Что значит нормальное ускорение

Понятие об ускорении. Ускорение тангенциальное, нормальное и полное. Формулы

Каждый, кто знаком с техникой и физикой, знает о понятии ускорения. Тем не менее мало кто знает о том, что эта физическая величина имеет две составляющие: ускорение тангенциальное и ускорение нормальное. Рассмотрим подробнее каждое из них в статье.

Что такое ускорение?

В физике ускорением называют величину, которая описывает быстроту изменения скорости. Причем под этим изменением понимают не только абсолютное значение скорости, но и ее направление. Математически это определение записывают так:

Вам будет интересно: Терруар — это. Определение и значение понятия

Заметим, что речь идет о производной изменения вектора скорости, а не только ее модуля.

В отличие от скорости, ускорение может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если скорость направлена всегда вдоль касательной к траектории перемещения тел, то ускорение направлено в сторону действующей на тело силы, что следует из второго закона Ньютона:

Ускорение измеряется в метрах в секунду квадратную. Так, 1 м/с2 означает, что скорость на 1 м/с увеличивается за каждую секунду перемещения.

Прямолинейная и криволинейная траектории движения и ускорение

Окружающие нас объекты могут двигаться либо по прямой линии, либо по кривой траектории, например, по окружности.

В случае движения по прямой скорость тела изменяет только свой модуль, но сохраняет направление. Это означает, что полное ускорение может быть вычислено так:

Отметим, что мы опустили значки вектора над скоростью и ускорением. Поскольку полное ускорение направлено по касательной к прямолинейной траектории, то оно называется тангенциальным или касательным. Эта составляющая ускорения описывает исключительно изменение абсолютной величины скорости.

Теперь предположим, что тело совершает движение по криволинейной траектории. В этом случае его скорость можно представить в виде:

Где u¯ — единичный вектор скорости, направленный вдоль касательной к кривой траектории. Тогда полное ускорение можно записать в такой форме:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt.

Это и есть исходная формула нормального, тангенциального и полного ускорения. Как видно, равенство в правой части состоит из двух слагаемых. Второе из них отлично от нуля только при криволинейном перемещении.

Формулы тангенциального ускорения и нормального ускорения

Формула для касательной компоненты полного ускорения уже была приведена выше, запишем ее еще раз:

Формула показывает, что тангенциальное ускорение не зависит от того, куда направлен вектор скорости, и меняется ли он во времени. Оно определяется исключительно изменением абсолютного значения v.

Теперь запишем вторую компоненту — ускорение нормальное an¯:

Несложно показать геометрически, что эта формула может быть упрощена до такого вида:

Здесь r — кривизна траектории (в случае окружности — это ее радиус), re¯ — элементарный вектор, направленный к центру кривизны. Мы получили интересный результат: от тангенциальной нормальная составляющая ускорения отличается тем, что она совершенно не зависит от изменения модуля скорости. Так, в случае отсутствия этого изменения, касательного ускорения не будет, а нормальное примет некоторое значение.

Нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории, поэтому его называют центростремительным. Причиной его возникновения являются центральные силы в системе, которые изменяют траекторию. Например, это сила гравитации при вращении планет вокруг звезд или сила натяжения веревки при вращении камня, привязанного к ней.

Полное ускорение при вращении по окружности

Разобравшись с понятиями и формулами тангенциального ускорения и нормального ускорения, можно теперь переходить к вычислению полного ускорения. Решим эту задачу на примере вращения тела по окружности вокруг некоторой оси.

Рассмотренные две компоненты ускорения направлены под углом 90o друг к другу (по касательной и к центру кривизны). Этот факт, а также свойство суммы векторов можно использовать, чтобы рассчитать ускорение полное. Получаем:

Из формулы полного, нормального и тангенциального ускорений (ускорения an и at) следует два важных вывода:

• В случае прямолинейного перемещения тел полное ускорение совпадает с тангенциальным.
• Для равномерного вращения по окружности полное ускорение имеет только нормальную компоненту.

Во время движения по окружности центростремительная сила, сообщающая телу ускорение an, удерживает его на круговой орбите, препятствуя тем самым фиктивной центробежной силе.

Источник

Что это — нормальное ускорение? Причина его возникновения и формула. Пример задачи

Движение — это физический процесс, который предполагает изменение пространственных координат тела. Для описания движения в физике используют специальные величины и понятия, главным из которых является ускорение. В этой статье изучим вопрос, что это — нормальное ускорение.

Общее определение

Под ускорением в физике понимают быстроту изменения скорости. Сама скорость — это векторная кинематическая характеристика. Поэтому в определении ускорения имеется в виду не только изменение абсолютного значения, но также и изменение направления скорости. Как выглядит формула? Для полного ускорения a¯ она записывается в следующем виде:

Вам будет интересно: Чваниться — это некультурная привычка: толкование слова

То есть для вычисления величины a¯ необходимо найти производную вектора скорости по времени в данный момент. Формула показывает, что a¯ измеряется в метрах в секунду в квадрате (м/с2).

Направление полного ускорения a¯ никак не связано с вектором v¯. Однако оно совпадает с вектором dv¯.

Причиной появления у движущихся тел ускорения является действующая на них внешняя сила любой природы. Ускорение никогда не возникает, если внешняя сила равна нулю. Направление действия силы совпадает с направлением ускорения a¯.

Криволинейная траектория

В общем случае рассмотренная величина a¯ имеет две составляющие: нормальную и касательную. Но прежде всего напомним, что такое траектория. В физике под траекторией понимают линию, вдоль которой тело проходит некоторый путь в процессе движения. Поскольку траектория может представлять собой либо прямую линию, либо кривую, то движение тел делится на два типа:

В первом случае вектор скорости тела может измениться только на противоположный. Во втором же случае вектор скорости и ее абсолютное значение изменяются постоянно.

Как известно, скорость направлена по касательной к траектории. Этот факт позволяет ввести следующую формулу:

Здесь u¯ — единичный касательный вектор. Тогда выражение для полного ускорения запишется в виде:

a¯ = dv¯/dt = d(v * u¯)/dt = dv/dt * u¯ + v * du¯/dt.

При получении равенства мы воспользовались правилом вычисления производной от произведения функций. Таким образом, полное ускорение a¯ представляется в виде суммы двух компонент. Первая является его касательной составляющей. В этой статье она не рассматривается. Лишь отметим, что она характеризует изменение модуля скорости v¯. Второе же слагаемое — это нормальное ускорение. О нем ниже в статье.

Нормальное ускорение точки

Обозначим эту компоненту ускорения символом an¯. Запишем для нее выражение еще раз:

Уравнение нормального ускорения an¯ можно записать в явном виде, если провести следующие математические преобразования:

an¯ = v * du¯/dt = v * du¯/d l* dl/dt = v2/r * re¯.

Здесь l — это пройденный телом путь, r — радиус кривизны траектории, re¯ — единичный радиус-вектор, который направлен к центру кривизны. Это равенство позволяет сделать некоторые важные выводы касательно вопроса, что это нормальное ускорение. Во-первых, оно не зависит от изменения модуля скорости и пропорционально абсолютному значению величины v¯, во-вторых, оно направлено к центру кривизны, то есть вдоль нормали к касательной в данной точке траектории. Именно поэтому компонента an¯ получила название нормального или центростремительного ускорения. Наконец, в третьих, an¯ обратно пропорционально радиусу кривизны r, что каждый ощущал экспериментально на себе, когда являлся пассажиром автомобиля, входящего в затяжной и крутой поворот.

Центростремительная и центробежная силы

Выше отмечалось, что причиной появления любого ускорения является сила. Поскольку нормальное ускорение — это компонента полного ускорения, которая направлена к центру кривизны траектории, то должна существовать некоторая центростремительная сила. Ее природу проще всего проследить на различных примерах:

• Раскручивание камня, привязанного к концу веревки. В этом случае центростремительной является сила натяжения веревки.
• Затяжной поворот автомобиля. Центростремительной является сила трения покрышек авто о поверхность дороги.
• Вращение планет вокруг Солнца. Гравитационное притяжение играет роль рассматриваемой силы.

Во всех названных примерах сила центростремительная приводит к изменению прямолинейной траектории. В свою очередь, ей препятствуют инерционные свойства тела. С ними связывают центробежную силу. Эта сила, действуя на тело, пытается «выбросить» его из криволинейной траектории. Например, когда авто делает поворот, то пассажиров прижимает к одной из дверей транспортного средства. Это и есть действие центробежной силы. Она, в отличие от центростремительной, является фиктивной.

Пример задачи

Как известно, наша Земля вращается по круговой орбите вокруг Солнца. Необходимо определить нормальное ускорение голубой планеты.

Для решения задачи воспользуемся формулой:

Из справочных данных находим, что линейная скорость v нашей планеты составляет 29,78 км/с. Расстояние r до нашей звезды равно 149 597 871 км. Переводя эти числа в метры в секунду и метры, соответственно, подставляя их в формулу, получаем ответ: an = 0,006 м/с2, что составляет 0,06 % от величины ускорения свободного падения на планете.

Источник

Ускорение

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

Среднее ускорение> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение.В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения, при этом ускорение будет отрицательным (а

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

Источник