Что значит обратные числа 6 класс

Урок 17 Бесплатно Взаимно обратные числа

В этом уроке мы узнаем, какие числа называются взаимно обратными, как найти число, обратное данному, а также разберем все эти случаи для смешанных чисел.

Взаимно обратные числа

Введем определение: взаимно обратными числами называются такие два числа, произведение которых равняется единице.

То есть, если имеются две обыкновенных дроби, каждую из которых нельзя сократить, то необходимо ответить на вопрос: являются ли они взаимно обратными? Для этого достаточно проверить два равенства:

1. числитель первой дроби равняется знаменателю второй
2. числитель второй дроби равняется знаменателю первой

Можно не запоминать что с чем сравнивать. Если начнем записывать выражение для произведения, то заметим, что в случае взаимно обратных чисел числители и знаменатели сократятся, и результатом будет единица.

Перед сравнением важно, чтобы дроби уже были сокращены!

Допустим, имеются две дроби: \(\mathbf<\frac<2><3>>\) и \(\mathbf<\frac<6><4>>\)

Если к ним просто применить признак и сравнить по отдельности числитель первой дроби с знаменателем второй и наоборот, то мы заменим, что равенства не выполняются. Но, если их перемножить, мы заметим, что произведение равняется 1, следовательно, они являются взаимно обратными.

Итак, имеются два способа проверить, являются ли числа взаимно обратными.

1. по определению: перемножить два числа и проверить, является ли их произведение единицей
2. по признаку: сократить оба числа, проверить равенство числителя первой дроби и знаменателя второй, а также равенство знаменателя первой дроби и числителя второй

Пример 1

Являются ли числа \(\mathbf<\frac<2><5>>\) и \(\mathbf<\frac<3><2>>\) взаимно обратными?

Воспользуемся вторым способом. Как можно заметить, дроби уже сокращены.

Сравним числитель первой дроби — 2 и знаменатель второй дроби — 2. Как видим, они равны, идем дальше.

Сравниваем числитель второй дроби — 3 со знаменателем первой дроби — 5. 3 не равно 5, значит, числа \(\mathbf<\frac<2><5>>\) и \(\mathbf<\frac<3><2>>\) не являются взаимно обратными.

Ответ: не являются.

Пример 2

Являются ли числа \(\mathbf<\frac<2><5>>\) и \(\mathbf<\frac<5><2>>\) взаимно обратными?

Воспользуемся первым способом.

В процессе умножения все множители в числителе и знаменателе сократились и результатом произведения оказалась единица.

Значит \(\mathbf<\frac<2><5>>\) и \(\mathbf<\frac<5><2>>\) являются взаимно обратными.

Рассмотрим еще один момент.

Допустим, нас просят проверить, являются ли взаимно обратными два числа, одно из которых является обыкновенной дробью, а второе натуральным числом.

В таком случае нам достаточно представить натуральное число в виде дроби, у которой числитель будет равняться данному натуральному числу, а знаменатель единице.

Дальше можно действовать одним из двух разобранных способов.

Пример 3

Являются ли числа \(\mathbf<\frac<2><126>>\) и 63 взаимно обратными?

Представим 63 как обыкновенную дробь.

Далее воспользуемся вторым способом.

Теперь сравним числитель первой дроби со знаменателем второй: единица равна единице.

Сравним знаменатель первой дроби с числителем второй: 63 равно 63

Делаем вывод, что числа \(\mathbf<\frac<2><126>>\) и 63 являются взаимно обратными.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Обратные числа

Возьмём дробь

5

8

и «перевернём» её, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь

8

5

.
Дробь

5

8

называют обратной дроби

8

5

.
Если теперь дробь

8

5

опять «перевернуть», мы получим исходную дробь

5

8

. Поэтому такие дроби как

5

8

и

8

5

называют взаимно обратными.

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

• записать его в виде неправильной дроби;
• полученную дробь «перевернуть».

Пример. Найти число обратное смешанному числу:

• Запишем смешанное число в виде неправильной дроби.
• Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:

Взаимно обратные числа обладают важным свойством.

Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Пример произведения обратных дробей.

Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.

Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.

Источник

Взаимно обратные числа

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение взаимно обратных чисел

С предыдущих уроков математики мы знаем: если прибавить или вычесть из числа нуль — оно не изменится. Точно также, если умножить или разделить число на единицу.

Ноль — нейтральный элемент для сложения и вычитания. При этом числа, которые в сумме дают ноль, называют противоположными.

Единица — нейтральный элемент для умножения и деления. Поэтому симметричными называют числа, чье произведение дает единицу.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Обратное число к данному числу — это такое число, которое мы умножаем на данное число и получаем единицу.

Если числа a и b взаимно обратные, то можно сказать, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Также можно говорить, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a.

Приведем примеры взаимно обратных чисел. Так как произведение двух единиц равно 1, то по определению числа 1 и 1 — взаимно обратные.

Определение взаимно обратных чисел относится к любым числам — натуральным, целым, действительным, комплексным.

Как найти число, обратное данному числу

На математике в 6 классе часто встречаются задания по нахождению числа, обратного данному. В общем случае число, обратное отличному от нуля числу a, записывается в виде дробного выражения 1/a или как a -1 , так как и a * a -1 = 1. Но бывают случаи, когда 1/a можно сократить.

Иногда число, обратное данному числу, очевидно. Так бывает с натуральными числами и обыкновенными дробями. В других случаях приходится проводить вычисления. Например, с иррациональными и комплексными числами.

Рассмотрим каждый отдельный случай нахождения числа, обратного данному числу.

Число, обратное обыкновенной дроби

Числом, обратным обыкновенной дроби a/b, является дробь b/a.

Чтобы это проверить, выполним умножение обыкновенных дробей a/b и b/a — получим 1. Значит дроби a/b и b/a — взаимно обратные числа.

Если числитель и знаменатель дроби a/b поменять местами, то получится дробь b/a, обратная дроби a/b.

Это правило значительно экономит время. Можно сразу записать число, обратное данной обыкновенной дроби без каких-либо вычислений.

• Например, обратным числом дроби 7/9 является дробь 9/7, а число, обратное обыкновенной дроби 127/64, есть дробь 64/127.

Число, обратное натуральному числу

Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно записать натуральное число как дробь со знаменателем 1.

Пусть нам дано натуральное число n, и нужно записать число, обратное числу n. Так как натуральное число n равно дроби n/1, то, поменяв местами числитель и знаменатель этой дроби, получим дробь 1/n, которая и является числом, обратным натуральному числу n.

Итак, натуральному числу n обратным числом является число 1/n, то есть, дробь с числителем 1 и знаменателем n. Значит n и 1/n — взаимно обратные числа.

• Например, узнаем, какое число взаимно обратное натуральному числу 20 — дробь 1/20, а число 1/6 — обратное натуральному числу 6.

Отдельно отметим число, обратное натуральному числу 1. Число, обратное единице, это единица. Пара взаимно обратных чисел 1 и 1 уникальна тем, что составляющие ее числа равны, других таких пар взаимно обратных чисел не существует.

Найти число, обратное смешанному числу

Напомним, что смешанное число выглядит так: A b/c. Чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, а уже после найти число, обратное этой дроби. Как это работает рассмотрим на примере.

Пример

Найти число, обратное смешанному числу

Сначала выполним перевод смешанного числа в неправильную дробь:

Число, обратное дроби 65/9, есть дробь 9/65. Поэтому, смешанному числу обратно число 9/65.

Ответ: и 9/65 взаимно обратные числа.

Найти число, обратное десятичной дроби

Конечную десятичную дробь или периодическую десятичную дробь можно заменить обыкновенной дробью. Поэтому найти число, обратное конечной или периодической десятичной дроби, можно через поиск числа, которое обратно обыкновенной дроби. Разберемся на примерах.

Пример 1

Найти число, которое обратно десятичной дроби 5,128.

Переведем конечную десятичную дробь в обыкновенную:

Числом, обратным полученной дроби, является обыкновенная дробь 125/641. Это и есть решение задачи.

Пример 2

Какое число является обратным для периодической десятичной дроби 2,(18)?

Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную:

Обратная дробь для 24/11 — 11/24. Значит, числом, обратным исходной десятичной дроби 2,(18), является дробь 11/24.

Число, которое обратно бесконечной непериодической десятичной дроби принято записывать в виде дробного выражения с числителем 1 и знаменателем, равным заданной десятичной дроби. Например, бесконечной десятичной дроби 1,5639056242. обратно число 1/1,5639056242… .

Так как бесконечным непериодическим десятичным дробям отвечают иррациональные числа, то числа, которые обратны им, также записывают в виде дробных выражений.

Например, иррациональному числу обратно число , а иррациональному числу обратно число

Взаимно обратные числа с корнями

Важно запомнить, что вид взаимно обратных чисел может отличаться от a и 1/a. Поэтому нужно быть внимательным. Особенно это касается чисел, записи которых содержат знак корня. Рассмотрим на примере, как это бывает.

Пример

Проверить, можно ли назвать числа 4 — 2√3 и взаимно обратными.

Вычислим произведение этих чисел:

Так как в ответе мы получили единицу и мы знаем, что произведение взаимно обратных чисел равно 1, значит эти числа можно назвать взаимно обратными.

Ответ: да, число взаимно обратны.

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, которое равно какой-то степени числа a. То есть, число a возведено в степень b. Обратным числу ab будет число a-b. Проверим.

Пример

Написать число, обратное степени 6 -√7 + 2

Согласно предыдущему правилу, искомое число — 6 -(-√7 + 2) = 6 √7 — 2.

Взаимно обратные числа с логарифмами

У логарифма числа a по основанию b обратное число равно логарифму числа b по основанию a. То есть log _b a и log _a b — взаимно обратные числа.

Действительно, из свойств логарифма следует, что

, откуда log _b a * log _a b = 1.

Пример

Записать число, которое обратно логарифму числа 3 по основанию

Число, обратное числу , выглядит так:

Ответ:

Найти число, обратное комплексному числу

Сейчас узнаем, как находить число, обратное комплексному числу z.

Если комплексное число задано в алгебраической форме, то есть, в виде z = x + i * y, то обратное ему число есть . Последнее выражение можно упростить, если умножить числитель и знаменатель на число x — i * y.

Пример 1

Найти число, обратное комплексному числу 4 + i.

4 + i =

Умножим числитель и знаменатель полученного дробного выражения на число
4 + i.

Ответ:

Когда комплексное число задано в тригонометрической форме как z = r * (cosφ + i * sinφ) или в показательной форме как z = r * e i*φ , то обратное ему число выглядит так

или

Действительно, и

Пример 2

Определить число, обратное комплексному числу

В этом примере r = 2 и , откуда 1/r = 1/2 и

Следовательно, нужное нам обратное число равно

Являются ли числа взаимно обратными? Да, мы только что это доказали.

Ответ:

Неравенство с суммой взаимно обратных чисел

В математике есть специальная теорема о сумме взаимно обратных чисел — давайте ее сформулируем и узнаем ключевое свойство.

Теорема

Сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.

Доказательство теоремы:

Нам известно, что среднее арифметическое положительных чисел a и b всегда больше или равно среднему геометрическому этих чисел, то есть,

Если в качестве b мы возьмем число, обратное a, то полученное неравенство будет выглядеть так: откуда и , что и требовалось доказать.

Пример

Вычислить сумму взаимно обратных чисел 2/3 и 3/2,

Источник