Что значит ребра пирамиды попарно перпендикулярны

Задание 14. ЕГЭ. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 14.

Задание. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 14.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 6 : 1. Найдите площадь сечения MNB.

Решение:

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

По условию AB = BC = AC = 14, следовательно, основание пирамиды – правильный треугольник ΔАВС.

Треугольники ΔABD = ΔACD (АВ = АС, АD – общая), ΔACD = ΔBCD (ВС = АС, СD – общая), ΔBCD = ΔAВD (ВС = АВ, ВD – общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD – правильная пирамида.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 6 : 1. Найдите площадь сечения MNB.

Так как AD = BD и ∠ADB = 90 0 , то треугольник ΔADB – равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем AD:

Треугольники ΔMDN и ΔADC подобны (∠D – общий угол, DM : DA = DN : DC = 6 : 7). Тогда

Рассмотрим ΔАВМ, в котором ∠МAB = 45 0 . По теореме косинусов, найдем ВМ:

Треугольник ΔMNB – равнобедренный треугольник, в котором BM = BN. Тогда медиана BK является высотой треугольника ΔMNB, т. е. BK ⊥ MN.

Из прямоугольного треугольника ΔВМK (∠ВKM = 90 0 ) найдем BK:

Площадь треугольника ΔMNB равна половине произведения основания MN на высоту BK:

Источник

Задание 14. ЕГЭ. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 9√2.

Задание. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 9√2.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 7. Найдите площадь сечения MNB.

Решение:

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

По условию AB = BC = AC = 9√2, следовательно, основание пирамиды – правильный треугольник ΔАВС.

Треугольники ΔABD = ΔACD (АВ = АС, АD – общая), ΔACD = ΔBCD (ВС = АС, СD – общая), ΔBCD = ΔAВD (ВС = АВ, ВD – общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD – правильная пирамида.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 7. Найдите площадь сечения MNB.

Так как AD = BD и ∠ADB = 90 0 , то треугольник ΔADB – равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем AD:

Треугольники ΔMDN и ΔADC подобны (∠D – общий угол, DM : DA = DN : DC = 6 : 7). Тогда

Рассмотрим ΔАВМ, в котором ∠МAB = 45 0 . По теореме косинусов, найдем ВМ:

Треугольник ΔMNB – равнобедренный треугольник, в котором BM = BN. Тогда медиана BK является высотой треугольника ΔMNB, т. е. BK ⊥ MN.

Из прямоугольного треугольника ΔВМK (∠ВKM = 90 0 ) найдем BK:

Площадь треугольника ΔMNB равна половине произведения основания MN на высоту BK:

Источник

Что значит ребра пирамиды попарно перпендикулярны

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает плоскость BMC по отрезку KL. Так как плоскость α параллельна ребру MC, то KL || MC, следовательно, KL — средняя линия треугольника AMC, а L — середина ВС. Плоскость α проходит через QK — среднюю линию треугольника MAB, и, следовательно, параллельна AB. Таким образом, пересекает плоскость основания по прямой параллельной AB — средней линии треугольника АВС и проходит через точку O — середину отрезка AC. Значит, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны QK и LO параллельны отрезку AB и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный

треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Площадь параллелограмма

Ответ:

Примечание от Олега Берковского.

Площадь сечения можно найти проще. Легко доказывается, что сечение KLOQ является ромбом со стороной 3. Меньшая диагональ КО данного ромба также равная 3 (можно получить, рассмотрев треугольник МОВ). Следовательно, ромб состоит из 2-х равносторонних треугольников со стороной 3. Значит, острый угол ромба равен 60 градусов.

Отсюда площадь ромба

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Источник Что значит ребра пирамиды попарно перпендикулярны Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, а площади боковых граней равны S , P и Q . Найдите радиус вписанного шара. Найдите также радиус шара, касающегося основания и продолжений боковых граней пирамиды. Решение Пусть DA , DB и DC – боковые рёбра треугольной пирамиды ABCD с вершиной D , причём SΔ ADB = S , SΔ ADC = P , SΔ BDC = S . Обозначим AD=a , BD=b , CD=c . Тогда перемножив почленно два первых уравнения системы и разделив результат на третье, получим, что a= . Пусть SΔ ABC = T . Докажем, что T 2 =S 2 +P 2 +Q 2 . Для этого опустим перпендикуляр DF из вершины D на ребро BC . Ребро AD перпендикулярно плоскости грани BCD , так как AD BD и AD CD по условию задачи. Тогда прямая BC перпендикулярна плоскости ADF , значит AF BC , т.е. AF – высота треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников BDC и ADF находим, что DF = = = , = = = . Следовательно, T 2 =S 2 +P 2 +Q 2 . Что и требовалось доказать. Пусть r – радиус вписанного в пирамиду ABCD шара, Sполн. – площадь полной поверхности пирамиды (в нашем случае Sполн.=T+S+P+Q ). Известно, что V= Sполн.r = (T+S+P+Q)r, В то же время, V = SΔ BDC· AD = Q· a = Q· = . Из уравнения (T+S+P+Q)r = находим, что r= = . Пусть теперь rd – радиус шара, касающегося основания ABC и и продолжений боковых граней ADB , ADC и BDC пирамиды ABCD . Тогда V= (SΔ ADB+SΔ ADC+SΔ BDC-SΔ ABC)rd= (S+P+Q-T)rd. Из уравнения (S+P+Q-T)rd = находим, что rd= = . Ответ Источники и прецеденты использования web-сайт Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина URL http://zadachi.mccme.ru задача Номер 8607 Проект осуществляется при поддержке и . Источник Задание 14. ЕГЭ. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10. Задание. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10. а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 3 : 2. Найдите площадь сечения MNB. Решение: а) Докажите, что эта пирамида правильная. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. По условию AB = BC = AC = 10, следовательно, основание пирамиды – правильный треугольник ΔАВС. Треугольники ΔABD = ΔACD (АВ = АС, АD – общая), ΔACD = ΔBCD (ВС = АС, СD – общая), ΔBCD = ΔAВD (ВС = АВ, ВD – общая). Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD. Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания. В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Пирамида ABCD – правильная пирамида. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 3 : 2. Найдите площадь сечения MNB. Так как AD = BD и ∠ADB = 90 0 , то треугольник ΔADB – равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем AD: Треугольники ΔMDN и ΔADC подобны (∠D – общий угол, DM : DA = DN : DC = 3 : 5). Тогда Рассмотрим ΔАВМ, в котором ∠МAB = 45 0 . По теореме косинусов, найдем ВМ: Треугольник ΔMNB – равнобедренный треугольник, в котором BM = BN. Тогда медиана BK является высотой треугольника ΔMNB, т. е. BK ⊥ MN. Из прямоугольного треугольника ΔВМK (∠ВKM = 90 0 ) найдем BK: Площадь треугольника ΔMNB равна половине произведения основания MN на высоту BK: Источник Читайте также:  Что значит написать портрет Оцените статью Вам также может понравиться Бухгалтерские термины и определения ПРОЦЕДУРЫ ОТКЛЮЧЕНИЯ Процессы, обеспечивающие изоляцию Происхождение слова «вокзал» О том, что представляют собой современные вокзалы Этимология слова «сланцы» Сланцы — летняя открытая обувь, особенно популярная Правообладателям Политика конфиденциальности Контакты