверить ваши умения в решении квадратных неравенств аналитическим способом. Для работы на этом этапе делимся на две группы:
lБолее слабые ученики: …
Вам даны карточки, на которых написаны квадратные неравенства. Вы должны их решить аналитическим способом. Ответ записываете в виде числовых промежутков. Решать неравенства можно в любом порядке, только указывать номер. Для той группы, на столах подготовлены карточки памятки по применению алгоритмов.
Карточка №1. (для более слабых учеников)
Карточка №2. (для более сильных учеников)
На выполнение этого задания вам отводится 10 минут.
Время вышло. Проверим ваши успехи. Поменяйтесь тетрадями с соседями по парте.
(Ответы записаны на доске.)
Если пример решен верно, то ставим «+».
Пять плюсов – оценка «5» и первое место.
Четыре плюса – оценка «4» и второе место.
Три плюса – оценка «3» и третье место и т.д.
А теперь рисуем улыбку.
Продолжим наши соревнования.
Следующий этап троеборья – «БЕГ»
Вы знаете, что в этом виде спорта выигрывает тот, кто быстрее всех пробежит дистанцию.
У нас с вами этой дистанцией будут предложенные квадратные неравенства, одно из которых нужно решить графическим способом.
Цель этого этапа:Проверить и закрепить умение решать квадратные неравенства графическим способом.
Карточка №1. (для более слабых учащихся)
3. x2 – 3x – 10 > 0
Карточка №2. (для более сильных учащихся)
Источник
