Постоянная функция
- X→B , B→X , Bn→B
- X→Z , Z→X
- X→R , R→X , Rn→X
- X→C , C→X , Cn→X
В математике , А постоянная функция является функцией , значение которой (выход) является одинаковой для каждого входного значения. [1] [2] [3] Например, функция y ( x ) = 4 является постоянной функцией, потому что значение y ( x ) равно 4 независимо от входного значения x (см. Изображение).
СОДЕРЖАНИЕ
Основные свойства [ править ]
Как действительная функция действительного аргумента, постоянная функция имеет общий вид y ( x ) = c или просто y = c . [4]
Пример: функция y ( x ) = 2 или просто y = 2 — это конкретная постоянная функция, где выходное значение равно c = 2 . Область определения этой функции — это набор всех действительных чисел. Кообласть этой функции просто <2>. Независимая переменная x не появляется в правой части выражения функции, поэтому ее значение «подставляется пустым образом». А именно у (0) = 2 , у (-2.7) = 2 , у (n) = 2 , и так далее. Независимо от того, какое значение x является входом, выход — «2». Пример из реальной жизни: магазин, где каждый товар продается по цене 1 доллар.
График постоянной функции y = c представляет собой горизонтальную линию на плоскости , проходящую через точку (0, c ) . [5]
В контексте полинома в одной переменной х , то отлична от нуля постоянная функция является многочленом степени 0 и его общая форма F ( х ) = с , где с равен нулю. Эта функция не имеет точки пересечения с осью x , то есть не имеет корня (нуля) . С другой стороны, многочлен f ( x ) = 0 является тождественно нулевой функцией . Это (тривиальная) постоянная функция, и каждый x является корнем. Его график представляет собой ось x на плоскости. [6]
Постоянная функция является четной функцией , т. Е. График постоянной функции симметричен относительно оси y .
В контексте, в котором она определена, производная функции является мерой скорости изменения значений функции по отношению к изменению входных значений. Поскольку функция константа не меняется, ее производная равна 0. [7] Это часто пишется: . Обратное также верно. А именно, если y ‘( x ) = 0 для всех действительных чисел x , то y — постоянная функция. [8] ( Икс ↦ c ) ′ знак равно 0 <\ Displaystyle (х \ mapsto c) '= 0> 
Пример: дана постоянная функция . Производная y — это тождественно нулевая функция . y ( Икс ) знак равно — 2 <\ Displaystyle у (х) = - <\ sqrt <2>>> y ′ ( Икс ) знак равно ( Икс ↦ — 2 ) ′ знак равно 0 <\ Displaystyle у '(х) = (х \ mapsto - <\ sqrt <2>>)’ = 0>
Другие свойства [ править ]
Для функций между предварительно упорядоченными наборами постоянные функции сохраняют и меняют порядок ; наоборот, если f одновременно сохраняет и меняет порядок, и если область определения f является решеткой , то f должна быть постоянной.
- Каждая постоянная функция, домен и область значений той же множество X является влево нуль в полной моноиде преобразования на X, что означает , что она также идемпотентная .
- Каждая постоянная функция между топологическими пространствами является непрерывной .
- Постоянная функция факторов через одноточечный набор , конечный объект в категории наборов . Это наблюдение играет важную роль в аксиоматизации теории множеств Ф. Уильямом Ловером — Элементарной теории категории множеств (ETCS). [9]
- Каждое множество X изоморфно множеству постоянных функций в нем. Для каждого элемента x и любого множества Y существует уникальная функция, такая что для всех . И наоборот, если функция удовлетворяет всем , она по определению является постоянной функцией. Икс
( y ) знак равно Икс <\ Displaystyle <\ тильда <х>> (у) = х>y ∈ Y <\ displaystyle y \ in Y>ж : Y → Икс <\ displaystyle f: Y \ rightarrow X>ж ( y ) знак равно ж ( y ′ ) <\ Displaystyle f (y) = f (y ')>y , y ′ ∈ Y <\ displaystyle y, y '\ in Y>ж <\ displaystyle f>
- Как следствие, одноточечный набор является генератором в категории множеств.
- Каждый набор канонически изоморфен набору функций или множеству hom в категории множеств, где 1 — одноточечный набор. Из-за этого, а также связи между декартовыми произведениями и hom в категории множеств (так что существует канонический изоморфизм между функциями двух переменных и функциями одной переменной, оцениваемыми в функциях другой (единственной) переменной ), категория множеств закрытая моноидальная категория с декартово произведением множеств как тензорное произведение и множеством одноточечного как тензорная единица. В изоморфизмам естественных в X , левые и правые unitors проекции и в упорядоченных пар и Икс <\ displaystyle X>
Икс 1 <\ displaystyle X ^ <1>>хом ( 1 , Икс ) <\ displaystyle \ operatorname (1, X)> хом ( Икс × Y , Z ) ≅ хом ( Икс ( хом ( Y , Z ) ) <\ displaystyle \ operatorname (X \ times Y, Z) \ cong \ operatorname (X (\ operatorname (Y, Z))> λ : 1 × Икс ≅ Икс ≅ Икс × 1 : ρ <\ Displaystyle \ лямбда: 1 \ раз X \ cong X \ cong X \ times 1: \ rho>п 1 <\ displaystyle p_ <1>>п 2 <\ displaystyle p_ <2>>( * , Икс ) <\displaystyle (*,x)>( x , ∗ ) <\displaystyle (x,*)>соответственно элементу , где — единственная точка в одноточечном наборе. x <\displaystyle x>∗ <\displaystyle *>
Функция на связанном множестве является локально постоянной тогда и только тогда, когда она постоянна.
Источник
Постоянная функция — Constant function
В математике , А постоянная функция является функцией , значение которой (выход) является одинаковой для каждого входного значения. Например, функция y ( x ) = 4 является постоянной функцией, потому что значение y ( x ) равно 4 независимо от входного значения x (см. Изображение).
СОДЕРЖАНИЕ
Основные свойства
Как действительная функция действительного аргумента, постоянная функция имеет общий вид y ( x ) = c или просто y = c .
Пример: функция y ( x ) = 2 или просто y = 2 — это конкретная постоянная функция, где выходное значение равно c = 2 . Область этой функции является множество всех действительных чисел R . Кообласть этой функции просто <2>. Независимая переменная x не появляется в правой части выражения функции, поэтому ее значение «подставляется пустым образом». А именно у (0) = 2 , у (-2.7) = 2 , у (n) = 2 , и так далее. Независимо от того, какое значение x введено, на выходе будет «2». Пример из реальной жизни: магазин, где каждый товар продается по цене 1 доллар.
График постоянной функции y = c представляет собой горизонтальную линию на плоскости , проходящую через точку (0, c ) .
В контексте полинома в одной переменной х , то отлична от нуля постоянная функция является многочленом степени 0 и его общая форма F ( х ) = с , где с равен нулю. Эта функция не имеет точки пересечения с осью x , то есть не имеет корня (нуля) . С другой стороны, многочлен f ( x ) = 0 является тождественной нулевой функцией . Это (тривиальная) постоянная функция, и каждый x является корнем. Его график представляет собой ось x на плоскости.
Постоянная функция является четной функцией , т. Е. График постоянной функции симметричен относительно оси y .
В контексте, в котором она определена, производная функции является мерой скорости изменения значений функции по отношению к изменению входных значений. Поскольку функция константы не меняется, ее производная равна 0. Это часто пишется: . Обратное также верно. А именно, если y ′ ( x ) = 0 для всех действительных чисел x , то y — постоянная функция. ( Икс ↦ c ) ′ знак равно 0 <\ Displaystyle (х \ mapsto c) '= 0>
Пример: дана постоянная функция . Производная y — это тождественно нулевая функция . у ( Икс ) знак равно — 2 <\ Displaystyle у (х) = - <\ sqrt <2>>> у ′ ( Икс ) знак равно ( Икс ↦ — 2 ) ′ знак равно 0 <\ Displaystyle у '(х) = \ влево (х \ mapsto - <\ sqrt <2>> \ right)’ = 0>
Прочие свойства
Для функций между предварительно упорядоченными наборами постоянные функции сохраняют и меняют порядок ; наоборот, если f одновременно сохраняет и меняет порядок, и если область определения f является решеткой , то f должна быть постоянной.
- Каждая постоянная функция, домен и область значений той же множество X является влево нуль в полной моноиде преобразования на X , что означает , что она также идемпотентная .
- Каждая постоянная функция между топологическими пространствами является непрерывной .
- Постоянная функция факторов через одноточечный набор , конечный объект в категории наборов . Это наблюдение играет важную роль в аксиоматизации теории множеств Ф. Уильямом Ловером — Элементарной теории категории множеств (ETCS).
- Каждый набор X является изоморфно множеству постоянных функций в нем. Для каждого элемента x и любого множества Y существует уникальная функция, такая что для всех . И наоборот, если функция удовлетворяет всем , она по определению является постоянной функцией. Икс
( у ) знак равно Икс <\ Displaystyle <\ тильда <х>> (у) = х>у ∈ Y <\ displaystyle y \ in Y>ж : Y → Икс <\ displaystyle f: от Y \ до X>ж ( у ) знак равно ж ( у ′ ) <\ Displaystyle е (у) = е \ влево (у '\ вправо)>у , у ′ ∈ Y <\ displaystyle y, y '\ in Y>ж <\ displaystyle f>
- Как следствие, одноточечный набор является генератором в категории множеств.
- Каждый набор канонически изоморфен набору функций или множеству hom в категории множеств, где 1 — одноточечный набор. Из-за этого и присоединения между декартовыми произведениями и hom в категории множеств (так что существует канонический изоморфизм между функциями двух переменных и функциями одной переменной, оцениваемыми в функциях другой (единственной) переменной ), категория множеств замкнутая моноидальная категория с декартово произведением множеств как тензорное произведение и множеством одноточечного как тензорная единица. В изоморфизмы естественно в X , левые и правые unitors проекции и в упорядоченных пар и , соответственно , к элементу , в котором находится уникальная точка в одной точке множества. Икс <\ displaystyle X>Икс 1 <\ displaystyle X ^ <1>>хом ( 1 , Икс ) <\ displaystyle \ operatorname
(1, X)> хом ( Икс × Y , Z ) ≅ хом ( Икс ( хом ( Y , Z ) ) <\ displaystyle \ operatorname (X \ times Y, Z) \ cong \ operatorname (X (\ operatorname (Y, Z))> λ : 1 × Икс ≅ Икс ≅ Икс × 1 : ρ <\ displaystyle \ lambda: 1 \ times X \ cong X \ cong X \ times 1: \ rho>п 1 <\ displaystyle p_ <1>>п 2 <\ displaystyle p_ <2>>( * , Икс ) <\ Displaystyle (*, х)>( Икс , * ) <\ Displaystyle (х, *)>Икс <\ displaystyle x>* <\ displaystyle *>
Функция на связанном множестве является локально постоянной тогда и только тогда, когда она постоянна.
Источник
