Совместность однородной системы
.
Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет тривиальное (нулевое) решение 
. Выясним, когда данная система имеет нетривиальное решение.
Теорема 1. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, меньше числа неизвестных.
Доказательство. Пусть система совместна. Это может быть тогда и только тогда, когда найдутся числа с 1 , с 2 , …, с n , при подстановке которых в систему мы получим m тождеств. Эти m тождеств можно записать в виде
.
.Следовательно, система векторов-столбцов матрицы А линейно зависима. А это может быть тогда и только тогда, когда ранг системы векторов-столбцов меньше n , т.е. r ( A ) n .
Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен нулю.
Доказательство. Так как r ( A ) n , то столбцы матрицы линейно зависимы и, следовательно, определитель матрицы равен нулю.
Источник
Что значит нетривиальное решение системы
Решением системы называется совокупность n значений неизвестных
при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.
Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:
где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, Ap — расширенная матрица системы:
.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.
Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:
Матричный вид однородной системы: Ax=0.
Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:
Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.
Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.
ПРИМЕР 1. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей.
Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения, приведем матрицу системы к ступенчатому виду
.
Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.
ПРИМЕР 2. Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизестными.
Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.
Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений.
Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы
e1 , e2 , . en-r образуют ее фундаментальную систему решений (Aei =0, i=1,2, . n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде
где c1 , c2 , . cn-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.
Исследовать однородную систему — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.
Исследуем однородную систему методом Гаусса.
матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r
Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Источник
Как найти нетривиальное и фундаментальное решение системы линейных однородных уравнений
Пример 2 . Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы
Решение.
Задание . Исследовать и решить систему линейных уравнений.
Пример 4
Задание . Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Выпишем основную матрицу системы:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 2-ую строку на (-5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Умножим 2-ую строку на (6). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Найдем ранг матрицы.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3,x4,x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x1 | x2 | x4 | x3 | x5 |
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
22x2 = 14x4 — x3 — 24x5
6x1 + 2x2 = — 2x4 — 11x3 — 6x5
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3,x4,x5, то есть нашли общее решение:
x2 = 0.64x4 — 0.0455x3 — 1.09x5
x1 = — 0.55x4 — 1.82x3 — 0.64x5
Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений.
В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.
Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3.
Достаточно придать свободным неизвестным x3,x4,x5 значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x1,x2.
Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Задача . Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений. Решение
Задача . Найти общее решение системы. Проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства). Решение Пример 3
Пример 4
Источник
Однородные системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называются однородными:
Любая однородная система всегда совместна, поскольку всегда обладает нулевым (тривиальным) решением. Возникает вопрос, при каких условиях однородная система будет иметь нетривиальное решение.
Теорема 5.2. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы меньше числа ее неизвестных.
Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю.
Пример 5.6. Определить значения параметра l, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:
Решение. Эта система будет иметь нетривиальное решение тогда, когда определитель основной матрицы равен нулю:
Таким образом, система нетривиальна, когда l=3 или l=2. При l=3 ранг основной матрицы системы равен 1. Тогда оставляя только одно уравнение и полагая, что y=a и z=b, получим x=b–a, т.е.
При l=2 ранг основной матрицы системы равен 2. Тогда, выбирая в качестве базисного минор:
получим упрощенную систему
Отсюда находим, что x=z/4, y=z/2. Полагая z=4a, получим
à
Множество всех решений однородной системы обладает весьма важным линейным свойством: если столбцы X1 и X2 – решения однородной системы AX = 0, то всякая их линейная комбинация aX1 + bX2 также будет решением этой системы. Действительно, поскольку AX1 = 0 и AX2 = 0, то A (aX1 + bX2) = aAX1 + bAX2 = a · 0 + b · 0 = 0. Именно вследствие этого свойства, если линейная система имеет более одного решения, то этих решений будет бесконечно много.
Линейно независимые столбцы E1, E2, Ek, являющиеся решениями однородной системы, называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений, если общее решение этой системы можно записать в виде линейной комбинации этих столбцов:
.
Если однородная система имеет n переменных, а ранг основной матрицы системы равен r, то k = n–r.
Пример 5.7. Найти фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений:
Решение. Найдем ранг основной матрицы системы:
Таким образом, множество решений данной системы уравнений образует линейное подпространство размерности n – r = 5 – 2 = 3. Выберем в качестве базисного минор
.
Тогда оставляя только базисные уравнения (остальные будут линейной комбинацией этих уравнений) и базисные переменные (остальные, так называемые свободные, переменные переносим вправо), получим упрощенную систему уравнений:
, 
.
Полагая a = 1, b = c = 0, получим первое базисное решение; полагая b = 1, a = c = 0, получим второе базисное решение; полагая c = 1, a = b = 0, получим третье базисное решение. В результате, нормальная фундаментальная система решений примет вид
, 
, 
.
С использованием фундаментальной системы общее решение однородной системы можно записать в виде
Отметим некоторые свойства решений неоднородной системы линейных уравнений AX=B и их взаимосвязь соответствующей однородной системой уравнений AX = 0.
Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей однородной системы AX = 0 и произвольного частного решения неоднородной системы. Действительно, пусть Y0 произвольное частное решение неоднородной системы, т.е. AY0 = B, и Y – общее решение неоднородной системы, т.е. AY = B. Вычитая одно равенство из другого, получим
A(Y–Y0) = 0, т.е. Y – Y0 есть общее решение соответствующей однородной системы AX=0. Следовательно, Y – Y0 = X, или Y = Y0 + X. Что и требовалось доказать.
Пусть неоднородная система имеет вид AX = B1 + B2. Тогда общее решение такой системы можно записать в виде X = X1 + X2, где AX1 = B1 и AX2 = B2. Это свойство выражает универсальное свойство вообще любых линейных систем (алгебраических, дифференциальных, функциональных и т.д.). В физике это свойство называется принципом суперпозиции, в электро- и радиотехнике – принципом наложения. Например, в теории линейных электрических цепей ток в любом контуре может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых каждым источником энергии в отдельности.
Источник
