Что значит общий вид функции

Содержание

Функция
1. Понятие функции
2. Cвойства функций
Глава 39. Понятие функции. Основные свойства функций

Функция

Главная
Репетиторы
Учебные материалы
Контакты

Главная > Учебные материалы > Математика: Функция


1.Понятие функции. 2.Свойства функций. 3.Основные элементарные функции.

1. Понятие функции

Понятие «функция» является одним из основных понятий в математике. Под функцией понимают некий закон, по которому одна переменная величина зависит от другой. Согласно определению, если каждому значению переменной х множества Х ставится в соответствие одно определенное значение переменной у множества Y, то такое соответствие называется функцией. Исходя из этого, можно дать другую формулировку: однозначное соответствие двух переменных величин на множестве действительных чисел R называется функцией.
Переменая х называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной от x, буква f обозначает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции, а множество Y, соответственно, областью значений функции.

2. Cвойства функций

1.Четность и нечетность. Функция f(x) называется четной, если ее значения симметричны относительно оси OY, т.е. f(-x) = f(x). Функция f(x) называется нечетной, если ее значение изменяется на противоположное при изменении переменной х на -х , т.е. f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется функцией общего вида.

2.Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при x1 ) x2, f(x1) ) f(x2).

3.Периодичность. Если значение функции f(x) повторяется через определенный период Т, то функция называется периодической с периодом Т ≠ 0 , т.е. f(x + T) = f(x). В противном случае непериодической.

4. Ограниченность. Функция f (x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0 , что для любого x, принадлежащего промежутку Х, | f (x) | 0 a≠1)

область определения (-∞,∞)
область значений (0; ∞)
общего вида
возрастает на (-∞,∞), если a>1;
убывает на (-∞,∞), если 0 непериодическая

Логарифмическая функция

у = log ₐ x (a>0 a≠1)

область определения (0,∞)
область значений (-∞; ∞)
общего вида
возрастает на (0,∞), если a>1;
убывает на (0,∞), 0 непериодическая

Тригонометрические функции

y = sin x

область определения (-∞; ∞)
область значений [-1; 1]
нечетная
возрастает на [-π/2 + 2πn, π/2 + 2πn];
убывает на [π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn], nϵZ;
период Т=2π

y = cos x

область определения (-∞; ∞)
область значений [-1; 1]
четная
возрастает на [-π + 2πn, 2πn];
убывает на [2πn, π + 2πn], nϵZ;
период Т=2π

y = tg x

область определения
(-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;
область значений (-∞; ∞)
нечетная
возрастает на (-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;
период Т=π

y = ctg x

область определения
(πn, π + πn) nϵZ;
область значений (-∞; ∞)
нечетная
убывает на (πn, π + πn) nϵZ;
период Т=π

y = arcsin x

область определения [-1; 1]
область значений [-π/2; π/2]
нечетная
возрастает на [-1; 1]

y = arccos x

область определения [-1; 1]
область значений [0; π]
функция центрально-симметрична относительно точки (0; π/2)
убывает на [-1; 1]

y = arctg x

область определения (-∞; ∞)
область значений [-π/2; π/2]
нечетная
возрастает на (-∞; ∞)

y = arcctg x

область определения (-∞; ∞)
область значений [0; π]
ни четная, ни нечетная
убывает на (-∞; ∞)

Источник

Глава 39. Понятие функции. Основные свойства функций

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение.

Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная p.

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется Параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Например, при равномерном движении S = vt, где путь S и время t – переменные величины, а v – параметр.

Если каждому элементу множества ( ) ставится в соответствие вполне определенный элемент множества ( ), то говорят, что на множестве задана Функция .

При этом называется Независимой переменной (или аргументом), –зависимой переменной, А буква обозначает закон соответствия.

Множество Называется Областью определения (или Существования) функции, а множество – Областью значений функции. Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т. е. множество таких значений , при которых функция вообще имеет смысл.

Например, область определения функции есть полуинтервал , так как ; если же переменная обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии областью определения функции будет отрезок .

Способы задания функций

Задать функцию – значит Указать закон, по которому, согласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие значение функции из области значений функций. Существует три основных способа задания функций: Табличный, аналитический и графический.

Табличный способ Состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента И соответствующие значения функции , например таблица логарифмов. Табличный способ имеет широкое применение в различных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т. п.

Аналитический способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул. Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , рассматриваемая выше, задана аналитически. Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

Имеет два аналитических выражения, используемых при различных значениях аргумента.

Графический способ Состоит в том, что соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях и употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т. д.).

Основные свойства функции

1. Четность и нечетность.

Функция называется Четной, если для любых значений из области определения И Нечетной, Если . В противном случае функция называется функцией Общего вида.

Например, функция является четной, а функция – нечетной. Функция является функцией общего вида, так как и И .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция называется Возрастающей (Убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть и . Тогда функция возрастает на промежутке X, если и убывает, если .