Что значит нулевые цифры

Математика с нуля: чем интересно число 0?

Попробуем делить на ноль и узнаем больше об истории и свойствах числа, расположенного ровно посередине числовой оси.

Ноль — это, пожалуй, первое в нашей жизни загадочное число. Мы много слышали, например, о чудесах числа Пи, но мало кто имеет с ним дело в повседневной жизни. Не говоря уже о комплексных числах. А вот с нолём мы сталкиваемся повсюду: даже на клавиатуре обозначающая его цифра завершает ряд.

Но любой понимает, что с этим числом не всё в порядке. В детстве, когда мы ещё думали, что арифметика нужна только для счёта, нам объясняли, что ноль — это отсутствие. И это было странно.

Читайте также :

Поэтому и в истории человечества это число появилось поздно. Торговцы активно использовали счёт, но продавать, например, «ноль овец» не имело смысла. Впрочем, как и отрицательное их количество.

Вышло любопытно: например, древние греки не использовали ноль в принципе, зато уже знали об иррациональных числах, таких как √2. Это было связано с их любовью к геометрии: если у прямоугольного треугольника стороны будут равны 1, длина гипотенузы вычисляется как √2.

Но как же десятеричная система счёта? Ведь даже чтобы записать «10», нам нужен ноль. Но здесь дело только в записи числа: если вы вспомните римские цифры, то поймёте, что десятку можно представить и как Х. Конечно, такая форма была не особенно удобной, но даже вавилоняне, пользовавшиеся позиционной системой счисления (то есть, близкой нашей, а не древнеримской), долго обходились без ноля. Некоторое время его просто не было: числа, скажем, 36 и 306 не различались по написанию и определялись по контексту. Потом его роль стали выполнять два клинышка, вроде вот этих: 3’’6. Но и тогда они самостоятельной роли не играли — не было числа «ноль».

Сложно сказать, когда оно в действительности появилось. При этом есть свидетельства, что в Индии его использовали еще до нашей эры, после чего его переняли арабы — а вот на Западе оно стало входить в практику только в XIII веке усилиями итальянского математика Леонарда Фибоначчи. И то, его любовь к арабскому счислению долго не воспринималась всерьёз.

Известно, что первые слова, обозначавшие количество, имели конкретное применение — «пять лошадей» и «пять лодок» были для древнего человека разными категориями. Чтобы изобрести ноль, требовалось перейти на новый уровень абстрактного мышления.

Но если мы поверим в ноль, его свойства поразят воображение.

Возвести в нулевую степень

Ещё по этой теме :

С самыми простыми операциями проблем не возникает: прибавить ноль или вычесть его из числа — число остаётся тем же, умножить на ноль — получится ноль… Всё это укладывается в рамки здравого смысла. Сложнее становится при возведении в нулевую степень. В школе сообщают, что результатом в каждом случае будет единица. Откуда она взялась?

Тут рассудок уже пасует. Степень — это, как известно, то, сколько раз мы берём число как множитель самого себя.

Если степень нулевая, число не является множителем ни разу, но… как из этой пустоты «родилась» единица?

Чаще всего в школе этот вопрос решается догматически: на объяснения не остаётся желания и сил. А ведь именно здесь пролегает одна из границ, за которой простая арифметика, наглядно показываемая на яблоках и прочих исчислимых вещах, становится уже чистой и прекрасной абстракцией.

Вспомним правила обращения с числами, возводимыми в степень, и представим себе следующий пример:

В отношениях с одинаковыми основаниями степеней мы можем делать следующее:

Так вот чудесным образом, благодаря только принятию ноля как числа, мы переходим к новому странному открытию, и математика совершает куда более далёкий прыжок от реальности, чем просто представление «у меня ноль конфет».

Но именно внутренняя логика системы, которая может быть понята умом, но не может быть представлена в вещественном мире — это и есть красота абстракции.

Поделить на ноль

Это может быть интересно :

«Деление на ноль» давно стало интернет-мемом, правда, довольно неопределённым. То оно означает аннигиляцию чего бы то ни было (а ведь логичнее было бы умножить на ноль), то вовсе разрушение математических основ мироздания. И второе ближе к истине.

Большинство учёных всё-таки считают эту операцию с нолём невозможной или обладающей неопределённым результатом.

Можете сами провести эксперимент, испытав подручные калькуляторы. Например, телефон на Android у автора материала дал ответ «1 / 0 = ∞», а Windows 10 выдал ошибку: «Деление на ноль невозможно». Большинство других калькуляторов ведёт себя так же. Зато в первом случае можно поменять знак, и мы получим странную картину: «-1 / 0 = -∞».

В чём же дело, и почему даже машины не могут между собой «договориться»?

Чисто арифметически делимость на ноль приводит к рискованным выводам. Смотрите сами:

Это лишь известное нам свойство ноля. Но если на него можно делить, то, сократив обе части, мы получим:

Почему же речь иногда заходит о бесконечности? Дело в том, что проблему пытаются решить через деление на бесконечно малую функцию, то есть построение графика функции, где x стремился бы к нулю. Так мы пытаемся найти y = 1 / x, и получается следующее:

И вот он, наш результат деления на ноль, который уходит в -∞ с одной стороны и +∞ с другой. Чем же не устраивает этот ответ большинство учёных? Тем, что бесконечность не может быть названа числом: обычные арифметические операции с ней приводят, опять-таки, к парадоксальным выводам. Хоть на ней и построен математический анализ, она является идеей, а не числом.

Кстати говоря, с делением ноля на ноль наблюдается ещё большее единодушие: тут, если мы соберёмся построить функцию, результаты могут быть практически какими угодно (0, ±1, ±∞…) В общем, ноль, оставаясь числом, снова подрывает основы математики, если мы нарушаем неприкосновенность его свойств.

Ноль — чётное число?

Это может быть интересно :

Если он так необычен (и не забываем, что он не является ни положительным, ни отрицательным), можно ли говорить о его чётности? Интуитивно мы догадываемся, что он чётный, ведь целые числа сменяют друг друга именно по такому принципу: 2 — чётное, 1 — нечётное, следующим должно быть снова чётное. Но странность ноля настораживает, подсказывает, что и в этом вопросе нужно держать ухо востро.

Какое главное требование он должен пройти в этом случае? Деление на двойку без остатка, и он выдерживает испытание с достоинством: 0/2=0. Получается целое число 0, причём сколько бы мы ни продолжали деление, результат будет получаться одинаковым — можно сказать, что он является «наиболее» чётным или «бесконечно» чётным числом.

Если быть более точным, мы должны взять другое определение с обратной операцией. Чётное число может быть представлено в виде 2x, где x — целое число, но и в таком случае всё просто: 0 = 2 ∙ 0.

Есть и такое свойство чётных чисел, что при сложении двух из них должно получаться снова чётное, проверим:

При всей необычности ноля даже его удивительное соответствие всем критериям кажется странным, не так ли?

Что смотреть и читать о ноле?

Чтобы узнать больше о ноле как одном из самых загадочных явлений математики, а также об истории его «открытия», вы можете обратиться к следующим ресурсам:

1. Numberphile. Это популярнейший в среде любителей математики Youtube-канал, у которого уже более чем 1,5 миллиона подписчиков. Есть видео и о ноле, которые в переводе на русский можно найти здесь.

2. Книга Чарльза Сейфе «Ноль. Биография опасной идеи». Автор, хоть и не без излишнего сгущения красок, рассказывает об истории ноля как числа и цифры — причем в обширном контексте истории науки, от Архимеда до теории струн. В качестве бонуса вы получите приложения с задачками, где используется ноль. Например, вам предложат доказать, что Уинстон Черчилль был морковкой, и построить машину времени из кротовой норы.

3. Сборник эссе, в которых фантаст Айзек Азимов рассказывает о том, как человек, переходя от счёта на пальцах ко всё более сложным вычислениям, разработал основные математические операции, а также о том, как числа связаны с нашим восприятием времени и пространства. Природе ноля и его парадоксам посвящена открывающая книгу статья «Nothing Counts».

Даже если вам не нравились в школе ни арифметика, ни алгебра, у вас всегда есть возможность ими заинтересоваться. Учить математику с нуля уже не получится — худо-бедно мы начали считать ещё дошколятами. А вот полюбить её с нуля — вполне реальная перспектива.

Источник

Нулевое число (0)

Определение нулевого числа

Ноль — это число, используемое в математике для обозначения отсутствия количества или нулевого количества.

Когда на столе 2 яблока и мы берем 2 яблока, мы можем сказать, что на столе нет яблок.

Нулевое число не является положительным и отрицательным числом.

Ноль также является цифрой-заполнителем в других числах (например: 40,103, 170).

Ноль — это число?

Ноль — это число. Это не положительное или отрицательное число.

Нулевая цифра

При написании чисел нулевая цифра используется в качестве заполнителя.

204 = 2 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1

История нулевых номеров

Кто придумал нулевое число?

Современный символ 0 был изобретен в Индии в VI веке, позже использовался персами и арабами, а затем и в Европе.

Символ нуля

Нулевое число обозначается символом 0 .

В арабской системе счисления используется символ ٠.

Свойства с нулевым числом

x представляет любое число.

Дополнение

Вычитание

Умножение

Деление

0 ÷ x = 0 , когда x ≠ 0

x ÷ 0 не определено

5 ÷ 0 не определено

Возведение в степень

Корень

Логарифм

log _b (0) не определено

Факториал

Синус

грех 0º = 0

Косинус

cos 0º = 1

Касательная

Производная

интеграл

∫ 0 d x знак равно 0 + C

Операция	Правило	пример

Нулевое дополнение

Сложение числа плюс ноль равно числу:

Нулевое вычитание

Вычитание числа минус ноль равно числу:

Умножение на ноль

Умножение числа на ноль равно нулю:

Число деленное на ноль

Деление числа на ноль не определено:

x ÷ 0 не определено

5 ÷ 0 не определено

Ноль делится на число

Деление нуля на число равно нулю:

Число в нулевой степени

Степень числа, возведенного в ноль, равна единице:

Логарифм нуля

Логарифм нуля по основанию b не определен:

Нет числа, с которым мы могли бы поднять основание b до нуля.

Только предел логарифма x по основанию b, когда x сходится к нулю, равен минус бесконечности:

Наборы, содержащие ноль

Ноль — это элемент наборов натуральных, целых, действительных и комплексных чисел:

Установить	Установить обозначение членства
Натуральные числа (неотрицательные)	0 ∈ ℕ 0
Целые числа	0 ∈ ℤ
Вещественные числа	0 ∈ ℝ
Сложные числа	0 ∈ ℂ
Рациональное число	0 ∈ ℚ

Ноль — четное или нечетное число?

Набор четных чисел:

Набор нечетных чисел:

Ноль — это целое число, кратное 2:

Ноль является членом набора четных чисел:

Итак, ноль — это четное число, а не нечетное.

Ноль — натуральное число?

Есть два определения набора натуральных чисел.

Набор неотрицательных целых чисел:

Набор натуральных чисел:

Ноль является членом набора неотрицательных целых чисел:

Ноль не входит в набор натуральных чисел:

Ноль — это целое число?

У целых чисел есть три определения:

Набор целых чисел:

Набор неотрицательных целых чисел:

Набор натуральных чисел:

Ноль является членом набора целых чисел и набора неотрицательных целых чисел:

Ноль не входит в набор натуральных чисел:

Ноль — это целое число?

Набор целых чисел:

Ноль входит в набор целых чисел:

Итак, ноль — это целое число.

Является ли ноль рациональным числом?

Рациональное число — это число, которое можно выразить как частное двух целых чисел:

Ноль можно записать как частное двух целых чисел.

Итак, ноль — рациональное число.

Ноль — это положительное число?

Положительное число определяется как число больше нуля:

Поскольку ноль не больше нуля, это не положительное число.

Ноль — простое число?

Число 0 не является простым числом.

Ноль не является положительным числом и имеет бесконечное количество делителей.

Источник

0 (число)

Нуль (ноль) -3 · -2 · -1 · 0 · 1 · 2 · 3 Факторизация: Нуль Римская запись: Двоичное: 0 Восьмеричное: 0 Шестнадцатеричное: 0 Натуральные числа Список чисел

Ноль — это целое число, расположенное на координатной прямой между -1 и 1. 0 (ноль, нуль от лат. nullus — никакой) — цифра и одновременно число. Ноль — это нейтральный элемент для операции сложения. Умножение любого элемента множества на ноль дает ноль. Ноль не изменяет значения числа при прибавлении к нему. Аналогичным свойством по умножению обладает единица. Деление на ноль невозможно — в самом деле если бы результатом деления числа a≠0 на ноль было бы какое-нибудь число b, то мы имели бы c с одной стороны b×0=0, c другой стороны b×0=a≠0. Результатом деления 0:0 могло бы считаться любое число а, так как для всех a a×0=0, но так как считается, что результатом деления должно быть единственное число, то этот случай также исключается.

В зависимости от множества, на котором определена операция сложения, ноль может иметь различную природу. Обычно имеют в виду действительный ноль, то есть ноль в контексте множества действительных чисел; комплексный ноль; ноль-многочлен; ноль-вектор.

Действительный ноль является границей между областью положительных и областью отрицательных чисел. Ноль не имеет знака. Иногда множество действительных чисел разделяют на три подмножества: положительные, отрицательные и беззнаковые числа. При этом беззнаковые числа — множество, состоящее лишь из ноля. Множество беззнаковых чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.

Содержание

Ноль как натуральное число

Существуют два подхода к определению натуральных чисел, отличающиеся причислением нуля к натуральным числам. В русской школьной программе по математике не принято причислять ноль к натуральным числам.

В математике

• Нулевое число Фибоначчи
• N + 0 = N [1]
• N — 0 = N
• N * 0 = 0
• N / 0 — выражение, лишённое смысла, неопределённое, вызывающее ошибку
• N 0 = 1, при N≠0
• Ноль — чётное число, так как при делении его на 2 получается целое число
• Ноль — единственное не положительное и не отрицательно число
• 0 0 — выражение лишённое смысла, то есть не определённое

В науке

Ноль часто используется как начало отсчёта.

• Ноль важен во многих разделах физики
• В картографии существует нулевой меридиан, нулевой километр и многое другое

В других областях

• ASCII-код управляющего символа NUL
• Музыкальный интервал прима охватывает 0 ступеней
• Нулевого года в юлианском и григорианском календаре не было.

См. также

• Ноль (цифра)
• −0 и +0 — отрицательный и положительный ноль
• Машинный ноль

Ссылки

• A History of Zero Шаблон:Ref-en
• Zero Saga Шаблон:Ref-en
• The Discovery of the Zero Шаблон:Ref-en
• The History of Algebra Шаблон:Ref-en
• Why numbering should start at zero

ar:0 (عدد) bg:Нула ca:Zero cs:Nula da:0 (tal) el:Μηδέν eo:Nulo et:Null eu:Zero gl:Cero he:0 (מספר) hi:शून्य ht:0 (nonm) hu:0 (szám) ia:0 (numero) io:Zero ka:ნული ku:Sifir (hejmar) la:0 lmo:Nümar 0 lt:0 (skaičius) lv:Nulle nds-nl:0 (getal) new:शून्य nl:0 (getal) nn:0 no:Null pl:0 (liczba) rw:Obusa simple:Zero sk:0 (číslo) sl:0 sr:0 (број) sv:0 (tal) te:సున్న th:0 tl:0 (bilang) uk:0 (число) vi:0 vls:0 (getal) yi:נול

Источник