Что значит противоположные грани у кубика

Что значит противоположные грани у кубика

ПРЯМАЯ ПРИЗМА. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

1. Построение модели куба.

На чертеже 286 изображена выкройка, или, как её принято называть, развёртка геометрического тела. Она состоит из шести равных квадратов. Если эту развёртку согнуть надлежащим образом по указанным на чертеже пунктирным линиям, то мы получим геометрическое тело, называемое кубом.

Под номером 287 дан чертёж куба, а под номером 288 дан рисунок куба. Куб ограничен шестью равными квадратами, которые называются его гранями.

На рисунке видны только три его грани, а на чертеже можно видеть все шесть граней. Любые две противоположные грани куба называются его основаниями, тогда остальные четыре его грани называются боковыми гранями; отрезки, которые получаются при пересечении граней куба, называются его рёбрами. У куба 12 рёбер. Все они равны между собой.При пересечении трёх граней куба образуются точки, которые называются его в е р ш и н а м и. У куба 8 вершин.

2. Взаимное положение рёбер и граней куба.

Противоположные грани куба параллельны. Плоскости, в которых лежат эти грани, не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Параллельные плоскости мы наблюдаем на многих окружающих нас предметах; например, плоскости пола и потолка в комнате параллельны.
В кубе можно наблюдать и пересекающиеся плоскости. Пересекаясь, плоскости образуют двугранные углы. Модель двугранных углов можно получить, сгибая лист картона или бумаги по прямой линии.

Двугранные углы можно получить острые, прямые и тупые. Грани куба пересекаются под прямым углом. Под прямым углом пересекаются также стены в комнате, стены и потолок, стены и пол. Плоскости, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными. Перпендикулярность плоскостей проверяется с помощью угольника. На чертеже 289 плоскости при пересечении образуют прямой угол. На чертеже 290 и на чертеже 291 показаны плоскости, которые при пересечении не образуют прямого угла; в первом случае они пересекаются под острым углом, во втором случае — под тупым.

Рёбра куба, находящиеся на одной грани (черт. 287), или пересекаются под прямым углом (ЕА _|_ АВ, КС _|_ ВС и т. д.), или параллельны (ЕF || АВ, ВС || КF и т. д.).

3. Скрещивающиеся прямые.

Рёбра куба, например КС и АВ (черт. 287), не параллельны, но и не пересекутся, сколько бы их ни продолжать. Прямые, которые не параллельны и не пересекаются, называются скрещивающимися. Легко получить модели скрещивающихся прямых. Например, две иглы, из которых одна положена на стол, а другая воткнута в стол так, что не пересекает первую, представляют собой модель двух скрещивающихся прямых (черт. 292). Эти две прямые не пересекаются и не параллельны; легко убедиться, что через них нельзя провести плоскость.

Точно так же, если взять две дощечки, поместить их параллельно друг другу и затем на одну из них положить палочку в направлении, например, с юга на север, а на другую — в направлении с запада на восток, то эти две палочки образуют модель скрещивающихся прямых (черт. 293).

Эти две прямые тоже не пересекаются, не параллельны, и через них также нельзя провести плоскость.

Найдите модели скрещивающихся прямых на окружающих предметах, например, в классной комнате.

4. Прямая, перпендикулярная к плоскости.

Рассматривая куб (черт. 287), заметим, что ребро FВ образует прямые углы с рёбрами ВС и АВ, лежащими на нижнем основании куба. Это же ребро FВ образует прямые углы с любой прямой, проведённой в плоскости основания куба через точку В. Ребро FВ является перпендикуляром к плоскости основания куба.

Перпендикуляром к плоскости называется прямая, которая пересекает плоскость в какой-нибудь точке и перпендикулярна к любой прямой, проведённой в этой плоскости через ту же точку.

Чтобы провести перпендикуляр к плоскости, берут два чертёжных треугольника и ставят их так, чтобы два катета лежали на плоскости, как показано на чертеже 294, а другую пару катетов совмещают. Эти два катета и образуют перпендикуляр к данной плоскости.

На чертеже 294 прямая АВ перпендикулярна к плоскости Р.

Перпендикулярность прямой АВ к плоскости Р легко проверить: для этого надо взять ещё один чертёжный треугольник и несколько раз в различных положениях приложить его к двум первым треугольникам так, чтобы его катет всякий раз совмещался с катетом АВ. Тогда другой катет третьего треугольника всё время будет находиться в плоскости Р. Значит, можно считать проверенным, что прямая АВ образует прямые углы с любой прямой, проведённой на плоскости через её основание, т. е. является перпендикуляром к плоскости.

Таким образом, мы приходим к выводу: если прямая, пересекающая плоскость в какой-нибудь точке О, перпендикулярна к двум прямым, проведённым на плоскости через точку О, то эта прямая перпендикулярна к плоскости.

Этот вывод является признаком перпендикулярности прямой к плоскости.

Через любую произвольно взятую точку можно провести перпендикуляр к данной плоскости, но только один.

Длина перпендикуляра, опущенного из какой-нибудь точки на плоскость, называется расстоянием от этой точки до плоскости.

5. Площадь поверхности куба.

Чтобы вычислить площадь поверхности куба, достаточно вычислить площадь одной его грани и полученное число помножить на 6. Если ребро куба обозначить через а, то площадь поверхности одной его грани будет равна а 2 , а площадь всей поверхности куба (полная поверхность) составит 6а 2 .

S = 6а 2 , где S — площадь полной поверхности куба.

Площадь поверхности его оснований составит 2а 2 . Площадь поверхности боковых его граней составит 4а 2 .

1. Ребро куба равно 8 см (10 см, 12 см, 20 см). Вычислить площадь всей его поверхности; площадь оснований; площадь его боковой поверхности.

2. Площадь полной поверхности куба равна 150 кв. см (600 кв. см, 216 кв. см, 864 кв. см). Вычислить длину его ребра.

3. Площадь боковой поверхности куба равна 100 кв. см (64 кв. см, 324 кв. см, 576 кв. см). Вычислить площадь его полной поверхности.

4. Сделать из плотной бумаги модель куба, ребро которого равно 8 см.

Указание. Для того чтобы полученное геометрическое тело сохраняло свою форму, у развёртки куба необходимо сделать небольшие закраины (черт. 295). Если их подклеить, они составят каркас, который придаст необходимую жёсткость модели.

5. Сколько потребуется белил для окраски с обеих сторон бака (без крышки), имеющего форму куба с ребром в 80 см, если на окраску 1 кв.м требуется белил 0,25 кг?

Источник

Что значит противоположные грани у кубика

Вопрос по математике:

Обьясните противоположные грани куба 3 кл

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

Источник

Y-метод — действительно простой способ собрать кубик Рубика

Введение

В статье рассматривается «Y-метод» сборки кубика Рубика — его легко понять и запомнить. Он основан всего на одной последовательности, которая называется «Y-движение». Поняв этот алгоритм, вы навряд ли забудете как собрать кубик самостоятельно.

Если попытаться нагуглить инструкцию по сборке кубика Рубика, то найдётся много вариантов с описанием «простой сборки», в том числе на википедии. Которые, в целом, действительно достаточно простые к пониманию, но обладают существенным недостатком. Для того, чтобы собрать кубик, нужно знать порядка пяти или более нетривиальных последовательностей (алгоритмов) для перестановки отдельных кубиков, для сборки кубика Рубика по слоям. В связи с чем запомнить и воспроизвести самостоятельно эти инструкции затруднительно. Недавно я случайно наткнулся на упоминание алгоритма «The Ultimate Solution to Rubik’s Cube», о котором утверждалось, что его легко запомнить и понять, и в нём используются всего две последовательности. А когда стал выяснять подробнее, то нашёл также и другой алгоритм — «Y-метод», тоже простой и использующий всего одну последовательность.

К сожалению, описания данного алгоритма на русском я не нашёл, поэтому я решил восполнить этот пробел. Также мне кажется, что главное в этом методе ­— понимание того как он работает. Поэтому тут я не предлагаю готовых наборов движений для конкретных ситуаций, а вместо этого я постарался подробнее описать что происходит.

Картинки в данной статье сгенерированы с помощью инструмента на сайте ruwix.com. Ссылки на картинках откроют этот инструмент с параметрами, соответствующими картинке. Это либо описываемое состояние кубика и вы сможете его повертеть мышкой, или, в некоторых случаях, там заданы описываемые движения, которые можно «проиграть» туда-обратно.

Y-движение

Основу данного алгоритма составляет Y-движение. И довольно важная составляющая алгоритма — это разобраться в механике этого движения.

Данная последовательность поворотов так называется из-за того, что кубики, которые она затрагивает, выглядят как буква «Y», составленная тремя рёбрами, выходящими из одного угла кубика.

Y-движение довольно простое и состоит из четырёх поворотов двух смежных граней, например правой и передней. В распространённой нотаци поворотов для кубика Рубика это выглядит так: R’ F R F’. Что можно описать следующим образом:

1. правая грань против часовой стрелки на четверть оборота
2. передняя грань по часовой стрелке на четверть оборота
3. правая грань по часовой стрелке на четверть оборота
4. передняя грань против часовой стрелки на четверть оборота

То есть грани сначала по очереди поворачиваются «на себя», а потом в обратном порядке «от себя».

Назовём этот вариант «правым Y-движением» (т.к. поворачивается сначала грань справа). В этом случае меняется положение кубиков на ребре, общем у данных граней и на верхних рёбрах. Если начинать повороты с передней грани, то будут затронуты те же самые кубики, такой вариант мы будем называть «левым Y-движением» (т.к. поворачивается сначала грань слева).

Также можно начинать с поворотов «от себя» — это будет то же самое, если бы мы перевернули кубик и начинали с поворотов «на себя», поэтому назовём такие варианты «правым и левым перевёрнутым Y-движением». При перевёрнутых Y-движениях будет также затронуто смежное ребро, а также уже не верхние, а нижние рёбра, соседние с ним.

Принципиальной разницы во всех этих движениях, конечно же, нет. Такое разнообразие нужно исключительно для удобства.

Перечислим некоторые свойства Y-движений:

• Правое и левое Y-движения обратны друг другу, т.е. последовательность правого и левого или левого и правого движений не изменят состояния кубика.
• Одно Y-движение приводит к тому, что меняются местами в паре два угловых кубика на смежной грани и два других угловых кубика. А три кубика находящиеся посередине рёбер (рёберные) перемещаются по кругу.
• Как можно догадаться, после двух движений угловые кубики возвращаются на свои места. Но при этом они оказываются повёрнутыми.
  
• И если выполнить три раза по два движения, то кубики повернутся три раза и в результате вернутся в исходное состояние.
• Рёберные кубики возвращаются в исходное состояние после цикла из трёх движений.
  
• Таким образом, если выполнить Y-движение шесть раз подряд, то состояние кубика вернётся в изначальное.
• После одного Y-движения рёберные кубики перемещаются в направлении первого поворота, при этом два кубика как бы поворачиваются вдоль соответствующих граней (вокруг их оси), а третий также поворачивается, но при этом переворачивается. Переворачивается тот кубик, который перемещается между верхними рёбрами, в случае обычного (не перевёрнутого) Y-движения. При работе с рёберными кубиками Y-движение вдоль одних и тех же рёбер можно производить повернув кубик в разных направлениях, тем самым добиваясь переворота нужного нам кубика.

Последовательность сборки кубика

Сначала собираются два нижних слоя кубика за исключением одного вертикального ребра, проходящего через эти слои. Это место мы оставляем себе как пространство для манёвра. Нижний крест и нижние угловые кубики собираются довольно просто, но если есть затруднения, то не так сложно приспособить Y-движение для этого или посмотреть одну из инструкций для простой послойной сборки кубика.

Далее нужно собрать средние кубики на вертикальных рёбрах (рёберные). Для этого нужно повернуть верхнюю грань с нужным кубиком, чтобы он оказался на одной из соседних с целевым ребром граней. А также временно (не забываем потом вернуть на место) повернуть нижнюю грань, чтобы на месте целевого ребра оказался кубик, который мы специально оставили несобранным. Теперь можно воспользоваться Y-движением, чтобы переместить кубик с верхней грани на нужное нам место. Y-движение нужно делать такое, чтобы этот рёберный кубик повернулся в нужном направлении в сторону ребра и если нужно, то перевернулся.

Если нужный кубик не находится на верхней грани, то нужно его предварительно, также Y-движением, «освободить» оттуда, не забывая опять же подставить несобранный угол на нижней грани.

Пока что мы собрали два нижних слоя без одного ребра. Далее нам нужно будет собрать два рёберных кубика на верхних рёбрах, которые не граничат с тем, что мы специально не собираем. После этого из рёберных кубиков останется только три несобранных, на рёбрах, которые формируют букву «Y»: вертикальное, которое мы не собирали, и два верхних ребра, соседних с ним.

И, конечно же, мы собираем их с помощью одного или нескольких Y-движений, переворачивая и ставя на нужные места. Тут только нужно учесть один момент с количеством перестановок, который описан чуть ниже.
При сборке последних пяти рёберных кубиков нам может понадобиться развернуть эту букву «Y», чтобы сделать Y-движение в другом направлении (поворачивая другие грани вдоль этих рёбер), таким образом добиваясь перемещения нужных нам кубиков на другие места с переворотом или без него.

К этому моменту у нас будет почти собранный кубик, в котором не собраны только угловые кубики на верхней грани и на вертикальном ребре, которое мы не собирали. Описанными ниже методами сначала переставляем углы друг с другом, чтобы они оказались на своих местах, возможно неправильно ориентированные. А потом разворачиваем их.

Ура, наш кубик собран!

Считаем перестановки

На что же нужно обратить внимание когда мы собираем пять последних рёберных кубиков. Когда их останется только три, то чтобы у всё получилось с перестановкой их в пределах буквы «Y», нужно чтобы либо они все находились на своих местах (возможно перевёрнутые) или же все были не на своих местах. Это связано с тем, что Y-движение переставляет три рёберных кубика одновременно. Если рассмотреть это с точки зрения попарных обменов кубиков местами на соседних рёбрах, то происходит два обмена (перестановки). Теперь должно быть понятно почему в случае, когда у нас ровно два кубика не на своих местах, то мы не сможем их собрать. Т.к. нам нужно совершить одну перестановку, а с помощью Y-движений мы можем сделать только чётное число перестановок.

Что же делать в таком случае? Обратим внимание, что если повернуть грань кубика, то мы поменяем местами одновременно четыре рёберных кубика, что будет эквивалентно трём перестановкам, т.е. нечётному числу, что нам и нужно. Из этого следует, что верхняя грань должна быть правильно ориентирована для того, чтобы мы могли собрать последние три рёберных кубика. Если так вышло, что последние три рёберных кубика требуют одной перестановки, то это значит, что нужно переставить на соседние места два рёберных кубика, уже собранные на верхней грани.

Кроме того, мы можем заранее, до сборки первых двух кубиков из этой пятёрки, подсчитать число перестановок, которые потребуются, чтобы поставить все пять рёберных кубиков на свои места. Если это число чётное, то верхняя грань ориентирована правильно. А если нечётное, то её нужно повернуть один раз в любую сторону. Таким образом, мы сразу сможем поставить те два кубика на нужные места.

Работа с угловыми кубиками

На последнем этапе сборки нам нужно переставлять угловые кубики местами и поворачивать их. Для этого воспользуемся перечисленными ранее свойствами Y-движения в отношении угловых кубиков. Т.к. удобнее работать с угловыми кубиками, расположенными на верхней грани, то для этого нам больше подойдёт перевёрнутое Y-движение (начинается с поворота «от себя»). В этом разделе будет использоваться именно эти варианты, без дополнительного уточнения. Обратим сразу внимание, что это движение меняет состояние только одного кубика на верхней грани — это угловой кубик на «смежном ребре».

Для перестановки угловых кубиков заметим, что одиночное Y-движение (как левое, так и правое) меняет местами пару угловых кубиков на «смежном ребре», а также что последовательное применение левого и правого Y-движения (или правого и левого) возвращает весь кубик в исходное состояние. Давайте подумаем, что произойдёт, если между этими движениями мы повернём верхнюю грань. Как мы уже обратили внимание, на верхней грани меняется только один угловой кубик, который переставляется с парным кубиком на ребре. В таком случае у нас произойдёт два обмена угловыми кубиками на ребре, но каждый раз сверху будет подставлен разный угол, а все остальные кубики останутся как были (конечно, нужно ещё не забыть повернуть верхнюю грань в исходное состояние). Таким образом, мы осуществили обмен местами трёх угловых кубиков — одного с нижней грани и двух с верхней.

Теперь разберёмся с поворотом кубиков. Для этого воспользуемся похожим трюком. Будем делать два последовательных Y-движения в одном направлении. В результате этого угловые кубики остаются на месте, но меняют свою ориентацию. Тут нас интересуют два варианта комбинации движений: три двойных движения в одном направлении (левые или правые) или двойное движение в одном направлении и двойное движение в обратном направлении. В каждом из этих вариантов весь кубик возвращается в исходное состояние. И мы опять будем между двойными движениями подставлять очередной нужный нам угол на место верхнего угла «смежного ребра». Таким образом мы можем повернуть либо три угловых кубика на одной грани в одном направлении, либо два угловых кубика на одной грани в разных направлениях, не меняя состояния остальных кубиков. Обратим внимание, что после двойного движения верхний кубик смежного ребра поворачивается в том же направлении, в котором осуществляется первое Y-движение.

Источник