Что значит положительный угол

Что значит положительный угол

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

В предыдущем уроке мы освоили базовые понятия. Это понятия тригонометрическая окружность, угол, синус и косинус этого угла. Освоили, что называется, «на пальцах». Главное сделано. Но чтобы толково использовать эти понятия на практике, надо чётко усвоить два момента.

1. Как считаются углы?
2. В чём они считаются?

Первый вопрос прост, но и здесь есть место ошибкам. А второй. Если опросить 10 человек на тему: «Что такое «Пи» в тригонометрических функциях?», лучший ответ будет такой:»Пи — это 180 градусов!» Что, по сути, верно, но уточнять детали лучше уже не надо. Чтобы не испортить впечатление.)

Формальное, неосознанное использование понятий очень часто приводит. в лужу. При нестандартных вопросах — почти всегда. Но мы в лужу не собираемся, правда? Сыро там. Работаем.

Положительные и отрицательные углы в тригонометрии.

В этом небольшом уроке разберём первый вопрос.

Итак, как считать углы на тригонометрическом круге?
Смотрим на рисунок.

Он почти такой, как в предыдущем уроке. Есть оси, окружность, угол, всё чин-чинарём. Добавлены номера четвертей (в уголках большого квадрата) — от первой, до четвёртой. А то вдруг кто не знает? Как видите, четверти (их ещё называют красивым словом «квадранты») нумеруются против хода часовой стрелки. Добавлены значения угла на осях. Всё понятно, никаких заморочек.

И добавлена зелёная стрелка. С плюсом. Что она означает? Напомню, что неподвижная сторона угла всегда прибита к положительной полуоси ОХ. Так вот, если подвижную сторону угла мы будем крутить по стрелке с плюсом, т.е. по возрастанию номеров четвертей, угол будет считаться положительным. Для примера на картинке показан положительный угол +60°.

Если будем откладывать углы в обратную сторону, по ходу часовой стрелки, угол будет считаться отрицательным. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете), увидите синюю стрелку с минусом. Это — направление отрицательного отсчёта углов. Для примера показан отрицательный угол (- 60°). А ещё вы увидите, как поменялись циферки на осях. Я их тоже перевёл в отрицательные углы. Нумерация квадрантов не меняется.

Вот тут, обычно, начинаются первые непонятки. Как так!? А если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным!? Да и вообще, получается что, одно и то же положение подвижной стороны (или точки на числовой окружности) можно обозвать как отрицательным углом, так и положительным!?

Да. Именно так. Скажем, положительный угол 90 градусов занимает на круге точно такое же положение, что и отрицательный угол в минус 270 градусов. Положительный угол, к примеру, +110° градусов занимает точно такое же положение, что и отрицательный угол -250°.

Зачем?! Как теперь считать углы, если можно и так и этак!? Как правильно!?

Не вопрос. Всяко правильно.) Выбор положительного или отрицательного исчисления угла зависит от условия задания. Если в условии ничего не сказано открытым текстом про знак угла, (типа «определить наименьший положительный угол» и т.д.), то работаем с удобными нам величинами.

Исключением (а как без них?!) являются тригонометрические неравенства, но там мы эту фишку освоим.

А теперь вопрос вам. Как я узнал, что положение угла 110° совпадает с положением угла -250°?
Намекну, что это связано с полным оборотом. В 360°. Непонятно? Тогда рисуем круг. Сами рисуем, на бумаге. Отмечаем угол примерно 110°. И считаем, сколько остается до полного оборота. Останется как раз 250°.

Уловили? А теперь — внимание! Если углы 110° и -250° занимают на круге одно и то же положение, то что? Да то, что у углов 110° и -250° совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс!
Т.е. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) и так далее. Вот это уже действительно важно! И само по себе — есть масса заданий, где надо упростить выражения, и как база для последующего освоения формул приведения и прочих премудростей тригонометрии.

Понятное дело, 110° и -250° я взял наобум, чисто для примера. Всё эти равенства работают для любых углов, занимающих одно положение на круге. 60° и -300°, -75° и 285°, ну и так далее. Отмечу сразу, что углы в этих парочках — разные. А вот тригонометрические функции у них — одинаковые.

Думаю, что такое отрицательные углы вы поняли. Это совсем просто. Против хода часовой стрелки — положительный отсчёт. По ходу — отрицательный. Считать угол положительным, или отрицательным зависит от нас. От нашего желания. Ну, и ещё от задания, конечно. Надеюсь, вы поняли и как переходить в тригонометрических функциях от отрицательных углов к положительным и обратно. Нарисовать круг, примерный угол, да посмотреть, сколько недостаёт до полного оборота, т.е. до 360°.

Углы больше 360°.

Займемся углами которые больше 360°. А такие бывают? Бывают, конечно. Как их нарисовать на круге? Да не проблема! Допустим, нам надо понять, в какую четверть попадёт угол в 1000°? Легко! Делаем один полный оборот против хода часовой стрелки (угол-то нам дали положительный!). Отмотали 360°. Ну и мотаем дальше! Ещё оборот — уже получилось 720°. Сколько осталось? 280°. На полный оборот не хватает. Но угол больше 270° — а это граница между третьей и четвёртой четвертью. Стало быть наш угол в 1000° попадает в четвёртую четверть. Всё.

Как видите, это совсем просто. Ещё раз напомню, что угол 1000° и угол 280°, который мы получили путём отбрасывания «лишних» полных оборотов — это, строго говоря, разные углы. Но тригонометрические функции у этих углов совершенно одинаковые! Т.е. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° и т.д. Если бы я был синусом, я бы не заметил разницы между этими двумя углами.

Зачем всё это нужно? Зачем нам переводить углы из одного в другой? Да всё за тем же.) С целью упрощения выражений. Упрощение выражений, собственно, главная задача школьной математики. Ну и, попутно, голова тренируется.)

Ну что, потренируемся?)

Отвечаем на вопросы. Сначала простые.

1. В какую четверть попадает угол -325° ?

2. В какую четверть попадает угол 3000° ?

3. В какую четверть попадает угол -3000° ?

Есть проблемы? Или неуверенность? Идём в Раздел 555, Практическая работа с тригонометрическим кругом. Там, в первом уроке этой самой «Практической работы. » всё подробненько. В таких вопросах неуверенности быть не должно!

Всё нормально? Едем дальше:

4. Какой знак имеет sin555° ?

5. Какой знак имеет tg555° ?

Определили? Отлично! Сомневаетесь? Надо в Раздел 555. Кстати, там научитесь рисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге. Очень полезная штучка.

А теперь вопросы помудрёнее.

6. Привести выражение sin777° к синусу наименьшего положительного угла.

7. Привести выражение cos777° к косинусу наибольшего отрицательного угла.

8. Привести выражение cos(-777°) к косинусу наименьшего положительного угла.

9. Привести выражение sin777° к синусу наибольшего отрицательного угла.

Что, вопросы 6-9 озадачили? Привыкайте, на ЕГЭ и не такие формулировочки встречаются. Так и быть, переведу. Только для вас!

Слова «привести выражение к. » означают преобразовать выражение так, чтобы его значение не изменилось, а внешний вид поменялся в соответствии с заданием. Так, в задании 6 и 9 мы должны получить синус, внутри которого стоит наменьший положительный угол. Всё остальное — не имеет значения.

Ответы выдам по порядку (в нарушение наших правил). А что делать, знака всего два, а четверти всего четыре. Не разбежишься в вариантах.

Предполагаю, что ответы на вопросы 6 -9 кое-кого смутили. Особенно -sin(-57°), правда?) Действительно, в элементарных правилах отсчёта углов есть место для ошибок. Именно поэтому пришлось сделать урок: «Как определять знаки функций и приводить углы на тригонометрическом круге?» В Разделе 555. Там задания 4 — 9 разобраны. Хорошо разобраны, со всеми подводными камнями. А они тут есть.)

В следующем уроке мы разберёмся с загадочными радианами и числом «Пи». Научимся легко и правильно переводить градусы в радианы и обратно. И с удивлением обнаружим, что этой элементарной информации на сайте уже хватает, чтобы решать некоторые нестандартные задачки по тригонометрии!

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Измерение углов

Когда прямые пересекаются, то получается четыре разные области по отношению к точке пересечения.
Эти новые области называют углами.

На картинке видны 4 разных угла, образованных пересечением прямых AB и CD

Обычно углы измеряются в градусах, что обозначается как °. Когда объект совершает полный круг, то есть движется из точки D через B, C, A, а затем обратно к D, то говорят что он повернулся на 360 градусов (360°). Таким образом, градус — это $\frac<1><360>$ круга.

Углы больше 360 градусов

Мы говорили о том, что когда объект делает полный круг вокруг точки, то он проходит 360°, однако, когда объект делает более одного круга, то он делает угол более 360 градусов. Это обычное явление в повседневной жизни. Колесо проходит многие круги, когда автомобиль движется, то есть оно образует угол больше 360°.

Для того, чтобы узнать количество циклов (пройденных кругов) при вращении объекта, мы считаем количество раз, которое нужно прибавить 360 к самому себе, чтобы получить число равное или меньшее, чем данный угол. Точно так же мы находим число, которое мы умножаем на 360, чтобы получить число меньшее, но наиболее близкое к данному углу.

Пример 2
1. Найти количество кругов, описанных объектом, образующем угол
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Решение
a) 380 = (1 × 360) + 20
Объект описал один круг и 20°
Так как $20^ <\circ>= \frac<20> <360>= \frac<1><18>$ круга
Объект описал $1\frac<1><18>$ кругов.

b) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Объект описал два круга и 50°
$50^ <\circ>= \frac<50> <360>= \frac<5><36>$ круга
Объект описал $2\frac<5><36>$ круга
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^ <\circ>= \frac<260> <360>= \frac<7><9>$ кругов
Объект описал $2\frac<7><9>$ кругов

Положительные и отрицательные углы

Когда объект вращается по часовой стрелки, то он образует отрицательный угол вращения, а когда вращается против часовой стрелке — положительный угол. До этого момента мы рассматривали только положительные углы.

В форме диаграммы отрицательный угол может быть изображен так, как это показано ниже.

Рисунок ниже показывает знак угла, который измеряется от общей прямой, 0 оси (оси абсцисс — х оси)

Это означает, что при наличии отрицательного угла, мы можем получить соответствующий ему положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной прямой это 270°. Когда измеряется в негативную сторону, то получим -90°. Мы просто вычитаем 270 из 360. Имея отрицательный угол, мы прибавляем 360, для того чтобы получить соотвествующий положительный угол.
Когда угол равен -360°, это означает, что объект совершил более одного круга по часовой стрелке.

Пример 3
1. Найти соответствующий положительный угол
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) — 670°

2. Найти соответствующий отрицательный угол 80°, 167°, 330°и 1300°.
Решение
1. Для того, чтобы найти соответствующий положительный угол мы прибавляем 360 к значению угла.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 — 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 — 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 — 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Это означает один круг по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50°
Угол равен 360 + 50 = 410°

2. Для того, чтобы получить соответсвующий отрицательный угол мы вычитаем 360 от значения угла.
80° = 80 — 360 = — 280°
167° = 167 — 360 = -193°
330° = 330 — 360 = -30°
1300° = 1300 — 360 = 940 (пройден один круг)
940 — 360 = 580 (пройден второй круг)
580 — 360 = 220 (пройден третий круг)
220 — 360 = -140°
Угол равен -360 — 360 — 360 — 140 = -1220°
Таким образом 1300° = -1220°

Радиан

Радиан — это угол из центра круга, в который заключена дуга, длина которой равна радиусу данного круга. Это единица измерения угловой величины. Такой угол примерно равен 57,3°.
В большинстве случаев, это обозначается как рад.
Таким образом $1 рад \approx 57,3^<\circ>$

Радиус = r = OA = OB = AB
Угол BOA равен одному радиану

Поскольку длина окружности задается как $2\pi r$, то в окружности $2\pi$ радиусов, а значит в целом круге $2\pi$ радиан.

Радианы обычно выражаются через $\pi$ во избежание десятичных частей в вычислениях. В большинстве книг, аббревиатура рад (rad) не встречается, но читатель должен знать, что, когда речь идет об угле, то он задан через $\pi$, а единицами измерения автоматически становятся радианы.

Пример 4
1. Преобразовать 240°, 45°, 270°, 750° и 390° в радианы через $\pi$.
Решение
Умножим углы на $\frac<\pi><180>$.

2. Преобразовать следующие углы в градусы.
a) $\frac<5><4>\pi$
b) $3,12\pi$
c) 2,4 радиан
Решение
$180^ <\circ>= \pi$
a) $\frac<5> <4>\pi = \frac<5> <4>\times 180 = 225^<\circ>$
b) $3,12\pi = 3,12 \times 180 = 561,6^<\circ>$
c) 1 рад = 57,3°
$2,4 = \frac<2,4 \times 57,3> <1>= 137,52$

Отрицаетльные углы и углы больше, чем $2\pi$ радиан

Для того чтобы преобразовать отрицательный угол в положительный, мы складываем его с $2\pi$.
Для того чтобы преобразовать положительный угол в отрицательный, мы вычитаем из него $2\pi$.

Пример 5
1. Преобразовать $-\frac<3><4>\pi$ и $-\frac<5><7>\pi$ в позитивные углы в радианах.

Решение
Прибавляем к углу $2\pi$
$-\frac<3><4>\pi = -\frac<3><4>\pi + 2\pi = \frac<5><4>\pi = 1\frac<1><4>\pi$

Когда объект вращается на угол больший, чем $2\pi$;, то он делает больше одного круга.
Для того, чтобы определить количество оборотов (кругов или циклов) в таком угле, мы находим такое число, умножая которое на $2\pi$, результат равен или меньше, но как можно ближе к данному числу.

Пример 6
1. Найти количество кругов пройденных объектом при данных углах
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac<7><2>\pi$

Решение
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ подразумевает один цикл в направлении по часовой стрелке, то это означает, что
объект сделал 5 циклов по часовой стрелке.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ пол цикла
объект сделал четыре с половиной цикла против часовой стрелки

c) $\frac<7><2>\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ равно три четверти цикла $(\frac<1,5\pi><2\pi>=\frac<3><4>)$
объект прошел один и три четверти цикла против часовой стрелки

Источник