Что значит последовательность имеет предел

Предел последовательности – основные теоремы и свойства

Определение последовательности

Более подробно см. страницу Определение числовой последовательности >>>.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех действительных n .
Верхней гранью последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , превосходящий s′ : .
Нижней гранью последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , меньший i′ : .

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.

ε — окрестность точки a – это открытый интервал ( a – ε, a + ε ) . Сходящаяся последовательность – это последовательность, у которой существует предел .
Также говорят, что последовательность сходится к a . Расходящаяся последовательность – это последовательность, не имеющая предела.

Точка a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n , что
.
.
Это означает, что можно выбрать такую ε — окрестностью точки a , за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a , за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности.

Теорема единственности предела числовой последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C : , то эта последовательность имеет предел, равный числу C .

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Арифметические действия с пределами

Пусть существуют конечные пределы и последовательностей и . И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .
В случае частного предполагается, что для всех n .

Свойства, связанные с неравенствами

Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) , то и предел a также принадлежит этому интервалу: .

Если и и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то .

Если и, начиная с некоторого номера, , то .
В частности, если, начиная с некоторого номера, , то
если , то ;
если , то .

Пусть и . Если a b , то найдется такое натуральное число N , что для всех n > N выполняется неравенство .

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Для того, чтобы последовательность имела предел a , необходимо и достаточно, чтобы , где – бесконечно малая последовательность.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице
Бесконечно малые последовательности – определение и свойства >>>.

Бесконечно большая последовательность

Бесконечно большая последовательность – это последовательность, имеющая бесконечно большой предел. То есть если для любого положительного числа существует такое натуральное число N , зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности.

Если , начиная с некоторого номера N , то
.
Если же , то
.

Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N , определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля элементами, то последовательность является бесконечно большой.

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом ( ), а – бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>>.
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>>.

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.

Строго убывающая последовательность:
.
Неубывающая последовательность:
.
Невозрастающая последовательность:
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Монотонная последовательность – это неубывающая или невозрастающая последовательность.

Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу: . Невозрастающая последовательность ограничена сверху: .

Теорема Вейерштрасса. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M – некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Для того чтобы монотонная последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Критерий Коши сходимости последовательности

Условие Коши
Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что для всех натуральных чисел n и m , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
.

Фундаментальная последовательность – это последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Критерий Коши сходимости последовательности. Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>>.

Подпоследовательности

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности – бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .

Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>>.

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы после­довательностей>>>.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-07-2017 Изменено: 30-12-2018

Источник

Предел последовательности

п.1. Определение последовательности

С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:

Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением.

Например:
1) Формула \(y_n=\frac1n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность дробей:

\(1,\)	\(\frac12,\)	\(\frac13,\)	\(. \)	\(\frac1n,\)	\(. \)
1	2	3	.	n	.

2) Формула \(y_n=(-1)^n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность «прыгающих» единиц:

3) Рекуррентная формула \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_(n+2)=y_(n+1)+y_n\) задает бесконечную последовательность чисел Фибоначчи:

4) Описание «число π точностью до \(10^<-n>\)» задает бесконечную последовательность все более «подробных» значений числа π:

3,1;	3,14;	3,141;	3,1415;	3,14159;	3,141592;	.
1	2	3	4	5	6	.

Этот ряд можно также задать формулой \(y_n=\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>\), где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

п.2. Предел последовательности

Поведение последовательности «на длинных дистанциях» может быть неочевидным. Чтобы лучше понять, возрастает или убывает заданный ряд чисел, ограничен ли он какой-либо величиной или уходит на бесконечность, проще всего построить график.

1) \(y_n=\frac1n\) Последовательность сходится к 0

2) \(y_n=(-1)^n\) Последовательность ни к чему не сходится

3) числа Фибоначчи \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_=y_+y_n\) Последовательность уходит на бесконечность

4) приближения числа π Последовательность сходится к π

В приведенных примерах мы видим, что последовательность \(y_n=\frac1n\) сходится к 0, а приближение числа π \(y_n=\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>\) конечно же сходится к π.
Говорят, что у таких последовательностей есть конечный предел, и записывают это так: $$ \lim_\frac1n=0,\ \ \lim_\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>=\pi $$

п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?

Разберем данное выше определение предела на конкретном примере.
Пусть \(y_n=\frac<1>\). Докажем, что предел этой последовательности b=0.
Найдем номер \(N_<\varepsilon>\) члена последовательности, который первым окажется меньше одной тысячной. Т.е. «заранее взятое число» у нас ε=0,001, а ε-окрестность окружает точку предела \(b=0:\ -\varepsilon\lt y_n\lt\varepsilon\).
Решаем неравенство \(|y_n-b|\lt\varepsilon\): \begin \left|\frac<1>-0\right|\lt 0,001\Rightarrow \frac<1>\lt 0,001\Rightarrow n+4\gt \frac<1><0,001>=1000\\ n\gt 996\Rightarrow N_<\varepsilon>=997 \end Значит, начиная с \(N_<\varepsilon>=997\), все \(y_n=\frac<1>,\ n\geq N_<\varepsilon>=997\) будут меньше ε=0,001.
Если попробовать еще больше приблизиться к пределу b=0, например с ε=0,00001, стартовый номер \(N_<\varepsilon>\) для членов последовательности, которые умещаются в 100 раз меньшей ε-окрестности, очевидно, увеличится.
Теперь найдем общую формулу зависимости \(N_<\varepsilon>\) для последовательности \(y_n=\frac<1>\) с пределом b=0: \begin \left|\frac<1>-0\right|\lt \varepsilon \Rightarrow \frac<1>\lt \varepsilon\Rightarrow n+4\gt \frac<1><\varepsilon>\\ n\gt\frac1\varepsilon-4\Rightarrow N_<\varepsilon>=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1 \end где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

\(\varepsilon\)	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_<\varepsilon>\)	7	97	997	9997	99997	999997
\(\lg \varepsilon\)	-1	-2	-3	-4	-5	-6
\(\lg N_<\varepsilon>\)	0,845	1,987	2,999	4,000	5,000	6,000

И построим график (в логарифмическом масштабе):

Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_<\varepsilon>\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_\frac<1>=0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_<\varepsilon>=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_<\varepsilon>\) разность \(\left|\frac<1>-0\right|\), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.

п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности

Например:
1) последовательность \(y_n=\frac1n\) ограничена сверху \(M=y_1=1\) и ограничена снизу \(m=\lim_y_n=0\). Т.е. \(0\lt y_n\leq 1,\ \forall n\) — последовательность ограничена.
2) последовательность \(y_n=(-1)^n\) ограничена сверху \(M=1\) и ограничена снизу \(m=-1\). Т.е. \(-1\leq y_n\leq 1,\ \forall n\) — последовательность ограничена.
3) последовательность чисел Фибоначчи \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_=y_+y_n\) ограничена снизу \(m=1\), но неограничена сверху. Т.е. последовательность неограничена: \(\lim_=+\infty\)

п.5. Как доказать неограниченность последовательности?

Разберем данное выше определение неограниченности (стремления к бесконечности) на конкретном примере.
Пусть \(y_n=n^2\). Докажем, что последовательность неограничена.
Найдем номер \(N_M\) члена последовательности, который первым окажется больше \(M=100\) — нашего «сколько угодно большого числа».
Согласно определению, подставляем значения в неравенство \(|y_n|\gt M\): \begin |n^2|\gt 100\Rightarrow n^2\gt 100\Rightarrow n\gt 10\\ N_M=11 \end Т.е. все \(y_n\), начиная с 11-го, будут больше 100.
Выведем общую формулу для \(N_M\): \begin |n^2|\gt M\Rightarrow n^2\gt M\Rightarrow n\gt\sqrt\\ N_M=[\sqrt]+1 \end где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

\(M\)	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000
\(N_M\)	4	11	33	101	317	1001

Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_n^2=+\infty\)
Ведь для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=[\sqrt]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=n^2\gt M\), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.

п.6. Примеры

Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_\frac<3-2n>=-\frac12 \)
По условию: $$ y_n=\frac<3-2n>,\ \ b=-\frac12 $$ Находим \(N_<\varepsilon>\) для произвольного ε>0 из неравенства \(|y_n-b|\lt\varepsilon\)
$$ \left|\frac<3-2n>+\frac12\right|\lt\varepsilon\Rightarrow \left|\frac<2n+2+3-2n><2(3-2n)>\right| \lt \varepsilon\Rightarrow \frac52\left|\frac<1><3-2n>\right|\lt \varepsilon $$ Знаменатель у дроби под модулем при \(n\geq 2\) отрицательный . Поэтому, раскрывая модуль, получаем: \begin \frac52\left|\frac<1><3-2n>\right|=\frac<5><2(2n-3)>\lt \varepsilon\Rightarrow 2n-3\gt \frac<5><2\varepsilon>\Rightarrow n\gt\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\\ N_<\varepsilon>=\left[\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\right]+1 \end Например:

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_<\varepsilon>\)	15	128	1253	12503	125003	1250003

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\right]+1\), начиная с которого
\(\left|\frac<3-2n>+\frac12\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 2\).
Что и требовалось доказать.

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_<\varepsilon>\)	3	3	11	33	105	333

Показанный приём с усилением неравенства часто применяется в математическом анализе. Найденное \(N_<\varepsilon>\) немного больше «точного» значения, которое следует из исходной дроби \(\frac<3(3n^2+n+1)>\), но наша задача в том, чтобы обоснованно построить любое выражение для стартового номера \(N_<\varepsilon>\) в зависимости от ε.
Если найденный номер будет немного больше исходного – не страшно; главное, чтобы он 1) был обоснован; 2) гарантировал размещение всех последующих \(y_n,\ n\geq N_<\varepsilon>\) в ε окрестности предела b.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac<1><3\sqrt<\varepsilon>>\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3n^2+n+1>-\frac13\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 3\).
Что и требовалось доказать.

в) \( \lim_\frac<3^n+1><3^n>=1 \)
По условию: $$ y_n=\frac<3^n+1><3^n>,\ \ b=1 $$ Записываем неравенство \(|y_n-b|\lt\varepsilon\):
\begin \left|\frac<3^n+1><3^n>-1\right|\lt\varepsilon\Rightarrow \left|\frac<3^n+1-3^n><3^n>\right|\lt\varepsilon\Rightarrow \frac<1><3^n>\lt \varepsilon\Rightarrow 3^n\gt \frac1\varepsilon\\ n\gt\log_3\frac1\varepsilon\Rightarrow n\gt -\log_3\varepsilon\\ N_<\varepsilon>=\left[-\log_3\varepsilon\right]+1 \end Например:

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_<\varepsilon>\)	3	5	7	9	11	14

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[-\log_3\varepsilon\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3^n+1><3^n>-1\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_<\varepsilon>\)	2	362	39602	3996002	4·10 8	4·10 10

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\left(\frac<1><5\varepsilon>-1\right)^2\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<\sqrt><5\sqrt+1>-\frac15\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Пример 2. Используя определения неограниченной последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_2^n=+\infty \)
По условию: \(y_n=2^n\)
Записываем неравенство \(|y_n|\gt M\):
\begin 2^n\gt M\Rightarrow n\gt \log_2M\\ N_M=\left[\log_2M\right]+1 \end Например:

M	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000
NM	4	8	11	14	18	21

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[\log_2M\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=2^n\gt M\).
Что и требовалось доказать.

б) \( \lim_\sqrt=+\infty \)
По условию: \(y_n=\sqrt\)
Записываем неравенство \(|y_n|\gt M\):
\begin \sqrt\gt M\Rightarrow n+1\gt M^2\Rightarrow n\gt M^2 -1\\ N_M=\left[M^2-1\right]+1=\left[M^2\right] \end знак целой части оставляем, т.к. \(M\in\mathbb\) — не обязательно целое.
Например:

M	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000
NM	100	10 000	1 000 000	10 8	10 10	10 12

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[M^2\right]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=\sqrt\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Источник