Что значит описать свойства функции по графику

Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.

теория по математике 📈 функции

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

График функции у=k/x выглядит следующим образом: По данному рисунку видно, что нулей функции не существует. Как найти нули функции?

1. Для того чтобы найти нули функции, которая задана формулой, надо подставить вместо у число нуль и решить полученное уравнение.
2. Если график функции дан на рисунке, то ищем точки пересечения графика с осью х.

Рассмотрим примеры нахождения нулей функции. Пример №1. Найти нули функции (если они существуют):

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

б) Аналогично во втором случае. Подставляем вместо у число 0 и решаем уравнение вида 0=(х + 76)(х – 95). Вспомним, что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Таким образом, так как у нас два множителя, составляем два уравнения: х + 76 = 0 и х – 95 = 0. Решаем каждое, перенося числа 76 и -95 в правую часть, меняя знаки на противоположные. Получаем х = – 76 и х = 95. Значит, нули функции это числа (-76) и 95.

в) в третьем случае: если вместо у подставить 0, то получится 0 = – 46/х, где для нахождения значения х нужно будет -46 разделить на нуль, что сделать невозможно. Значит, нулей функции в этом случае нет.

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

Рассмотрим по нашему рисунку, на какие промежутки разбивается область определения данной функции [-3; 7] ее нулями. По графику видно, что это 4 промежутка: [-3; -1), (-1;4), (4; 6) и (6; 7]. Помним, что значения из области определения смотрим по оси х.

На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-3; -1) и (4; 6), которые расположены ниже оси х. Зеленым цветом выделены части графика в промежутках (-1;4) и (6; 7], которые расположены выше оси х.

Значит, что в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

Функция принимает положительные значения в промежутках [-2; -1) и (3; 8). Обратите внимание, что эти части на рисунке выделены зеленым цветом.

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

На графике видно, что с увеличением значения х от -3 до 2 значения у тоже увеличиваются. Также с увеличением значения х от 5 до 7 значения у опять увеличиваются. Проще говоря, слева направо график идет вверх (синие линии). То есть в промежутках [-3; 2] и [5; 7] функция у=f(x) является возрастающей.

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Источник

Что значит описать свойства функции по графику

Функция

Область определения

Вершина параболы

Нули функции

Экстремумы

если a 0, то максимум в вершине

Область значений

Четность

ни четная, ни нечетная

Функция

Область определения

Область значений

Четность

Нули функции

Экстремумы

х = 0 — точка минимума

Монотонность

возрастает при х ϵ R

при х ≤ 0 убывает
при х > 0 возрастает

Функция

Область определения

Область значений

Четность

Нули функции

Экстремумы

Монотонность

при х 0 убывает

Функция

Область определения

Область значений

Нули функции

Экстремумы

Монотонность

возрастает при х ϵ D(f)

возрастает при х ϵ D(f)

Функция

y = a x , 0 x , a > 1

Область определения

Область значений

Нули функции

Экстремумы

Монотонность

убывает при х ϵ D ( f )

возрастает при х ϵ D ( f )

Функция

Область определения

Область значений

Нули функции

Экстремумы

Монотонность

убывает при х ϵ D ( f )

возрастает при х ϵ D ( f )

Функция

Область определения

Область значений

Нули функции

Четность

Периодичность

Экстремумы

Монотонность

Функция

Область определения

R кроме

R кроме

Источник

Основные элементарные функции: их свойства и графики

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

• постоянная функция (константа);
• корень n -ой степени;
• степенная функция;
• показательная функция;
• логарифмическая функция;
• тригонометрические функции;
• братные тригонометрические функции.

Постоянная функция

Постоянная функция определяется формулой: y = C ( C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C .

График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты ( 0 , С ) . Для наглядности приведем графики постоянных функций y = 5 , y = — 2 , y = 3 , y = 3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

Свойства постоянных функций:

• область определения – все множество действительных чисел;
• постоянная функция – четная;
• область значений – множество, составленное из единственного числа C ;
• постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
• постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
• асимптоты отсутствуют;
• точка прохождения функции на координатной плоскости – ( 0 ; С ) .

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y = x n ( n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

1. Корень n -й степени, n – четное число

Для наглядности укажем чертеж , на котором изображены графики таких функций: y = x , y = x 4 и y = x 8 . Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

• область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [ 0 , + ∞ ) ;
• когда x = 0 , функция y = x n имеет значение, равное нулю;
• данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
• область значений: [ 0 , + ∞ ) ;
• данная функция y = x n при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
• функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
• отсутствуют точки перегиба;
• асимптоты отсутствуют;
• график функции при четных n проходит через точки ( 0 ; 0 ) и ( 1 ; 1 ) .

1. Корень n -й степени, n – нечетное число

Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y = x 3 , y = x 5 и x 9 . На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

• область определения – множество всех действительных чисел;
• данная функция – нечетная;
• область значений – множество всех действительных чисел;
• функция y = x n при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
• функция имеет вогнутость на промежутке ( — ∞ ; 0 ] и выпуклость на промежутке [ 0 , + ∞ ) ;
• точка перегиба имеет координаты ( 0 ; 0 ) ;
• асимптоты отсутствуют;
• график функции при нечетных n проходит через точки ( — 1 ; — 1 ) , ( 0 ; 0 ) и ( 1 ; 1 ) .

Степенная функция

Степенная функция определяется формулой y = x a .

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

• когда степенная функция имеет целый показатель a , то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
• показатель степени может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0 a 1 ; a > 1 ; — 1 a 0 и a — 1 ;
• степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.

Степенная функция при нечетном положительном показателе

Разберем степенную функцию y = x a , когда a – нечетное положительное число, например, a = 1 , 3 , 5 …

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x (черный цвет графика), y = x 3 (синий цвет графика), y = x 5 (красный цвет графика), y = x 7 (зеленый цвет графика). Когда a = 1 , получаем линейную функцию y = x .

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

• область определения: x ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• область значений: y ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• функция является нечетной, поскольку y ( — x ) = — y ( x ) ;
• функция является возрастающей при x ∈ ( — ∞ ; + ∞ ) ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ ( — ∞ ; 0 ] и вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞ ) (исключая линейную функцию);
• точка перегиба имеет координаты ( 0 ; 0 ) (исключая линейную функцию);
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: ( — 1 ; — 1 ) , ( 0 ; 0 ) , ( 1 ; 1 ) .

Степенная функция при четном положительном показателе

Разберем степенную функцию y = x a , когда a – четное положительное число, например, a = 2 , 4 , 6 …

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x 2 (черный цвет графика), y = x 4 (синий цвет графика), y = x 8 (красный цвет графика). Когда a = 2 , получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

• область определения: x ∈ ( — ∞ ; + ∞ ) ;
• область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞ ) ;
• функция является четной, поскольку y ( — x ) = y ( x ) ;
• функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞ ) ; убывающей при x ∈ ( — ∞ ; 0 ] ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ ( — ∞ ; + ∞ ) ;
• очки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: ( — 1 ; 1 ) , ( 0 ; 0 ) , ( 1 ; 1 ) .

Степенная функция при нечетном отрицательном показателе

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – нечетное отрицательное число: y = x — 9 (черный цвет графика); y = x — 5 (синий цвет графика); y = x — 3 (красный цвет графика); y = x — 1 (зеленый цвет графика). Когда a = — 1 , получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

• область определения: x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) ;

Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 — 0 x a = — ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = — 1 , — 3 , — 5 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) ;
• функция является нечетной, поскольку y ( — x ) = — y ( x ) ;
• функция является убывающей при x ∈ — ∞ ; 0 ∪ ( 0 ; + ∞ ) ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ ( — ∞ ; 0 ) и вогнутость при x ∈ ( 0 ; + ∞ ) ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 , поскольку:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ ( x a — k x ) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда а = — 1 , — 3 , — 5 , . . . .

• точки прохождения функции: ( — 1 ; — 1 ) , ( 1 ; 1 ) .

Степенная функция при четном отрицательном показателе степени

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – четное отрицательное число: y = x — 8 (черный цвет графика); y = x — 4 (синий цвет графика); y = x — 2 (красный цвет графика).

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

• область определения: x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) ;

Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 — 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = — 2 , — 4 , — 6 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y ∈ ( 0 ; + ∞ ) ;
• функция является четной, поскольку y ( — x ) = y ( x ) ;
• функция является возрастающей при x ∈ ( — ∞ ; 0 ) и убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 , поскольку:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ ( x a — k x ) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда a = — 2 , — 4 , — 6 , . . . .

• точки прохождения функции: ( — 1 ; 1 ) , ( 1 ; 1 ) .

Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)

С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал — ∞ ; + ∞ , оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [ 0 ; + ∞ ) . Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Итак, разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0 a 1 .

Проиллюстрируем графиками степенные функции y = x a , когда a = 11 12 (черный цвет графика); a = 5 7 (красный цвет графика); a = 1 3 (синий цвет графика); a = 2 5 (зеленый цвет графика).

Иные значения показателя степени a (при условии 0 a 1 ) дадут аналогичный вид графика.

Свойства степенной функции при 0 a 1 :

• область определения: x ∈ [ 0 ; + ∞ ) ;
• область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞ ) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞ ) ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ ( 0 ; + ∞ ) ;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: ( 0 ; 0 ) , ( 1 ; 1 ) .

Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)

Разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a > 1 .

Проиллюстрируем графиками степенную функцию y = x a в заданных условиях на примере таких функций: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).

Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.

Свойства степенной функции при a > 1 :

• область определения: x ∈ [ 0 ; + ∞ ) ;
• область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞ ) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞ ) ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ ( 0 ; + ∞ ) (когда 1 a 2 ) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞ ) (когда a > 2 );
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: ( 0 ; 0 ) , ( 1 ; 1 ) .

Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)

Обращаем ваше внимание! Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал — ∞ ; 0 ∪ ( 0 ; + ∞ ) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество ( 0 ; + ∞ ) . Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y = x a при условии: — 1 a 0 .

Приведем чертеж графиков следующий функций: y = x — 5 6 , y = x — 2 3 , y = x — 1 2 2 , y = x — 1 7 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).

Свойства степенной функции при — 1 a 0 :

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда — 1 a 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 ;
• точка прохождения функции: ( 1 ; 1 ) .

Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)

На чертеже ниже приведены графики степенных функций y = x — 5 4 , y = x — 5 3 , y = x — 6 , y = x — 24 7 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).

Свойства степенной функции при a — 1 :

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда a — 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y ∈ ( 0 ; + ∞ ) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 ;
• точка прохождения функции: ( 1 ; 1 ) .

Когда a = 0 и х ≠ 0 , получим функцию y = x 0 = 1 , определяющую прямую, из которой исключена точка ( 0 ; 1 ) (условились, что выражению 0 0 не будет придаваться никакого значения).

Показательная функция

Показательная функция имеет вид y = a x , где а > 0 и а ≠ 1 , и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a . Рассмотрим частные случаи.

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы ( 0 a 1 ) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).

Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0 a 1 .

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

• область определения – все множество действительных чисел;
• область значений: y ∈ ( 0 ; + ∞ ) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
• функция имеет вогнутость при x ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к + ∞ ;
• точка прохождения функции: ( 0 ; 1 ) .

Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица ( а > 1 ) .

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

• область определения – все множество действительных чисел;
• область значений: y ∈ ( 0 ; + ∞ ) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к — ∞ ;
• точка прохождения функции: ( 0 ; 1 ) .

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция имеет вид y = log a ( x ) , где a > 0 , a ≠ 1 .

Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x ∈ 0 ; + ∞ .

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0 a 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

• область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к + ∞ ;
• область значений: y ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• логарифмическая функция является убывающей на всей области определения;
• функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точка прохождения функции: ( 1 ; 0 ) .

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже – графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

• область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к — ∞ ;
• область значений: y ∈ — ∞ ; + ∞ (все множество действительных чисел);
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• логарифмическая функция является возрастающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точка прохождения функции: ( 1 ; 0 ) .

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f ( x + T ) = f ( x ) ( T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

1. Функция синус: y = sin ( х )

График данной функции называется синусоида.

Свойства функции синус:

• область определения: все множество действительных чисел x ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• наименьший положительный период: Т = 2 π ;
• функция обращается в нуль, когда x = π · k , где k ∈ Z ( Z – множество целых чисел);
• область значений: y ∈ — 1 ; 1 ;
• данная функция – нечетная, поскольку y ( — x ) = — y ( x ) ;
• функция является возрастающей при x ∈ — π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• функция синус имеет локальные максимумы в точках π 2 + 2 π · k ; 1 и локальные минимумы в точках — π 2 + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z ;
• функция синус вогнутая, когда x ∈ — π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
• точки перегиба имеют координаты π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• асимптоты отсутствуют.

График данной функции называется косинусоида.

Свойства функции косинус:

• область определения: x ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• наименьший положительный период: Т = 2 π ;
• функция обращается в нуль, когда x = π 2 + π · k при k ∈ Z ( Z – множество целых чисел);
• область значений: y ∈ — 1 ; 1 ;
• данная функция – четная, поскольку y ( — x ) = y ( x ) ;
• функция является возрастающей при x ∈ — π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
• функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2 π · k ; 1 , k ∈ Z и локальные минимумы в точках π + 2 π · k ; — 1 , k ∈ z ;
• функция косинус вогнутая, когда x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ — π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• асимптоты отсутствуют.

График данной функции называется тангенсоида.

Свойства функции тангенс:

• область определения: x ∈ — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , где k ∈ Z ( Z – множество целых чисел);
• Поведение функции тангенс на границе области определения lim x → π 2 + π · k + 0 t g ( x ) = — ∞ , lim x → π 2 + π · k — 0 t g ( x ) = + ∞ . Таким образом, прямые x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
• наименьший положительный период: Т = π ;
• функция обращается в нуль, когда x = π · k при k ∈ Z ( Z – множество целых чисел);
• область значений: y ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• данная функция – нечетная, поскольку y ( — x ) = — y ( x ) ;
• функция является возрастающей при — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z ;
• функция тангенс является вогнутой при x ∈ [ π · k ; π 2 + π · k ) , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ ( — π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• точки перегиба имеют координаты π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

График данной функции называется котангенсоида.

Свойства функции котангенс:

• область определения: x ∈ ( π · k ; π + π · k ) , где k ∈ Z ( Z – множество целых чисел);

Поведение функции котангенс на границе области определения lim x → π · k + 0 t g ( x ) = + ∞ , lim x → π · k — 0 t g ( x ) = — ∞ . Таким образом, прямые x = π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;

• наименьший положительный период: Т = π ;
• функция обращается в нуль, когда x = π 2 + π · k при k ∈ Z ( Z – множество целых чисел);
• область значений: y ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• данная функция – нечетная, поскольку y ( — x ) = — y ( x ) ;
• функция является убывающей при x ∈ π · k ; π + π · k , k ∈ Z ;
• функция котангенс является вогнутой при x ∈ ( π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ [ — π 2 + π · k ; π · k ) , k ∈ Z ;
• точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

1. Функция арксинус: y = a r c sin ( х )

Свойства функции арксинус:

• область определения: x ∈ — 1 ; 1 ;
• область значений: y ∈ — π 2 ; π 2 ;
• данная функция – нечетная, поскольку y ( — x ) = — y ( x ) ;
• функция является возрастающей на всей области определения;
• функция арксинус имеет вогнутость при x ∈ 0 ; 1 и выпуклость при x ∈ — 1 ; 0 ;
• точки перегиба имеют координаты ( 0 ; 0 ) , она же – нуль функции;
• асимптоты отсутствуют.

1. Функция арккосинус: y = a r c cos ( х )

Свойства функции арккосинус:

• область определения: x ∈ — 1 ; 1 ;
• область значений: y ∈ 0 ; π ;
• данная функция — общего вида (ни четная, ни нечетная);
• функция является убывающей на всей области определения;
• функция арккосинус имеет вогнутость при x ∈ — 1 ; 0 и выпуклость при x ∈ 0 ; 1 ;
• точки перегиба имеют координаты 0 ; π 2 ;
• асимптоты отсутствуют.

1. Функция арктангенс: y = a r c t g ( х )

Свойства функции арктангенс:

• область определения: x ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• область значений: y ∈ — π 2 ; π 2 ;
• данная функция – нечетная, поскольку y ( — x ) = — y ( x ) ;
• функция является возрастающей на всей области определения;
• функция арктангенс имеет вогнутость при x ∈ ( — ∞ ; 0 ] и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞ ) ;
• точка перегиба имеет координаты ( 0 ; 0 ) , она же – нуль функции;
• горизонтальные асимптоты – прямые y = — π 2 при x → — ∞ и y = π 2 при x → + ∞ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).

1. Функция арккотангенс: y = a r c c t g ( х )

Свойства функции арккотангенс:

• область определения: x ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• область значений: y ∈ ( 0 ; π ) ;
• данная функция – общего вида;
• функция является убывающей на всей области определения;
• функция арккотангенс имеет вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞ ) и выпуклость при x ∈ ( — ∞ ; 0 ] ;
• точка перегиба имеет координаты 0 ; π 2 ;
• горизонтальные асимптоты – прямые y = π при x → — ∞ (на чертеже – линия зеленого цвета) и y = 0 при x → + ∞ .

Источник