В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb $.
Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = \sqrt <-1>$, числа $ a,b \in \mathbb $ вещественные.
Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb \subset \mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.
Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.
Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Алгебраическая $ z = a+ib $
Показательная $ z = |z|e^ $
Тригонометрическая $ z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) $
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Видим, что $ a,b \in \mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.
Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ \overline $.
Аргумент обозначается $ \varphi $.
Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ \overline $ и находится по формуле $ |z| = \sqrt $
Аргумент комплексного числа $ \varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 $$
Источник
Что такое комплексные числа
Первый урок по комплексным числам. Сегодня мы разберём:
Если же вас интересует тригонометрическая форма записи комплексного числа, либо извлечение корней из комплексных чисел — этим темам посвящены отдельные уроки.
Сегодня — лишь самое главное. Но не самое простое.:)
0. Краткая вводная
Когда-то нам хватало натуральных чисел:
Всё было прекрасно: «У тебя 5 бананов, у меня ещё 3 — итого у нас 5 + 3 = 8 бананов». Сумма двух натуральных чисел всегда даёт новое натуральное число (говорят, что операция сложения замкнута на множестве натуральных чисел).
Но вот на сцену выходит вычитание — и натуральных чисел стало недостаточно. Например разность 3 − 5 = −2 уже не будет натуральным. Так появились целые числа (натуральные, им противоположные и ноль):
Дальше к делу подключились операции умножения и деления. Да, произведение двух целых чисел всё ещё целое, но вот деление приводит к образованию дробей. Например, 1 : 2 или 5 : 4 уже нельзя записать целым числом. Так появилось множество рациональных чисел или множество дробей:
Это был настоящий триумф для древней математики, и в тот момент казалось, что ничего больше уже изобрести нельзя. Да и зачем?
Проблема пришла откуда не ждали. В какой-то момент классическое умножение «разрослось» до возведения в степень:
Тут-то и выяснилось, что возведение рационального числа в натуральную степень всё ещё будет рациональным числом. Но вот обратная операция — извлечение корня — выносит нас за пределы рациональных чисел:
\[\sqrt<2>=1,41421. \notin \mathbb\]
Так появилось множество действительных чисел — множество бесконечных десятичных дробей, которые могут быть периодическими (и тогда это обычное рациональное число) и непериодическими (такие числа называют иррациональными, и их неизмеримо больше).
Казалось бы: ну вот теперь точно всё! Что ещё нужно для счастья? Проблема в том, что на множестве действительных чисел нельзя извлечь даже самый простой квадратный корень из отрицательного числа:
Однако законы физики (особенно электродинамика и вообще всё, где есть слово «динамика») как бы намекали, что множество содержательных процессов протекает там, где привычные корни не извлекаются. А значит, следует расширить множество действительных чисел так, чтобы такие корни всё же извлекать.
И тут открылись врата в Ад.
1. Комплексная единица
Начнём с ключевого определения.
Определение. Комплексная единица — это число $i$, которое при возведении в квадрат даёт −1:
Очевидно, комплексная единица не является привычным нам действительным числом: $i\notin \mathbb$. Просто потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Однако в остальном это такое же число, как и все остальные. Комплексные единицы можно складывать, умножать, их можно комбинировать с «нормальными» числами:
В последнем примере мы сгруппировали слагаемые и провели подобные — совсем как с многочленами. Нельзя напрямую сложить действительное число и комплексную единицу, поскольку сущность числа $i$ нам не ясна. Но привести подобные — всегда пожалуйста.
И это первое замечательное свойство комплексной единицы. По сути, работать с ней — всё равно что работать с многочленом. Просто вместо переменной $x$ теперь будет $i$. Ну и помним, что $<^<2>>=-1$, что ещё больше упрощает жизнь:
Обратите внимание: запись $1+i$ является окончательной, её нельзя упростить. Точно так же нельзя упростить многочлен $kx+b$, например. И тут мы плавно переходим к следующему пункту.
2. Стандартная форма записи комплексных чисел
А теперь всё по-взрослому.
Определение. Комплексное число — это любое число вида
где $a$ и $b$ — действительные числа. При этом число $a$ называют действительной частью комплексного числа (пишут $a=\operatorname\left( z \right)$), а число $b$ — мнимой частью (пишут $b=\operatorname\left( z \right)$).
Часто комплексные числа обозначают именно буквой $z$. Хотя это совсем необязательно. И выглядит это примерно так:
\[\begin & z=5+3i \\ & \operatorname\left( z \right)=5 \\ & \operatorname\left( z \right)=3 \\ \end\]
Запись вида $z=a+bi$ называется стандартной формой записи комплексного числа. Всякое действительно число можно представить в виде комплексного с нулевой мнимой частью:
И напротив: существуют «чисто мнимые» числа, у которых вообще нет действительной части. Та же комплексная единица, например:
\[\begin i &=0+1\cdot i \\ 35i &=0+35\cdot i \\ \end\]
Таким образом, действительные числа являются частным случаем комплексных. Подобно тому как рациональные числа являются частным случаем действительных (в конце концов, рациональные числа — те же десятичные дроби, но с дополнительным условием: они периодические).
2.1. Равенство комплексных чисел
Важно понимать, что пара чисел $a$ и $b$ однозначно задаёт комплексное число. Не существует двух разных представлений одного и того же числа $z$.
В самом деле, пусть некоторое число записано двумя способами:
Соберём все действительные слагаемые слева, а мнимые — справа:
Слева мы видим действительное число. Значит, справа тоже должно стоять действительное число. Единственная ситуация, в которой это возможно:
Получается, что справа от знака равенства стоит ноль. Следовательно, слева тоже ноль:
Следовательно, исходные записи совпадают.
Поэтому имеет смысл следующее определение.
Определение. Два комплексных числа равны друг другу тогда и только тогда, когда равны их действительные части, а также равны их мнимые части:
Если хотя бы одна из частей не равна, то и сами числа не равны.
Поскольку от перестановки слагаемых сумма не меняется (сложение чисел — настолько суровая операция, что какие-то там «комплексные единицы» никак не нарушают его коммутативности), мы можем записать:
А вот перестановка мнимой и действительной части (если эти части разные) немедленно ведёт к нарушению равенства:
Подобно тому как точки с координатами (5; 7) и (7; 5) — это разные точки координатной плоскости, вот так и числа $5+7i$ и $7+5i$ — это разные числа. Помните об этом.:)
К координатной плоскости мы ещё вернёмся. А пока определим правила сложения и вычитания комплексных чисел.
3. Сложение и вычитание комплексных чисел
Выше мы проводили аналогию между комплексными числами и многочленами. Идём по этому пути дальше и вспоминаем, что многочлены можно складывать, группируя слагаемые и приводя подобные:
Точно так же можно определить и сложение (да и вычитание) двух комплексных чисел. Всё просто:
Другими словами, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные части и отдельно — мнимые. То же самое для вычитания.
Не нужно учить эти формулы. Дальше будут формулы умножения и деления — они ещё сложнее. Нужно понять ключевую идею: мы работаем с комплексными числами точно так же, как с многочленами. С небольшим дополнением: все степени комплексной единицы выше первой «сжигаются» прямо по определению самой единицы:
Небольшое замечание. В отличие от математики 5—6 классов, в серьёзной «взрослой» алгебре нет такого понятия как «вычитание». Зато есть понятие противоположного элемента и алгебраической суммы:
Всё это в полной мере относится и к комплексным числам. Там тоже есть противоположные:
\[z=a+bi\Rightarrow -z=\left( -a \right)+\left( -b \right)\cdot i\]
В общем, множество комплексных чисел — это абсолютно «нормальное» множество с понятной операцией сложения. Буквально через пару минут мы определим и умножение, но сначала давайте всё-таки запишем определение самого множества комплексных чисел.
Определение. Множество комплексных чисел — это множество чисел вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, $<^<2>>=-1$ — комплексная единица.
Записывается это так:
Не пугайтесь, когда увидите подобную запись где-нибудь в учебнике алгебры. По сути, это краткая запись всего того, о чём мы говорили выше. Ничего нового мы здесь не узнали.
А вот что действительно представляет интерес — сейчас узнаем.:)
4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Итак, комплексное число — это просто конструкция вида $a+bi$. И такая конструкция однозначно определяется парой действительных чисел $\left( a;b \right)$. Такую пару ещё называют упорядоченной. К примеру, (3; 17) и (17; 3) — это разные пары, которые задают разные комплексные числа.
Такие упорядоченные пары удобно рассматривать как координаты точек. По горизонтали (ось абсцисс) мы будем отмечать действительную часть числа, а по вертикали (ось ординат) — мнимую.
Определение. Комплексная плоскость — декартова система координат, где по горизонтали отмечается действительная часть комплексного числа, а по вертикали — мнимая.
Рассмотрим несколько примеров. Отметим на комплексной плоскости числа:
Как видим, привычные нам действительные числа располагаются по горизонтали — на оси абсцисс. Они состоят только из действительной части. Таким числом является $<_<3>>=4+0\cdot i$ (отмечено красным).
А ещё есть «чисто мнимые» комплексные числа, у которых вообще нет действительной части. Они располагаются по вертикали — на оси ординат. Таким числом является, например, $<_<4>>=0+2i$ (отмечено фиолетовым).
4.1. Ещё раз о сложении и вычитании
Такое представление чисел — в виде точек на комплексной плоскости — называется геометрической интерпретацией. Числа в таком виде удобно складывать и вычитать. По сути, всё сводится к сложению обычных векторов.
Допустим, мы хотим сложить два числа:
Отметим эти числа на комплексной плоскости, построим векторы из начала координат с концами в отмеченных точках, а затем просто сложим эти векторы (по правилу треугольника или параллелограмма — как пожелаете):
Координаты новой точки: (6; 2). Следовательно, сумма равна:
Аналогичный результат можно получить и алгебраически:
Как видим, алгебраические выкладки заняли гораздо меньше времени и места. Уже хотя бы потому что не потребовалось чертить систему координат.:)
Зачем же тогда нужна комплексная плоскость и геометрическая интерпретация? Всё встанет на свои места буквально через пару уроков, когда мы рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексных чисел, а также будем извлекать из этих чисел корни.
А чтобы подготовиться к этим урокам, рассмотрим ещё два ключевых определения.
5. Комплексно-сопряжённые и модуль числа
Для начала вспомним школьную алгебру. Работа с многочленами, 7-й класс:
Определение. Выражения вида $a+b$ и $a-b$ называются сопряжёнными. Их произведение
называется разностью квадратов и является одной из формул сокращённого умножения.
Важное замечание: в роли $a$ и $b$ может выступать что угодно. Например, в 8-м классе мы использовали сопряжённые для избавления от иррациональности в знаменателе:
В математических классах с помощью сопряжённых искали обратные числа, чтобы затем решать сложные показательные и логарифмические уравнения:
Теперь настало время комплексных чисел. В них тоже можно ввести понятие сопряжённых.
5.1. Комплексно-сопряжённые
Определение. Пусть дано комплексное число $z=a+bi$. Тогда комплексно-сопряжённым называется число
Комплексно-сопряжённые числа отмечаются чертой сверху.
Рассмотрим несколько примеров:
Видим, что комплексно-сопряжённое к «чисто мнимому» числу есть число, ему противоположное. А комплексно-сопряжённое к действительному числу есть само это число.
Зачем нужны комплексно-сопряжённые? Вспомним всё ту же формулу разности квадратов:
Итак, произведение числа на комплексно-сопряжённое даёт сумму квадратов действительной и мнимой части. Это ключевое свойство комплексно-сопряжённых, и оно позволяет нам рассмотреть следующее определение.
5.2. Модуль комплексного числа
Снова вспомним школьную алгебру. Модуль действительного числа определяют так:
\[\left| a \right|=\left\ < \begin& 1\cdot a,\quad a \gt 0 \\ & 0\cdot a,\quad a=0 \\ & \left( -1 \right)\cdot a,\quad a \lt 0 \\\end \right.\]
Ключевая идея: модуль числа — это всегда неотрицательная величина, равная расстоянию от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта. Но всё это происходит на числовой прямой. На комплексной плоскости к делу подключается теорема Пифагора.
Определение. Модуль комплексного числа — это величина, которая обозначается $\left| z \right|$ и считается по формуле:
Вновь обратимся к геометрической интерпретации:
Красным отмечен прямоугольный треугольник с катетами $\left| a \right|$ и $\left| b \right|$. По теореме Пифагора его гипотенуза как раз равна $\left| z \right|$:
Таким образом, модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки, соответствующей этому числу. В частности, при $b=0$ мы получаем классическое определение модуля для действительных чисел:
\[b=0\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt<<^<2>>>\]
Получается, что на множестве комплексных чисел нельзя ввести привычные нам понятия «больше» или «меньше». Поскольку каждое число характеризуется двумя независимыми параметрами (действительной и мнимой частью), нет универсальной меры, нет отношения порядка.
Можно считать это фундаментальным законом природы. Когда мы держим в голове больше одного параметра, нет больше универсального критерия успеха:
Поменяли работу — на новой зарплата выше, но коллектив хуже. Что важнее?
Ушли из универа — теперь есть время на работу, но нет формального образования. И вновь: что важнее?
Оценка одного и того же события будет меняться в зависимости от настроения и наших предпочтений.
Модуль числа нам пригодится в следующем уроке. А вот комплексно-сопряжённые мы будем применять уже сейчас.
6. Умножение и деление комплексных чисел
Комплексные числа можно не только складывать и вычитать, но даже умножать и делить друг на друга.
6.1. Умножение
С умножением ничего особенного.
Определение. Пусть даны два комплексных числа: $<_<1>>=a+bi$ и $<_<2>>=c+di$. Тогда их можно умножить:
Достаточно решить 10—15 таких примеров — и никакие специальные формулы и определения вам больше не понадобятся. То же самое и с делением.
6.2. Деление
Финальный бросок — попробуем разделить одно комплексное число на другое. Разумеется, делитель не должен быть нулём, иначе частное не определено.
Определение. Пусть даны два комплексных числа: $<_<1>>=a+bi$ и $<_<2>>=c+di$, причём $\left| <_<2>> \right|\ne 0$. Тогда их можно разделить:
Частное комплексных чисел вновь будет комплексным числом.
Саму формулу не нужно запоминать. Достаточно лишь отметить для себя, что мы умножили числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряжённое к знаменателю. Само деление можно выполнять напролом:
Тем не менее, даже после основательной тренировки умножение и особенно деление комплексных чисел остаётся трудоёмкой операцией, где можно допустить множество ошибок. Поэтому для таких операций (а также для кое-чего гораздо более серьёзного) математики придумали другую форму записи комплексных чисел — тригонометрическую. С ней мы и познакомимся на следующем уроке.:)
Видим, что $ a,b \in \mathbb 
