Что значит прямо пропорциональные отрезки

Пропорциональные отрезки

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 313.

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 313.

Пропорциональные отрезки очень важны для определения подобия фигур. К тому же, правильно нареченные пропорционально рисунки помогают в правильном решении математических задач. Именно поэтому так важно разбираться в данной тематике.

Определение

Пропорциональными отрезками называются отрезки, у которых имеется постоянный коэффициент пропорциональности. Под коэффициентом пропорциональности понимается отношение длин отрезков.

Рис. 1. Пропорциональные отрезки.

Согласно определению пропорциональных отрезков, два отрезка всегда пропорциональны между собой, поскольку их длины не меняются со временем. Значит, не меняется и коэффициент пропорциональности.

Несмотря на это, чаще всего под пропорциональными отрезками понимают отрезки с коэффициентом кратным 0,5. Например, отрезки с коэффициентом 2,5, 1,5, 2 и тому подобные.

Пропорциональными будут являться и отрезки, составляющие подобные фигуры. Это действует в обе стороны. Если фигуры подобны, то их стороны пропорциональны, если все стороны пропорциональны, то фигуры подобны.

Подобные фигуры

Нужно понимать, что подобными фигурами могут быть не только треугольники, но вообще любые фигуры в геометрии, если все углы этих фигур равны, а длины сторон пропорциональны.

Рис. 2. Подобные фигуры.

Но при этом признаки подобия существуют только для треугольников. Их всего 3:

• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пропорциональными могут быть только отрезки, как объекты имеющие длину. Прямая или луч бесконечны, а потому не могут быть подобными.

Пример

Решим небольшую задачу на пропорциональность отрезков. Имеется 3 пропорциональных отрезка. Каждый из которых больше предыдущего. Первый отрезок равен 5, третий 20. Необходимо найти длину второго отрезка.

Отрезки пропорциональны, значит отношение больших к меньшим будет постоянным. Обозначим неизвестны отрезок за х и решим уравнение.

Перенесем выражение из правой части в левую. Приведем получившееся выражение под один знаменатель и решим дробно-рациональное уравнение.

$х^2=100$ – х может являться положительным или отрицательным числом , но отрезок не может иметь отрицательную длину, значит х=10.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое пропорциональные отрезки. Выделили области, где могут быть применены навыки обращения с пропорциональными длинами и привели пример на заданную тему.

Источник

Прямая и обратная пропорциональность

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

• Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
• Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Зависимости также можно классифицировать по формам: функциональная и статистическая.

Функциональная зависимость между двумя переменными величинами характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне определенное и единственное значение другой.

В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y = f(x), где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.

Статистическая зависимость — это зависимость случайных величин, когда изменение одной переменной приводит к изменению другой.

Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные корреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

• Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
• Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

• при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
• периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
• стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия.

Например, при k = 2 график выглядит так:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

1. Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
2. Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
3. Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

• х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
• х = 1 * 30 : 12/8
• х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

• время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
• при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
• количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола.

Свойства функции обратной пропорциональности:

1. Область определения — множество всех действительных чисел, кроме x = 0.

Область значений — все действительные числа, кроме y = 0.

Не имеет наибольших и наименьших значений.

Является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.

Непериодическая.

Ее график не пересекает оси координат.

Не имеет нулей.

Если k > 0 (аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные — (0; +∞). При убывании аргумента (k

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

Источник

Что такое пропорциональные отрезки

Теорема . Если на одной стороне угла отметить отрезки равной длины и провести несколько параллельных прямых через их концы, то эти прямые на другой стороне высекают также равные отрезки.

Доказательство. Пусть на одной стороне угла А отмерены отрезки PQ и RS, которые равны между собой. Через концы этих отрезков провели прямые, которые параллельны между собой и которые пересекают вторую сторону угла А в точках Р₁, Q₁, R₁, S₁. Докажем, что отрезки Р₁Q₁ и R₁S₁ равны.

Через точки Р и R проведем прямые, параллельные другой стороне угла, которые пересекают прямые QQ₁ и SS_l в точках М и N соответственно.

Треугольники PQM и RSN равны, так как их стороны PQ и RS равны по условию, углы PQM и RSN равны как соответственные при параллельных QQ₁ и SS₁, пересеченных прямой AS, углы QPM и SRN равны как соответственные при параллельных РМ и RN, пересеченных прямой AS. Поэтому соответствующие стороны РМ и RN этих треугольников одинаковые.

Эта теорема называется теоремой Фалеса.

Фалес Милетский (около 625—547 до н. э.) — философ, математик и астроном, который, как считают, был первым греческим геометром.

Теорема. Если от вершины угла отложить последовательно равные друг другу отрезки на одной его стороне и на другой стороне также равные друг другу отрезки, то прямые, проходящие через соответствующие концы отложенных отрезков, параллельны.

Доказательство. Пусть на одной стороне угла С от его вершины отмечены отрезки СМ и MN равной длины, на другой стороне — отрезки CP и PQ равной длины.

Докажем, что прямые MP и NQ параллельны. Через точку N проведем прямую, которая будет параллельна прямой MP. Пусть эта прямая пересекает сторону CP в точке Q₁. Тогда, по теореме Фалеса, PQ_l = СР. Но в соответствии с условием CP = PQ. Поэтому PQ_l = PQ, а это означает, что точки Q₁ и Q совпадают. Значит, прямая NQ_l совпадает с прямой NQ, и поэтому прямая NQ параллельна прямой MP.

Теорему Фалеса можно обобщить на так называемые пропорциональные отрезки.

Пары отрезков (АВ, EF) и (MN, PQ) называют пропорциональными отрезками, если отношение отрезков одной пары равно отношению отрезков другой пары, т. е. AB/EF = MN/PQ.

Теорема. Если стороны угла пересечены тремя прямыми, которые друг другу параллельны , то отношение отрезков, которые образуются на одной из сторон угла, совпадает с отношением соответствующих отрезков, образованных на второй стороне угла.

Эта теорема позволяет утверждать, что если даны угол А и прямая р, то любая пара прямых, которые параллельны прямой р, отсекают на сторонах угла два отрезка, отношение длин которых постоянно и определяется только направлением прямой р.

Теорема. Если от вершины угла отложить последовательно на одной его стороне два отрезка, а на другой стороне два пропорциональных им отрезка, то прямые, проходящие через соответствующие концы отложенных отрезков, параллельны.

Теорема. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Как разделить отрезок на n равных частей можно, обратившись к администратору Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. . Также совершенно бесплатно мы расскажем вам как разделить отрезок в отношении m/n или как построить четвертый отрезок, пропорциональные первым трем данным.

Источник