Что значит производные величины

ПРОИЗВОДНАЯ ВЕЛИЧИНА

физическая — физ. величина в нек-рой системе величин, определяемая через другие, ранее введённые величины этой системы. Примеры образования производных величин (в системе величин lmt): скорость v постулат, движения определяется по модулю ф-лой v = ds/dt, где s — путь и t — время; сила F, прилож. к материальной точке, определяется по модулю ур-нием F = m*a, где m — масса точки, а — ускорение, вызванное действием силы F.

Большой энциклопедический политехнический словарь . 2004 .

Смотреть что такое «ПРОИЗВОДНАЯ ВЕЛИЧИНА» в других словарях:

Производная величина — величина, определенная через основные величины системы;. Источник: Постановление Правительства РФ от 31.10.2009 N 879 Об утверждении Положения о единицах величин, допускаемых к применению в Российской Федерации … Официальная терминология

производная величина — (МСЭ Т Х.1081). [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN derived quantity … Справочник технического переводчика

производная величина — išvestinis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. derived quantity vok. abgeleitete Größe, f rus. производная величина, f pranc. grandeur dérivée, f … Automatikos terminų žodynas

производная величина — išvestinis dydis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tam tikros dydžių sistemos dydis, išreikštas šios sistemos pagrindinių dydžių funkcija. pavyzdys( iai) Greitis, išreikštas ilgio ir laiko dalmeniu, yra išvestinis dydis… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

производная величина — išvestinis dydis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. derived quantity vok. abgeleitete Größe, f rus. производная величина, f pranc. grandeur dérivée, f … Fizikos terminų žodynas

производная физическая величина — производная величина Физическая величина, входящая в систему величин и определяемая через основные величины этой системы. Примеры производных величин механики системы LMT: скорость v поступательного движения, определяемая (по модулю) уравнением v … Справочник технического переводчика

ПРОИЗВОДНАЯ — ПРОИЗВОДНАЯ, скорость изменения величины математической функции относительно изменений независимой переменной. Производная является выражением одномоментного изменения значения функции f(x) в точке х и определяется соотношением [f(x+h) f(x)]/h с… … Научно-технический энциклопедический словарь

Величина (физика) — Физическая величина это количественная характеристика объекта или явления в физике, либо результат измерения. Размер физической величины количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, системе,… … Википедия

Производная (физическая) величина — 1. Величина, входящая в систему физических величин и определяемая через основные величины этой системы Употребляется в документе: ОСТ 45.159 2000 Отраслевая система обеспечения единства измерений. Термины и определения … Телекоммуникационный словарь

Основная физическая величина — 2.7. Основная физическая величина Основная величина D. Basisgrofie E. Fundamental physical quantity F. Grandeur physique de base 2.8. Производная физическая величина Производная величина D. Abgeleitete Grofie E. Derived… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Производные величины

Производная величина — величина, которая в системе величин определена через основные величины[4].

Производная единица — единица измерения для производной величины[4].

Все величины, не являющиеся в СИ основными являются производными и могут быть выражены через основные. Например, метр в секунду, обозначение м/с являются производными единицами скорости в СИ.

Размерность величины — выражение зависимости величины от ос­новных величин системы величин в виде произведения степеней сомножителей, соот­ветствующих основным величинам, в кото­ром численные коэффициенты опущены[4].

Таблица 2. Примеры производных единиц и величин

Уравнение связи между величинами — математическое соотношение между вели­чинами в данной системе величин, не зависящее от единиц измерения[4].

Например Т= (1/2)mν 2 , где Т — кинети­ческая энергия и ν — скорость конкретной частицы с массой m.

Некоторые производные единицы в СИ имеют специальные названия.

Таблица 3. Производные единицы СИ, имеющие специальные названия

В настоящее время система СИ является основной. Даже в тех странах, где применяются традиционные единицы измерения, например, фут, ярд, дюйм и т.п., в настоящее время эти единицы привязаны к соответствующим единицам того же рода в системе СИ. Однако существует целый класс единиц, которые, хотя и не входят в систему СИ, тем не менее применяются и в силу культурных причин, традиций и т.п., скорее всего будут применяться и дальше. При использовании таких единиц следует переводные множители между ними и единицами системы СИ.

Примечание: Интересна история появления английской меры длины ярд. Сейчас метрический ярд равен трём метрическим футам (36 дюймам) или 0,9144 метра. Существует несколько версий происхождения названия и величины ярда. Большая мера длины, названная ярдом, была введена английским королем Эдгаром (959—975) и равнялась расстоянию от кончика носа Его Величества до кончика среднего пальца вытянутой в сторону руки. Как только сменился монарх, ярд стал иным — удлинился, так как новый король был более крупного телосложения, чем его предшественник. Затем, при следующей смене короля, ярд снова стал короче. Такие частые изменения единицы длины вносили неимоверную путаницу. По другим версиям ярд — окружность талии монарха или длина его меча. Король Генрих I (1100—1135) узаконил постоянный ярд и приказал изготовить из вяза эталон. Этим ярдом в Англии пользуются до сих пор (длина его равна 0,9144 м). Ярд делился на 2, 4, 8 и 16 частей, называемых соответственно полу-ярд, пядь, палец и ноготь.

Помимо единиц, входящих в систему СИ для удобства и в силу сложившихся традиций используется и ряд внесистемных единий.

Источник

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

• 4 июня 2021 г.
• 9 минут
• 617 810
• 15

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Таблица производных. Доказательство формул

Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.

Константа y = C

Степенная функция y = x p

( x p ) ‘ = p · x p — 1

Показательная функция y = a x

( a x ) ‘ = a x · ln a

В частности, при a = e имеем y = e x

Логарифмическая функция

( log a x ) ‘ = 1 x · ln a

В частности, при a = e имеем y = ln x

Тригонометрические функции

( sin x ) ‘ = cos x ( cos x ) ‘ = — sin x ( t g x ) ‘ = 1 cos 2 x ( c t g x ) ‘ = — 1 sin 2 x

Обратные тригонометрические функции

( a r c sin x ) ‘ = 1 1 — x 2 ( a r c cos x ) ‘ = — 1 1 — x 2 ( a r c t g x ) ‘ = 1 1 + x 2 ( a r c c t g x ) ‘ = — 1 1 + x 2

Гиперболические функции

( s h x ) ‘ = c h x ( c h x ) ‘ = s h x ( t h x ) ‘ = 1 c h 2 x ( c t h x ) ‘ = — 1 s h 2 x

Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.

Производная постоянной

Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x 0 = x , где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f ( x ) = C . Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆ x → 0 :

lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 C — C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0 ∆ x . Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.

Итак, производная постоянной функции f ( x ) = C равна нулю на всей области определения.

Даны постоянные функции:

f 1 ( x ) = 3 , f 2 ( x ) = a , a ∈ R , f 3 ( x ) = 4 . 13 7 22 , f 4 ( x ) = 0 , f 5 ( x ) = — 8 7

Необходимо найти их производные.

Решение

Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3 . В следующем примере необходимо брать производную от а , где а — любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4 . 13 7 22 , четвертый — производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби — 8 7 .

Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)

f 1 ‘ ( x ) = ( 3 ) ‘ = 0 , f 2 ‘ ( x ) = ( a ) ‘ = 0 , a ∈ R , f 3 ‘ ( x ) = 4 . 13 7 22 ‘ = 0 , f 4 ‘ ( x ) = 0 ‘ = 0 , f 5 ‘ ( x ) = — 8 7 ‘ = 0

Производная степенной функции

Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: ( x p ) ‘ = p · x p — 1 , где показатель степени p является любым действительным числом.

Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p = 1 , 2 , 3 , …

Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

( x p ) ‘ = lim ∆ x → 0 = ∆ ( x p ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ( x + ∆ x ) p — x p ∆ x

Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:

( x + ∆ x ) p — x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p — 1 · ∆ x + C p 2 · x p — 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + + C p p — 1 · x · ( ∆ x ) p — 1 + C p p · ( ∆ x ) p — x p = = C p 1 · x p — 1 · ∆ x + C p 2 · x p — 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + C p p — 1 · x · ( ∆ x ) p — 1 + C p p · ( ∆ x ) p

( x p ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( x p ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ( x + ∆ x ) p — x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 · x p — 1 · ∆ x + C p 2 · x p — 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + C p p — 1 · x · ( ∆ x ) p — 1 + C p p · ( ∆ x ) p ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 · x p — 1 + C p 2 · x p — 2 · ∆ x + . . . + C p p — 1 · x · ( ∆ x ) p — 2 + C p p · ( ∆ x ) p — 1 ) = = C p 1 · x p — 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · ( p — 1 ) ! · x p — 1 = p · x p — 1

Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.

Чтобы привести доказательство для случая, когда p — любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.

Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.

Итак, x > 0 . Тогда: x p > 0 . Логарифмируем равенство y = x p по основанию e и применим свойство логарифма:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:

( ln y ) ‘ = ( p · ln x ) 1 y · y ‘ = p · 1 x ⇒ y ‘ = p · y x = p · x p x = p · x p — 1

Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.

Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x 0 , причем является четной: y ( x ) = — y ( ( — x ) p ) ‘ = — p · ( — x ) p — 1 · ( — x ) ‘ = = p · ( — x ) p — 1 = p · x p — 1

Тогда x p 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x 0 , причем является нечетной: y ( x ) = — y ( — x ) = — ( — x ) p . Тогда x p 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y ‘ ( x ) = ( — ( — x ) p ) ‘ = — ( ( — x ) p ) ‘ = — p · ( — x ) p — 1 · ( — x ) ‘ = = p · ( — x ) p — 1 = p · x p — 1

Последний переход возможен в силу того, что если p — нечетное число, то p — 1 либо четное число, либо нуль (при p = 1 ), поэтому, при отрицательных x верно равенство ( — x ) p — 1 = x p — 1 .

Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p .

f 1 ( x ) = 1 x 2 3 , f 2 ( x ) = x 2 — 1 4 , f 3 ( x ) = 1 x log 7 12

Определите их производные.

Решение

Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y = x p , опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:

f 1 ( x ) = 1 x 2 3 = x — 2 3 ⇒ f 1 ‘ ( x ) = — 2 3 · x — 2 3 — 1 = — 2 3 · x — 5 3 f 2 ‘ ( x ) = x 2 — 1 4 = 2 — 1 4 · x 2 — 1 4 — 1 = 2 — 1 4 · x 2 — 5 4 f 3 ( x ) = 1 x log 7 12 = x — log 7 12 ⇒ f 3 ‘ ( x ) = — log 7 12 · x — log 7 12 — 1 = — log 7 12 · x — log 7 12 — log 7 7 = — log 7 12 · x — log 7 84

Производная показательной функции

Выведем формулу производной, взяв за основу определение:

( a x ) ‘ = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x — a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x ( a ∆ x — 1 ) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x — 1 ∆ x = » open=» 0 0

Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z = a ∆ x — 1 ( z → 0 при ∆ x → 0 ). В таком случае a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a ( z + 1 ) = ln ( z + 1 ) ln a . Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.

Осуществим подстановку в исходный предел:

( a x ) ‘ = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x — 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln ( z + 1 ) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln ( z + 1 ) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 ( z + 1 ) 1 z

Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:

( a x ) ‘ = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 ( z + 1 ) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Даны показательные функции:

f 1 ( x ) = 2 3 x , f 2 ( x ) = 5 3 x , f 3 ( x ) = 1 ( e ) x

Необходимо найти их производные.

Решение

Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:

f 1 ‘ ( x ) = 2 3 x ‘ = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · ( ln 2 — ln 3 ) f 2 ‘ ( x ) = 5 3 x ‘ = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 ‘ ( x ) = 1 ( e ) x ‘ = 1 e x ‘ = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e — 1 = — 1 e x

Производная логарифмической функции

Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:

( log a x ) ‘ = lim ∆ x → 0 log a ( x + ∆ x ) — log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.

Заданы логарифмические функции:

f 1 ( x ) = log ln 3 x , f 2 ( x ) = ln x

Необходимо вычислить их производные.

Решение

Применим выведенную формулу:

f 1 ‘ ( x ) = ( log ln 3 x ) ‘ = 1 x · ln ( ln 3 ) ; f 2 ‘ ( x ) = ( ln x ) ‘ = 1 x · ln e = 1 x

Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x .

Производные тригонометрических функций

Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.

Согласно определению производной функции синуса, получим:

( sin x ) ‘ = lim ∆ x → 0 sin ( x + ∆ x ) — sin x ∆ x

Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:

( sin x ) ‘ = lim ∆ x → 0 sin ( x + ∆ x ) — sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x — x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Наконец, используем первый замечательный предел:

sin ‘ x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Итак, производной функции sin x будет cos x .

Совершенно также докажем формулу производной косинуса:

cos ‘ x = lim ∆ x → 0 cos ( x + ∆ x ) — cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 — 2 · sin x + ∆ x — x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = — lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = — sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = — sin x

Т.е. производной функции cos x будет – sin x .

Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:

t g ‘ x = sin x cos x ‘ = sin ‘ x · cos x — sin x · cos ‘ x cos 2 x = = cos x · cos x — sin x · ( — sin x ) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g ‘ x = cos x sin x ‘ = cos ‘ x · sin x — cos x · sin ‘ x sin 2 x = = — sin x · sin x — cos x · cos x sin 2 x = — sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = — 1 sin 2 x

Производные обратных тригонометрических функций

Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.

Производные гиперболических функций

Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:

s h ‘ x = e x — e — x 2 ‘ = 1 2 e x ‘ — e — x ‘ = = 1 2 e x — — e — x = e x + e — x 2 = c h x c h ‘ x = e x + e — x 2 ‘ = 1 2 e x ‘ + e — x ‘ = = 1 2 e x + — e — x = e x — e — x 2 = s h x t h ‘ x = s h x c h x ‘ = s h ‘ x · c h x — s h x · c h ‘ x c h 2 x = c h 2 x — s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h ‘ x = c h x s h x ‘ = c h ‘ x · s h x — c h x · s h ‘ x s h 2 x = s h 2 x — c h 2 x s h 2 x = — 1 s h 2 x

Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.

Источник