В нормально функционирующей трехфазной сети линейные напряжения (напряжения между каждой парой фазных проводников) равны друг другу по величине и различаются между собой по фазе на 120 градусов. Соответственно и фазные напряжения (напряжения между каждым фазным проводником и нейтральным проводником) равны между собой по величине и имеют аналогичные различия по фазе.

Как следует из вышесказанного, углы сдвига фаз между данными напряжениями равны между собой. Это и называется «симметричная трехфазная система напряжений».

Если к такой сети подключить симметричную нагрузку, то есть такую трехфазную нагрузку, при которой токи каждой из фаз будут равны по величине и по фазе, то такая нагрузка создаст симметричную систему токов (с одинаковыми углами сдвига фаз между ними). Это возможно при условии, когда во всех трех фазах нагрузки имеются одинаковые реактивные и активные сопротивления, то есть Za = Zb = Zc.

Поэтому и фазные токи оказываются в данных условиях равными по величине и по углу сдвига фаз между ними. Примеры симметричных нагрузок: трехфазный асинхронный двигатель, три одинаковые лампы накаливания — каждая на своей фазе, симметрично нагруженный трехфазный трансформатор и т.д.

Рассмотрим векторную диаграмму токов симметричной трехфазной нагрузки. Здесь легко увидеть, что геометрическая сумма векторов трех фазных токов обращается в ноль. Это значит, что при симметричной нагрузке ток нейтрального проводника будет равен нулю, и практически надобность в его использовании отпадает.

Если же к этой трехфазной сети с симметричной системой напряжений подключить несимметричную нагрузку, то есть такую нагрузку, при которой комплексные сопротивления нагрузки в каждой фазе различны (Za ≠ Zb ≠ Zc), то нагрузка создаст систему токов, которые будут различаться между собой по величине и по направлению (по сравнению с диаграммой токов, характерной для симметричной нагрузки). Значения этих фазных токов можно найти по закону Ома.

И тогда геометрическая сумма токов не обратится в ноль, а значит и в нейтральном проводнике будет иметь место переменный ток, поэтому нейтральный проводник в данном случае необходим. Примеры несимметричных нагрузок: лампы накаливания разной мощности в трех фазах, несимметрично нагруженный трехфазный трансформатор, нагрузки с разными коэффициентами мощности в трех фазах и т. д.

Нейтральный провод в данном случае обеспечит сохранение симметрии фазных напряжений несмотря на то, что нагрузка несимметрична. Вот почему четырехпроводная сеть допускает включение однофазных потребителей различной мощности и характера импеданса в разные фазы. Цепь каждой нагруженной фазы будет находится под фазным напряжением генератора независимо от разницы нагрузок между фазами.

Здесь изображена векторная диаграмма несимметричной нагрузки. На диаграмме легко видеть, что за счет наличия нулевого провода, ток в нем представляет собой геометрическую сумму векторов токов каждой из фаз, при этом фазные напряжения не испытывают перекоса, который непременно бы возник если бы нулевого провода при несимметричной нагрузке не было.

Если по какой-нибудь причине нейтральный провод оборвется во время питания несимметричной нагрузки, то возникнет резкий перекос напряжений и токов трехфазной сети, который может привести к аварии.

Перекос случится в этом случае потому, что три цепи нагрузки, питаемые трехфазным источником, вместе со внутренним сопротивлением источника, образуют три цепи разного импеданса, падение напряжения на каждой из которых будет разным и система напряжений трехфазной сети перестанет поэтому быть симметричной. Подробнее об этом смотрите здесь: Причины и последствия обрыва нулевого провода в электросети

Источник

Что такое равномерная нагрузка

Каждое время несёт свои идеалы. В античную эпоху царствовал культ гармонично развитой личности. В Средневековье все озаботились спасением души. Расцвет индустрии породил стремление к высоким скоростям и далёким горизонтам. В век высоких технологий ключевым понятием становится точность.

Именно точность помогла преодолеть архаические оковы земного притяжения, победить отторжение тканей при трансплантации, создать микропроцессоры и МРОТ.

Весь современный мир точен. Зачем требовать танковой прочности от современной малолитражки, жизненный цикл которой — 100 000 км? К чему делать пуленепробиваемый смартфон, если он улетит в утиль с выходом новой модели? Всё равно ни один потребитель не должен быть счастлив слишком долго.

Это же касается и полок стеллажей, столешниц верстаков. Любая горизонтальная поверхность имеет свой предел прочности. Для домашних солений в трёхлитровых банках достаточно и 100 кг на полку, для книг и папок с документами лучше взять с запасом — до 150 кг, а для инструментов и запчастей в гараж — лучше 200 или 300 кг на ярус.

Что такое равнораспредёлённая статичная нагрузка? Это критическая масса, после которой начинается цепная реакция распада. Если на ребро полки с заявленной нагрузкой до 150 кг наступит растоптанным 45-м размером изящный стокилограммовый мачо — хруст мятой железяки обеспечен.

ТАК ДЕЛАТЬ НЕЛЬЗЯ!

Любая металлическая конструкция для облегчения и удешевления не является монолитным изделием, а довольно тонкой стальной поверхностью, усиленной рёбрами жёсткости. И нагрузку надо «размазывать» по всем этим рёбрам жёсткости. К тому же надо учитывать ускорение свободного падения и инерцию, заставляющие даже маленькую пулю пробивать толстый деревянный щит.

Любой груз на полке надо медленно и нежно распределять равномерно по всей площади. Пусть стеллаж прослужит Вам долго!

А мы будем рады помочь с выбором, доставкой и монтажом. Звоните 8-800-350-14-41!

Источник

Что такое симметричная и несимметричная нагрузка

Исторически сложилось так, что из всех разработанных многофазных систем переменного тока в конце XIX и начале XX века, широко применяться стали трёхфазные системы.

Изначально электротехники не понимали, как по трём проводам могут протекать 3 разных тока, так как они привыкли, что каждый ток к потребителю протекает по одному проводу и возвращается по второму. Михаил Осипович Доливо-Добровольский в своих работах показал, что в многофазной системе со сдвигом фаз, составляющим угол в 120°, в каждый момент времени алгебраическая сумма напряжений или токов равняется нулю.

В итоге трёхфазная система получила распространение, потому что обладает следующими преимуществами:

• Наиболее экономичный способ передачи электроэнергии.
• Возможно получить два напряжения без дополнительного преобразования.
• Позволяет получать вращающееся магнитное поле, необходимое для работы электродвигателей.

Основные определения

Совокупность трёх отдельных электрических цепей, где действуют созданные одним источником энергии, одинаковые по частоте и амплитуде синусоидальные ЭДС, расположенные со сдвигом в 120° относительно друг друга называется трёхфазной цепью.

Каждую из трёх действующих ЭДС, обычно называют просто «фаза». Проводник или обмотка, в которых действует ЭДС, также называется «фазой». Условимся, что первую фазу будем считать фазой «А», вторую — фазой «В», третью — фазой «С». Каждая из фаз в электроустановках обозначается своим цветом, так фаза «А» — обозначается жёлтым, фаза «В» — зелёным, фаза «С» — красным цветом.

При симметричной нагрузке в трёхфазной системе полные значения сопротивлений нагрузки по фазам ZA, ZB, ZC равны.

Полное сопротивление — это сумма активного (R) и реактивного (X) сопротивлений. Реактивное сопротивление, в свою очередь, состоит из индуктивного (XL) и емкостного (XС) сопротивлений.

Формула для определения полного сопротивления:

Формула для определения реактивного сопротивления:

Итак, когда нагрузка в трёхфазной цепи симметричная, значения токов и напряжений во всех фазах сдвинуты на одинаковый угол 120° относительно друг друга.

При несимметричной нагрузке полные значения сопротивления фаз потребителей не равны между собой.

Соответственно, в этом случае действующие значения токов и напряжений во всех фазах не будут равны между собой и угол сдвига фаз будет отличаться от угла в 120°.

Какая нагрузка преобладает в электросети

Раньше среди потребителей значительную часть нагрузки составляла активная, то есть лампы накаливания, различные электронагревательные приборы. В последние десятилетия возросла доля индуктивной нагрузки (электродвигатели в различной бытовой технике) и емкостной (конденсаторные батареи, пусковые конденсаторы электродвигателей, импульсные источники питания без ККМ и т.п.).

При активной нагрузке ток и напряжение совпадают по фазе и мощность, передаваемая генератором, расходуется на совершение работы. Но так как на самом деле нагрузка в электросети смешанная, то есть имеет активный и реактивный характер, уменьшается величина активной мощности, которая расходуется на совершение работы и увеличивается количество реактивной энергии.

Для обеспечения симметричной нагрузки важен и характер её распределения. При подключении трёхфазных приборов к бытовой электросети, как правило, нагрузка распределяется равномерно. В этом случае можно утверждать, что нагрузка симметричная.

Но в реальности больше однофазных потребителей, ведь в большинстве случаев в частных домах и квартирах ввод однофазный, а все электросети при этом трёхфазные. Даже при тщательном распределении домов и квартир по фазам, нагрузка будет несимметричной , так как почти никогда потребители на каждой из фаз не потребляют одинаковую мощность.

Схемы работы сети

Существует два основных способа соединения обмоток генератора (или питающего трансформатора) и потребителей электрической энергии в симметричных трёхфазных системах: звезда и треугольник.

Возможно соединение генератора и потребителей как с применением нулевого провода, так и без него. Если обмотки генератора и потребителя соединяются в звезду с нулевым проводом, то электроэнергия передаётся по 4-х проводной линии.

Источник

Лекция 7. Параллельные силы. Распределенная нагрузка

7.1. Сложение двух сонаправленных сил

Рассмотрим твердое тело, к точкам A₁ и A₂ которого приложены сонаправленные силы \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) (рис. 7.1 а). Если бы они были равны по модулю и перпендикулярны отрезку A₁A₂, то из соображений симметрии можно было бы заключить, что у них имеется равнодействующая \(\vec R\), приложенная в середине отрезка, сонаправленная с обеими силами и по модулю превосходящая каждую из них вдвое (рис. 7.1 б). Возникает вопрос: существует ли равнодействующая в общем случае, изображенном на рис. 7.1 а)?

Замечание. В нарушении симметрии роль играет лишь неравенство модулей сил, но не угол, образуемый векторами \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\) и отрезком A₁A₂. Например, силу \(\vec F_<2>\) можно перенести вдоль ее линии действия в некоторую точку B так, что новый отрезок A₁B будет перпендикулярен этой силе.

Покажем, что и в общем случае у двух сонаправленных сил есть равнодействующая Для этого представим каждую из исходных сил \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\) в виде суммы двух новых сил: \(\vec F_<1>=\vec P_<1>+\vec Q_<1>\), \(\vec F_<2>=\vec P_<2>+\vec Q_<2>\). При этом потребуем, чтобы \(\vec P_<1>\) и \(\vec P_<2>\) были равны по модулю, противоположны по направлению и имели общую линию действия – A₁A₂ (рис. 7.2 а).

Рис. 7.2. Сложение двух сонаправленных сил

Согласно первой аксиоме статики, \(\vec P_<1>\) и \(\vec P_<2>\) уравновешивают друг друга. Поэтому исходная система \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) эквивалентна двум силам \(\vec Q_<1>,\vec Q_<2>\). Очевидно, что они непараллельны и лежат в той же плоскости, что и \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\). Следовательно, их линии действия пересекаются в некоторой точке B этой же плоскости. Отложив силы \(\vec Q_<1>,\vec Q_<2>\) от этой точки и сложив по правилу параллелограмма, их можно заменить равнодействующей \(\vec R\).

Поскольку \(\vec P_<1>,\vec P_<2>\) уравновешивают друг друга, их также можно отложить от точки B. Это значит, что в B оказываются приложены силы \(\vec F_<1>=\vec P_<1>+\vec Q_<1>\) и \(\vec F_<2>=\vec P_<2>+\vec Q_<2>\). Поэтому равнодействующая \(\vec R\) равна \(\vec F_<1>+\vec F_<2>\): она сонаправлена с исходными силами, а по модулю равна их сумме.

Определим точку C, в которой линия действия \(\vec R\) пересекает отрезок A₁A₂. Треугольники, составленные из сил \(\vec F_<1>,\vec P_<1>,\vec Q_<1>\) и \(\vec F_<2>,\vec P_<2>,\vec Q_<2>\), подобны треугольникам BCA₁ и BCA₂, соответственно, поскольку их стороны параллельны (см. рис. 7.2 б). Поэтому

Найденную формулу можно сравнить с соотношением (5.2), выражающим правило рычага: чем больше сила F₁, тем ближе к точке ее приложения должна находиться точка C. Такая аналогия не случайна. Действительно, если у сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) есть равнодействующая \(\vec R\), то имеется и уравновешивающая \(\vec R’\), которую можно считать приложенной в той же точке C (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Аналогии с правилом рычага

Система \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\vec R’\) является уравновешенной. Из уравнений (4.3) следует, что сумма моментов этих сил относительно точки C равна нулю, т.е. F₁d₁ – F₁d₂ = 0. Но d₁ = A₁C cos α, d₂ = A₂C cos α, где α – угол между A₁A₂ и общим перпендикуляром к линиям действия сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\). Поделив обе части равенства F₁ d₁ = F₂ d₂ на cos α, мы и придем к равенствам (7.2).

Точка C, таким образом, играет роль неподвижного шарнира, в котором следует закрепить рычаг A₁A₂, чтобы он оставался в равновесии под действием внешних сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\). В качестве реакции шарнира надо рассматривать уравновешивающую \(\vec R’\).

Система из двух сонаправленных сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) имеет равнодействующую \(\vec R\), сонаправленную с ними. Ее модуль равен сумме исходных сил: R = F₁ + F₂, а положение ее линии действия между линиями действия исходных сил может быть определено по правилу рычага.

Найдем координаты точки C. Пусть A₁ и A₂ имеют радиус-векторы \(\vec r_<1>=\;y_<1>;z_<1>\>\) и \(\vec r_<2>=\;y_<2>;z_<2>\>\) относительно некоторого начала координат O. Как известно из курса аналитической геометрии, точка, делящая отрезок A₁A₂ в отношении λ, считая от A₁, имеет радиус-вектор

или, в координатной форме,

Замечание. Напомним, что точка C делит отрезок A₁A₂ в отношении λ, если она принадлежит прямой (не обязательно отрезку) A₁A₂ и \(\overrightarrowC>=\lambda\overrightarrow>\).

С другой стороны, из уравнения (7.2) следует, что точка C делит отрезок A₁A₂ в отношении λ = F₂/F₁, считая от вершины A₁. Подставляя это отношение в (7.3) и упрощая, получим окончательно:

В частности, при F₁ = F₂ из (7.4) следует, что \(\vec r_=(\vec r_<1>+\vec r_<2>)/2\). Тем самым, как и следовало ранее из соображений симметрии, равнодействующая двух сонаправленных одинаковых по модулю сил прикладывается посередине между точками приложения самих сил.

7.2. Сложение двух противоположно направленных сил

Рассуждая таким же образом, как и в предыдущем пункте, попробуем найти равнодействующую двух противоположно направленных сил \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\). Без ограничения общности будем предполагать, что F₁ ≤ F₂. Все дополнительные построения и обозначения аналогичны тем, что введены на рис. 7.2.

Линии действия сил \(\vec Q_<1>,\vec Q_<2>\) по-прежнему пересекаются в точке B, что дает возможность отложить силы \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) от этой точки и найти их равнодействующую \(\vec R=\vec F_<1>+\vec F_<2>\) (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Сложение двух противоположно направленных сил

За счет того, что \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) направлены противоположно, теперь модуль равнодействующей равен разности модулей исходных сил: R = F₂ – F₁. Вектор \(\vec R\) сонаправлен с \(\vec F_<2>\) (этот вектор имеет большую абсолютную величину).

При определении положения точки C можно по-прежнему использовать соотношение (7.1), но теперь эта точка находится вне отрезка A₁A₂ ближе к A₂ (в этом конце отрезка приложена большая по модулю сила). Таким образом, теперь C делит отрезок A₁A₂ в отрицательном отношении λ = –F₂/F₁, считая от вершины A₁. Подставив это значение в (7.3), найдем радиус-вектор точки приложения равнодействующей:

Можно считать, что вместо (7.5) по-прежнему справедлива формула (7.4), если одну из величин F₁ или F₂ считать отрицательной, принимая во внимание противоположную направленность сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\). При этом безразлично, какой именно величине, F₁ или F₁, приписать знак «–». В этом случае F₁ и F₁ будут уже не просто модулями \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\), а проекциями сил на ось, сонаправленную с одним из векторов.

Итак, аналогично случаю двух сонаправленных сил, можно утверждать:

Система из двух не равных по величине противоположно направленных сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) имеет равнодействующую \(\vec R\), сонаправленную большей по модулю силой. Модуль равнодействующей равен модулю разности исходных сил: R = |F₁ – F₂|. Положение ее линии действия можно определить по правилу рычага, но она находится вне области, заключенной между линиями действия \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\).

Оговорка о неравенстве сил по величине сделана не случайно, ее смысл поясняется ниже.

Выясним, что происходит с равнодействующей \(\vec R\) при различных соотношениях между F₁ и F₂. Если они равны по величине и знаку, то точка C, в которой приложена \(\vec R\), располагается в середине исходного отрезка A₁A₂, причем по модулю она будет в два раза больше, чем F₁ или F₂ (рис. 7.5 а).

Рис. 7.5. Равнодействующая при различных соотношениях между F₁ и F₂

Станем теперь уменьшать F₁. Это приведет к тому, что будет уменьшаться и R, а точка C станет смещаться по направлению к A₂ (рис. 7.5 б). При F₁ = 0 мы получим, что R = F₂, а из (7.4) следует, что в этом случае точки C и A₂ совпадут. Впрочем, этот результат очевиден и без использования формул: фактически, при F₁ = 0 на тело действует лишь сила F₂. Если теперь поменять знак у F₁ и тем самым «развернуть» \(\vec F_<1>\) в сторону, противоположную \(\vec F_<2>\), то C покинет отрезок A₁A₂ (рис. 7.5 в), а равнодействующая R окажется меньше, чем F₂. При увеличении абсолютной величины F₁ (с сохранением отрицательного знака) R продолжит уменьшаться, а C станет все больше и больше удаляться от A₂.

Возникает вопрос: что произойдет при |F₁| = |F₂|, т.е. в случае, когда силы \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) образуют пару?

С одной стороны, величина равнодействующей (если таковая существует) станет равной нулю. С другой стороны, подставив F₁ = –F₂ в формулу (7.4) или F₁ = F₂ в (7.5), мы окажемся перед необходимостью делить на нуль. Следовательно, невозможно определить местоположение точки C – она «улетает» на бесконечность. Отсюда вытекает, что

Ранее этот факт уже упоминался без доказательства.

7.3. Сложение трех и более параллельных сил

Пользуясь результатами предыдущих пунктов, попытаемся найти равнодействующую нескольких (более двух) параллельных сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_\), приложенных в точках, положения которых относительно начала координат O определяются радиус-векторами \(\vec r_<1>,\vec r_<2>,\ldots,\vec r_\). Проведем ось l, параллельную одной из этих сил, и обозначим проекции сил (но не их абсолютные величины!) на эту ось через F₁, F₂. F_n (рис. 7.6). Таким образом, \(F_=\pm|\vec F_|\) для всех номеров k.

Рис. 7.6. Система нескольких параллельных сил

Будем складывать силы попарно, аналогично тому, как ранее вычислялась равнодействующая сходящейся системы. В случае, когда сил всего три, рассуждения таковы. Сложив \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\), найдем их равнодействующую \(\vec R_<1,2>\). Ее проекция на ось l равна сумме проекций \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\), т.е. F₁ + F₂. Радиус-вектор \(\vec r_<1,2>\) точки приложения \(\vec R_<1,2>\) можно найти по формуле (7.4) с учетом знаков F₁ и F₂:

Итак, исходная система эквивалентна двум параллельным силам: \(\vec R_<1,2>\) и \(\vec F_<3>\), приложенным в точках с радиус-векторами \(\vec r_<1,2>\) и \(\vec r_<3>\), соответственно. Складывая их и упрощая выражения, найдем равнодействующую трех сил \(\vec R\), проекция которой на ось l составляет R = R_1,2 + F₃ = F₁ + F₂ + F₃, а радиус-вектор точки приложения C равен

Аналогично, для произвольного количества n сил получим

В координатной форме второе равенство можно переписать так:

Конечно, знаменатель дроби в формулах для определения \(\vec r_\) можно заменить просто на R.

Пример. Параллельные силы \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) и \(\vec F_<3>\) имеют проекции 5 Н, –4 Н и 7 Н на направление вектора \(\vec F_<1>\) и приложены в точках A₁(–1; 13; 6), A₂(6; –3; 5) и A₃(3; –3; 2), соответственно; все координаты даны в см. Найти равнодействующую этих сил и точку ее приложения.

Согласно первому из равенств (7.6), R = 5 – 4 + 7 = 8 Н. Тем самым, заданная система сил, действительно, имеет равнодействующую: R ≠ 0.

Вычислим координаты точки приложения найденной равнодействующей, используя (7.7):

x_C = (–1·5 + 6&middot(–4) + 3·7)/8 = –1 см, y_C = (13·5 – 3&middot(–4) – 3·7)/8 = 7 см, z_C = (6·5 + 5&middot(–4) + 2·7)/8 = 3 см.

Соотношения (7.6) и (7.7) справедливы, если сумма проекций всех параллельных сил на одну и ту же ось l отлична от нуля. В противном случае система приводится не к равнодействующей, а к паре, аналогично п. 7.2.

Как следует из второй аксиомы статики, равнодействующая системы параллельных сил – скользящий вектор. Поэтому ее необязательно прикладывать в точке C, определяемой из формул (7.6). Достаточно выбрать любую точку на прямой, проходящей через C и имеющей \(\vec R\) в качестве направляющего вектора. Поэтому, используя указанное выше соотношение, мы накладываем на точку приложения равнодействующей дополнительное ограничение.

Зато появляется другая «свобода маневра». Ось l проводится не произвольно, а «привязывается» к самим параллельным силам. Соответственно, величины F₁, F₂. F_n описывают лишь ориентацию этих сил относительно друг друга. Если все векторы \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_\) одновременно повернуть на один и тот же угол вокруг их точек приложения, то ось l повернется на тот же угол (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Поворот системы параллельных сил

Если система параллельных сил имеет равнодействующую, то ее величина и точка приложения не меняются при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол и не зависят от ориентации сил относительно неподвижной системы координат.

Такая точка C, что при любом одновременном повороте системы параллельных сил линия действия ее равнодействующей проходит через C, называется центром параллельных сил. Из вышесказанного следует, что координаты этого центра могут быть вычислены по формуле (7.6), если, конечно, существует сама равнодействующая.

В частности, если силы \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_\) сонаправлены, то равнодействующая заведомо существует, поскольку R = F₁+F₂+. +F_n > 0. Значит, существует и центр параллельных сил. Этот факт будет использован далее при нахождении центра тяжести твердого тела.

7.4. Распределенная нагрузка

Как уже было сказано в п. 1.1, силу (нагрузку) называют распределенной, если она приложена ко всем точкам некоторой линии, поверхности или объема. При проектировании различных механизмов, зданий и сооружений учет распределенных сил играет очень важную и даже решающую роль.

Пример 1. Одной из деталей двигателя внутреннего сгорания является поршень, размещаемый внутри цилиндра (рис. 7.8). При сгорании рабочая смесь воздуха и распыленного топлива в цилиндре расширяется и давит на поршень, толкая его. Это усилие передается на коленчатый вал, а от него – на оси колес автомобиля, что и заставляет их вращаться. Сила давления сгорающей смеси на поршень распределяется по площади его головки.

Рис. 7.8. Поршень с шатуном

Пример 2. Выпадающий снег может создавать значительное давление на крышу здания (рис. 7.9 а). Если эту снеговую нагрузку не учитывать, крыша может не выдержать и обрушиться (рис. 7.9 б).

Рис. 7.9. Снеговая нагрузка на крышу здания

Основная характеристика распределенной нагрузки – ее интенсивность (плотность, удельная нагрузка): сила, приходящаяся на единицу длины, площади или объема. Первые две величины называют также погонной нагрузкой и давлением, соответственно. В системе СИ интенсивность нагрузки измеряют в Н/м, Н/м 2 (паскалях – Па) и Н/м 3 в зависимости от того, распределена сила по длине, площади или объему.

Так, если давление p на участке поверхности площади S постоянно, то для вычисления суммарной силы F, действующей на этот участок, нужно умножить его площадь на давление: F = pS. После этого останется учесть направление приложенной силы (рис. 7.10).

Чтобы найти силу, действующую на всю поверхность (объем, длину), можно было бы умножить интенсивность нагрузки на общую площадь поверхности. Однако трудность заключается в том, что интенсивность распределенной нагрузки может быть не постоянной,а изменяться от точки к точке как по величине, так и по направлению.

Пример 1. При ходьбе босиком по песку пятка и пальцы оставляют более четкий след, чем остальная часть ступни (рис. 7.11). Это значит, что интенсивность нагрузки (в роли которой выступает вес человека), приходящейся на пальцы и пятку, выше.

Рис. 7.11. След на песке показывает, что вес человека распределен по его ступням неравномерно

Пример 2. Значительное влияние на устойчивость зданий и сооружений (особенно тех, что имеют большие размеры), оказывает ветровая нагрузка. Давление, создаваемое подвижными воздушными массами, изменяется от точки к точке и зависит от многих факторов: температуры, влажности и т.д. Ветровая нагрузка на сооружения может расчитываться с помощью ЭВМ. Кроме того, для моделирования такой нагрузки макеты сооружений могут обдуваться в аэродинамической трубе, подобно летательным аппаратам.

Часто можно предположить, что силы, приложенные во всех точках изучаемого объема (поверхности, линии) параллельны друг другу. Тогда можно попытаться найти их равнодействующую, пользуясь формулами (7.6).

Мы рассмотрим лишь простейшую ситуацию: силу, распределенную по прямолинейному отрезку. Будем предполагать, что силы, приложенные в разных точках, параллельны друг другу и перпендикулярны рассматриваемому отрезку. В этом случае наглядно представить интенсивность нагрузки можно с помощью специального графика – эпюры напряжений (рис. 7.12).

Рис. 7.12. Эпюра напряжений

Пусть нагрузка распределена по отрезку [a; b] оси Ox. Тогда величина погонной нагрузки p(x) в каждой конкретной точке зависит от координаты x этой точки. График функции p(x) и является искомой эпюрой.

Если выбрать на исходном отрезке [a; b] настолько мелкий участок Δx, что интенсивность нагрузки на его протяжении практически не успевает измениться, то суммарная сила ΔF, приложенная к этому участку, будет приближенно равна p(x)Δx (см. рис. 7.12). Значит, чтобы вычислить силу F, приложенную ко всему отрезку [a; b], надо разбить его на мелкие участки dx₁, dx₂. dx_n, внутри каждого из них выбрать точку (x₁, x₂. x_n, соответственно), приближенно вычислить силу, приложенную к этим участкам, а результаты сложить:

Действительно, силы, приложенные к разным участкам разбиения, параллельны друг другу (при введенных выше ограничениях), а значит, можно попытаться найти их равнодействующую по формуле (7.6). Чтобы определить координату точки приложения равнодействующей, используем равенство (7.7):

причем F вычисляется по формуле (7.8 а).

Конечно, результат вычислений в (7.8 а) и (7.8 б) будет тем точнее, чем мельче разбиение отрезка. В пределе, когда длины всех участков dx₁, dx₂. dx_n стремятся к нулю (а их количество, соответственно, к бесконечности), сумма (7.8 а) переходит в определенный интеграл, а выражение для x_C – в отношение двух интегралов:

Тем самым, суммарная нагрузка, приложенная к отрезку, представляет собой площадь криволинейной трапеции под графиком функции p(x).

Пример. Нагрузка распределена по отрезку [1; 4] с интенсивностью p(x) = –x 2 + 4x. Найти равнодействующую распределенных сил, приложенных к отрезку, и точку ее приложения.

Как и следовало ожидать для случая сонаправленных сил, точка приложения равнодействующей оказывается внутри отрезка: 1 ≤ 9/4 ≤ 4. Отметим, что p(1) = 3, p(4) = 0, так что правый конец отрезка не нагружен (рис. 7.13).

В наиболее простых случаях нагрузка распределяется по отрезку равномерно или линейно.

При равномерном распределении плотность p постоянна (рис. 7.14). В этом случае сосредоточенная равнодействующая равна произведению плотности на длину отрезка и прикладывается к его середине: F = p·(b–a), x_C = (a + b)/2.

Рис. 7.14. Равномерно распределенная нагрузка

Пример. Нагрузку, создаваемую железнодородным составом на рельсы, можно считать равномерно распределенной: на каждый метр железнодорожного полотна, находящийся под составом, приходится примерно равный вес груза.

При линейном распределении погонная нагрузка возрастает от 0 на одном конце отрезка до некоторого значения p_max на другом конце; значения нагрузки в промежуточных точках пропорциональны расстоянию до ненагруженного конца. Для простоты рассмотрим отрезок [0; l] и предположим, что его левый конец свободен от нагрузки (рис. 7.15).

Рис. 7.15. Линейно распределенная нагрузка

Тогда получим p(0) = 0, p(l) = p_max, p(x) = p_max x/l. Подставив a = 0, b = l, а также найденное выражение для p(x) в (7.9), найдем F = lp_max/2, x_C = 2l/3. Как и следовало ожидать, суммарная нагрузка равна площади прямоугольного треугольника с катетами p_max и l – именно такую фигуру ограничивает эпюра напряжений. Равнодействующая прикладывается на расстоянии, равном 2/3 длины отрезка, считая от ненагруженного конца.

Пример. Рассмотрим сваю, вертикально вбитую в дно водоема и испытывающую давление со стороны воды (согласно закону Паскаля, давление в жидкости не зависит от направления прилагаемого усилия, поэтому нельзя считать, что давление осуществляется только на горизонтальное дно водоема). Как известно из курса физики, указанное давление равно p = ρgz, где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, z – глубина, отсчитанная от свободной поверхности жидкости. Тем самым, интенсивность распределенной нагрузки линейно зависит от глубины z. Поэтому при замене распределенной нагрузки на сосредоточенную следует прикладывать равнодействующую на глубине, равной 2/3 глубины водоема (рис. 7.16).

Если силы, распределенные по объему (поверхности, линии) не параллельны, то можно по отдельности найти сосредоточенные равнодействующие \(\vec R_,\vec R_,\vec R_\) сил, параллельных каждой из координатных осей. В общем случае система \(\vec R_,\vec R_,\vec R_\) приводится не к равнодействующей, а к динаме.

Пример. Как уже говорилось, при жесткой заделке реактивная нагрузка распределяется по некоторой площади. При замене этой распределенной нагрузки на сосредоточенную возникает не только сила, но и реактивный момент.

Вопросы для самоконтроля

1. Доказать, что система двух сонаправленных сил всегда приводится к равнодействующей.
2. Доказать, что пара пара сил не имеет равнодействующей.
3. В п. 7.3 при нахождении равнодействующей трех параллельных сил сначала складывались силы \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\). Как быть, если они образуют пару (при этом сумма проекций всех трех сил на одну и ту же ось не равна нулю)?
4. Пусть три равные сонаправленные силы приложены в точках A₁, A₂, A₃, не лежащих на одной прямой. Доказать, что центр этих сил совпадает с точкой пересечения медиан треугольника A₁A₂A₃.
5. Вывести формулы для вычисления координат центра параллельных сил.
6. Как найти сосредоточенную равнодействующую распределенной системы сил, схематично изображенной на рис. 7.17?

Задачи к лекции

Даны четыре параллельные силы, проекции которых на направление одной из них составляют F₁ = 10 Н, F₂ = –7 Н, F₃ = –8 Н, F₄ = 3 Н. Первые три силы приложены в точках A₁(0; –4; 5), A₂(6; –3; 2), A₃(–3; 8; 4), а центр приложения всех четырех сил располагается в точке C(–3/2; 40; –31/2). Где приложена четвертая сила?

Горизонтальная балка AE длины 7 м находится под действием сосредоточенной силы \(\vec F\), приложенной в точке D, находящейся на расстоянии 1 м от точки E, а также нагрузки, распределенной по отрезкам AB = 2 м и BC = 3 м. Отрезок AB нагружен равномерно с интенсивностью p_max = 100 кН/м, отрезок BC – линейно (рис. 7.17). Величина силы \(\vec F\) составляет 50 кН. Определить реакции жесткой заделки в точке A. Найти координату точки приложения сосредоточенной равнодействующей всех перечисленных сил (за исключением реакции заделки). Весом балки пренебречь.

Ответы. 1. A₄(7; 1; 9). 2. X_A = 0, Y_A = 300 кН, m_A = 350 кН·м, x = 7/6 м. 3. Да.

Также рекомендуется решить задачи из §§3,4 [2]; РГР С1 [3].

Источник