Учебник по теории вероятностей
1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий 
, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых 
. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .
По теореме умножения вероятностей
,
.
Аналогично, для остальных гипотез
Полученная формула называется формулой Байеса ( формулой Бейеса). Вероятности гипотез 
называются апостериорными вероятностями, тогда как 
— априорными вероятностями.
Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% — продукция первого предприятия, 30% — продукция второго предприятия, 50% — продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии — 5% и на третьем — 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.
Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через 
обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.
Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:
Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:
Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
Решение. Возможны три гипотезы:
— на линию огня вызван первый стрелок,
— на линию огня вызван второй стрелок,
— на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то 
В результате опыта наблюдалось событие В — после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:
по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта:
Пример. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.
а) Каков процент брака на конвейере?
б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?
Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: 
– взятая наудачу деталь обработана на 
-ом станке, 
.
Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):
Зависимости между производительностями станков означают следующее:
.
А так как гипотезы образуют полную группу, то 
.
Решив полученную систему уравнений, найдем: 
.
а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:
.
Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.
б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:
,
,
.
Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.
Видео-уроки на тему полной вероятности и формулы Байеса
В первом уроке вы можете посмотреть подробный вывод с доказательством формулы Бейеса (любителям теории):
А здесь будут разобраны несколько типовых задач и на формулу полной вероятности, и на формулу Байеса:
Источник
Формула полной вероятности. Примеры решений задач
Решение. Обозначим события: A — «выбранная деталь бракована», Hi — «выбранная деталь получена от i-го поставщика», i =1, 2, 3 Гипотезы H1, H2, H3 образуют полную группу несовместных событий. По условию
P(H1) = 0.5; P(H2) = 0.2; P(H3) = 0.3
P(A|H1) = 0.04; P(A|H2) = 0.05; P(A|H3) = 0.02
По формуле полной вероятности (1.11) вероятность события A равна
P(A) = P(H1) · P(A|H1) + P(H2) · P(A|H2) + P(H3) · P(A|H3) = 0.5 · 0.04 + 0.2 · 0.05 + 0.3 · 0.02=0.036
Вероятность того, что выбранная наудачу деталь окажется бракованной, равна 0.036.
Пусть в условиях предыдущего примера событие A уже произошло: выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была получена от первого поставщика? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса.
Мы начинали анализ вероятностей, имея лишь предварительные, априорные значения вероятностей событий. Затем был произведен опыт (выбрана деталь), и мы получили дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей тех же событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями гипотез (рис. 1.5).
Схема переоценки гипотез
Пусть событие A может осуществиться лишь вместе с одной из гипотез H1, H2, …, Hn (полная группа несовместных событий). Априорные вероятности гипотез мы обозначали P(Hi) условные вероятности события A — P(A|Hi), i = 1, 2,…, n. Если опыт уже произведен и в результате него наступило событие A, то апостериорными вероятностями гипотез будут условные вероятности P(Hi|A), i = 1, 2,…, n. В обозначениях предыдущего примера P(H1|A) — вероятность того, что выбранная деталь, оказавшаяся бракованной, была получена от первого поставщика.
Нас интересует вероятность события Hk|A Рассмотрим совместное наступление событий Hk и A то есть событие AHk. Его вероятность можно найти двумя способами, используя формулы умножения (1.5) и (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AHk) = P(A)P(Hk|A).
Приравняем правые части этих формул
P(Hk) · P(A|Hk) = P(A) · P(Hk|A),
отсюда апостериорная вероятность гипотезы Hk равна
В знаменателе стоит полная вероятность события A. Подставив вместо P(A) ее значение по формуле полной вероятности (1.11), получим:
(1.12)
Формула (1.12) называется формулой Байеса и применяется для переоценки вероятностей гипотез.
В условиях предыдущего примера найдем вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика. Сведем в одну таблицу известные нам по условию априорные вероятности гипотез P(Hi) условные вероятности P(A|Hi) рассчитанные в процессе решения совместные вероятности P(AHi) = P(Hi) · P(A|Hi) и рассчитанные по формуле (1.12) апостериорные вероятности P(Hk|A), i,k = 1, 2,…, n (табл. 1.3).
Таблица 1.3 — Переоценка гипотез
| Гипотезы Hi | Вероятности | |||
| Априорные P(Hi) | Условные P(A|Hi) | Совместные P(AHi) | Апостериорные P(Hi|A) | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0.5 | 0.04 | 0.02 | | |
| 0.2 | 0.05 | 0.01 | | |
| 0.3 | 0.02 | 0.006 | | |
| Сумма | 1.0 | — | 0.036 | 1 |
Рассмотрим последнюю строку этой таблицы. Во второй колонке стоит сумма вероятностей несовместных событий H1, H2, H3, образующих полную группу:
P(Ω) = P(H1 + H2 + H3) = P(H1) + P(H2) + P(H3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
В четвертой колонке значение в каждой строке (совместные вероятности) получено по правилу умножения вероятностей перемножением соответствующих значений во второй и третьей колонках, а в последней строке 0.036 — есть полная вероятность события A (по формуле полной вероятности).
В колонке 5 вычислены апостериорные вероятности гипотез по формуле Байеса (1.12):
Пример №3 . Имеются три одинаковые урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй — три белых и один черный; в третьей — два белых и два черных шара. Для опыта наугад выбрана одна урна и из нее вынут шар. Найдите вероятность того, что этот шар белый.
Решение. Рассмотрим три гипотезы: H1 — выбрана первая урна, H2 — выбрана вторая урна, H3 — выбрана третья урна и событие A — вынут белый шар.
Так как гипотезы по условию задачи равновозможны, то
Условные вероятности события A при этих гипотезах соответственно равны:
По формуле полной вероятности
Пример №4 . В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью 0,46. Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
Решение. Здесь первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым — стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события: A — стрелок поразит мишень; H1 — стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом; H2 — стрелок возьмет винтовку без оптического прицела. Используем формулу полной вероятности. Имеем
Пример №5 . Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наудачу извлекаются два шара и добавляется в урну 1 белый шар. Найдите вероятность того, что наудачу взятый шар окажется белым.
Решение. Событие “извлечен белый шар” обозначим через A. Событие H1 — наудачу извлекли два белых шара; H2 — наудачу извлекли два черных шара; H3 — извлекли один белый шар и один черный. Тогда вероятности выдвинутых гипотез
Пример №6 . Производится два выстрела по цели. Вероятность попадания при первом выстреле 0,2, при втором — 0,6. Вероятность разрушения цели при одном попадании 0,3, при двух — 0,9. Найдите вероятность того, что цель будет разрушена.
Решение. Пусть событие A — цель разрушена. Для этого достаточно попадания с одного выстрела из двух или поражение цели подряд двумя выстрелами без промахов. Выдвинем гипотезы: H1 — оба выстрела попали в цель. Тогда P(H1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H2 — либо первый раз, либо второй раз был совершен промах. Тогда P(H2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. Гипотеза H3 — оба выстрела были промахи — не учитывается, так как вероятность разрушения цели при этом нулевая. Тогда условные вероятности соответственно равны: вероятность разрушения цели при условии обоих удачных выстрелов равна P(A|H1) = 0,9, а вероятность разрушения цели при условии только одного удачного выстрела P(A|H2) = 0,3. Тогда вероятность разрушения цели по формуле полной вероятности равна:
P(A) = 0,12*0,9+0,56*0,3 = 0,276
Источник
