Что значит однородный диск

Савельев И.В. Курс общей физики, том I

Загрузить всю книгу

Титульный лист

Главная редакция физико-математической литературы

Механика, колебания и волны,

КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ, ТОМ I

Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.

Предисловие к четвертому изданию

При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.

Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.

Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.

Ноябрь 1969 г. И. Савельев

Из предисловия к четвертому изданию

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.

При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.

Источник

Момент инерции диска. Явление инерции

Многие люди замечали: когда они едут в автобусе, и он увеличивает свою скорость, их тела прижимаются к креслу. И наоборот, при остановке транспортного средства пассажиров будто выбрасывает из посадочных мест. Все это происходит из-за инерции. Рассмотрим это явление, а также объясним, что такое момент инерции диска.

Что представляет собой инерция?

Под инерцией в физике понимают способность всех тел, обладающий массой, сохранять покоящееся состояние либо двигаться с одинаковой скоростью в одном и том же направлении. Если необходимо изменить механическое состояние тела, то приходится прикладывать некоторую внешнюю силу к нему.

Вам будет интересно: Особенности и отличия австралийского английского языка от британского

В данном определении следует обратить внимание на два момента:

• Во-первых, это вопрос состояния покоя. В общем случае такого состояния не существует в природе. Все в ней находится в постоянном движении. Тем не менее, когда мы едем в автобусе, то нам кажется, что водитель не двигается со своего места. В таком случае идет речь об относительности движения, то есть относительно пассажиров водитель находится в покое. Отличие между состояниями покоя и равномерного движения заключается лишь в системе отсчета. В примере выше пассажир в состоянии покоя относительно автобуса, в котором едет, но движется относительно остановки, которую проезжает.
• Во-вторых, инерция тела пропорциональна его массе. Наблюдаемые нами объекты в жизни все имеют ту или иную массу, поэтому все они характеризуются некоторой инертностью.

Таким образом, инерция характеризует степень трудности изменения состояния движения (покоя) тела.

Инерция. Галилей и Ньютон

Когда изучают вопрос инерции в физике, то как правило, связывают ее с первым ньютоновским законом. Этот закон гласит:

Любое тело, на которое не действуют внешние силы, сохраняет свое состояние покоя либо равномерного и прямолинейного движения.

Считается, что этот закон сформулировал Исаак Ньютон, и произошло это в середине XVII века. Отмеченный закон справедлив всегда и во всех процессах, описываемых классической механикой. Но когда ему приписывают фамилию английского ученого, следует сделать некоторую оговорку.

В 1632 году, то есть за несколько десятков лет до постулирования закона инерции Ньютоном, итальянский ученый Галилео Галилей в одной из своих работ, в которой он сравнивал системы мира Птолемея и Коперника, по сути сформулировал 1-й закон «Ньютона»!

Галилей говорит, что если тело движется по гладкой горизонтальной поверхности, и силами трения и сопротивления воздуха можно пренебречь, то это движение будет сохраняться вечно.

Вращательное движение

Приведенные выше примеры рассматривают явление инерции с точки зрения прямолинейного перемещения тела в пространстве. Однако существует еще один тип движения, который распространен в природе и Вселенной — это вращение вокруг точки или оси.

Масса тела характеризует его инерционные свойства поступательного движения. Для описания же аналогичного свойства, которое проявляет себя при вращении, вводят понятие момента инерции. Но перед тем как рассматривать эту характеристику, следует познакомиться с самим вращением.

Круговое перемещение тела вокруг оси или точки описывается двумя важными формулами. Ниже они приводятся:

В первой формуле L — это момент импульса, I — момент инерции, ω — угловая скорость. Во втором выражении α — это ускорение угловое, которое равно производной по времени от угловой скорости ω, M — момент силы системы. Он рассчитывается как произведение результирующей внешней силы на плечо, к которому она приложена.

Первая формула описывает вращательное движение, вторая — его изменение во времени. Как видно, в обеих этих формулах присутствует момент инерции I.

Момент инерции

Сначала приведем его математическую формулировку, а затем объясним физический смысл.

Итак, момент инерции I рассчитывается следующим образом:

Если перевести это выражение с математического на русский язык, то оно означает следующее: все тело, которое имеет некоторую ось вращения O, разбивается на мелкие «объемчики» массой mi, находящиеся на расстоянии ri от оси O. Момент инерции рассчитывается путем возведения в квадрат этого расстояния, его умножения на соответствующую массу mi и сложения всех полученных слагаемых.

Если разбить все тело на бесконечно малые «объемчики», тогда сумма выше будет стремиться к следующему интегралу по объему тела:

I = ∫V(ρ *r2dV), где ρ — плотность вещества тела.

Из приведенного математического определения следует, что момент инерции I зависит от трех важных параметров:

• от значения массы тела;
• от распределения массы в теле;
• от положения оси вращения.

Физический смысл момента инерции заключается в том, что он характеризует, насколько «тяжело» привести в движение вращения данную систему или изменить ее скорость вращения.

Момент инерции диска однородного

Полученные в предыдущем пункте знания применимы для расчета момента инерции однородного цилиндра, который в случае h Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Источник

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач

• 12 января 2021 г.
• 7 минут
• 344 681

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Источник

Что значит однородный диск

2017-06-03
Вычислить момент инерции:
а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина $b = 2,0 мм$ и радиус $R = 100 мм$;
б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса $m$ и радиус его основания $R$.

(а) Рассмотрим элементарный диск толщиной $dx$. Момент инерции этого элемента вокруг оси $z$, проходящей через его центр масс.

где $\rho =$ плотность материала пластины и $S =$ площадь поперечного сечения пластины. Таким образом, искомый момент инерции

$I_ = \frac< \rho SR^<2>> <2>\int_<0>^ dx = \frac> <2>\rho Sb = \frac< \pi> <2>\rho b R^<4>$ (as $S = \pi R^<2>$ ) Подставив все значения, $I_ = 2 гм \cdot м^<2>$

(б) Рассмотрим диск элемента радиуса $r$ и толщину $dx$ на расстоянии $x$ от точки 0. Тогда $r = x tg \alpha$ и объем диска

$= \pi x^ <2>tg^ <2>\alpha dx$

Следовательно, его масса $dm = \pi x^ <2>tg \alpha dx \cdot \rho$ (где $\rho = $ Плотность конуса $= m / \frac<1> <3>\pi R^ <2>h$ )

Момент инерции этого элемента, вокруг оси OA,

$dI = dm \frac> <2>= ( \pi x^ <2>tg^ <2>\alpha dx ) \frac tg^ <2>\alpha> <2>= \frac< \pi \rho> <2>x^ <4>tg^ <2>\alpha dx$

Таким образом, искомый момент инерции $I = \frac< \pi \rho> <2>tg^ <4>\alpha \int_<0>^ x^ <4>dx = \frac < \pi \rho R^<4>\cdot h^<5>><10h^<4>>$ (Как $tg \alpha = \frac$)

следовательно $I = \frac<3m r^<2>><10>$ ( подставляя $\rho = \frac<3m> < \pi R^<2>h>$ )

Источник

Читайте также:  Что значит школьные праздники