Что значит остаток при делении

Деление с остатком

Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.

Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело.

Деление с остатком записывают так:

Читается пример следующим образом:

« 17 » разделить на « 3 » получится « 5 » и остаток « 2 ».

Порядок решения примеров на деление с остатком.

Находим наибольшее число до « 17 », которое делится на « 3 » без остатка. Это « 15 ».

При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если получилось, что остаток больше делителя, значит, вы неверно нашли наибольшее число, которое делится на делитель без остатка.

При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число из пункта 1. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик. Покажем это на примере.

Методом подбора найдём на сколько надо умножить « 27 », чтобы получить ближайшее число к « 190 ».

Попробуем умножить на « 6 ».

Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.

Остаток больше делителя. Это означает, что « 6 » как множитель нам не подходит. Попробуем умножить делитель на « 7 ».

Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.

Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно. Запишем ответ.

Все вычисления выше можно представить в виде деления в столбик. Правила деления в столбик вы можете освежить в уроке «Деление в столбик» на нашем сайте.

Как проверить деление с остатком

1. Умножить неполное частное на делитель
2. Прибавить к полученному результату остаток
3. Сравнить полученный результат с делимым

Проверим ответ нашего примера.

Деление с остатком выполнено верно.

Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, остаток равен делимому.

• 6 : 10 = 0 ост (6)
• 14 : 112 = 0 ост (14)
• 31 : 45 = 0 ост (31)

Другими словами, если вы делите меньшее число на большее, неполное частное всегда будет равно нулю.

Источник

Остаток от деления

Остаток от деления в арифметике — один из результатов операции деления с остатком. Образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть по абсолютной величине меньше делителя. В случае, если числа делятся друг на друга без остатка, или нацело, то считают, что остаток равен нулю. Термин применяется также при делении многочленов.

Содержание

Натуральные числа

Остатком называется неотрицательное число, которое в сумме с произведением неполного частного и делителя даёт делимое. То есть,

если , то , где , то есть при делении на даёт (неполное) частное и остаток .

Остаток от деления a на b можно явно выразить через функцию «пол»:

Примеры

• При делении 7 на 2, неполным частным является 3, а остатком 1 (формально , остаток 1), так как
• При делении 56 на 7, частным является 8, а остатком 0 (формально , остаток 0), так как
• При делении 13 на 10, неполным частным является 1, а остатком 3 (формально , остаток 3), так как

Обобщения

Целые числа

даёт обобщение понятия остатка на случай деления целого числа a на целое число b. При этом выполняется соотношение и неравенство .

Вещественные числа

Если два числа и (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, может быть поделено на без остатка, при этом частное является также вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

если , то , где

(остаток 1,6)

Многочлены

При делении двух полиномов и степень остаточного полинома должна быть строго меньше степени делителя:

, причём Пример (здесь остатком является свободный член)

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Остаток от деления» в других словарях:

остаток (от деления) — — [Е.С.Алексеев, А.А.Мячев. Англо русский толковый словарь по системотехнике ЭВМ. Москва 1993] Тематики информационные технологии в целом EN remainder … Справочник технического переводчика

остаток целочисленного деления — модуль — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы модуль EN modulo … Справочник технического переводчика

Остаток — Остаток: В математике: Остаток от деления число, образующееся при делении с остатком. Остаток ряда ряд, полученный отбрасыванием n первых членов от исходного ряда. В астрономии: Остаток сверхновой газопылевое образование, результат… … Википедия

БЕЗУ ТЕОРЕМА — остаток от деления многочлена Рn(х) степени п на двучлен х b, где b число, равен Рп(b). Установлена Э. Безу в 1779 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Контрольное число — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия

Контрольная цифра — Контрольное число, контрольная цифра разновидность контрольной суммы, добавляется (обычно в конец) длинных номеров с целью первичной проверки их правильности. Применяется с целью уменьшения вероятности ошибки при обработке таких номеров: машинном … Википедия

Контрольное число — Эта статья требует доработки. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её. Надо разнести практическую информацию по соответствующим статьям. stas® 01:53, 14 сентября 2009 (MSD) Контрольное число, контрольная цифра разновидность контрольной су … Бухгалтерская энциклопедия

Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости». Содержание 1 Общий вид 2 Доказательство 3 О … Википедия

Пасхалия — собрание правил, на основании которых вычисляется день празднования Пасхи. На основании предписаний, изложенных в книге Исход, а также лунно солнечного календаря, окончательно принятого евреями в эпоху второго храма, еврейская Пасха празднуется… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

АРИФМЕТИКА — искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была… … Энциклопедия Кольера

Источник

Деление с остатком. Формула деления с остатком и проверка.

Деление с остатком.

Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:

Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.

a=b⋅c+d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Остаток от деления

Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.

Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.

Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.

Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.

Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)

Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8

Решение:
а) Делим столбиком:

258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6 Category: 5 класс, Натуральные числа Leave a comment

Источник