Что значит неправильная дробь пример

Решение:
а) b может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
б) b может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Задача №1:
Сколько минут в часе? Какую часть часа составляет 11 мин.?

Ответ: В часе 60 минут. Три минуты составят \(\frac<11><60>\) часа.

Источник

Дроби

Что такое дробь

Дробь — это число, состоящее из одной или нескольких частей единицы. Обыкновенные дроби записываются в формате \(\frac mn\) , где «—» — это дробная черта; n — знаменатель; а m — числитель. Такая запись читается как «m-энных».

Дроби нужны для обозначения нецелых количеств. Они образуются как результат деления натуральных чисел, когда делимое не кратно делителю.

Дробная черта равносильна знаку деления. То есть \(4:6=\frac46\) (четыре шестых), \(7:2=\frac72\) (семь вторых). Числитель дроби играет роль делимого, а знаменатель — делителя.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Знаменатель дроби не может быть нулем.

Основные свойства дробей

1. Дробь является видом записи числа. Одно и то же число можно записать в виде разных дробей.
2. Если умножить числитель и знаменатель на одинаковую величину, то значение дроби останется прежним, хотя дроби разные: \(\frac pr=\frac.\)
   Например, \(\frac34=\frac68=\frac9<12>.\)
3. И обратно, если числитель и знаменатель имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него. Такая операция называется сокращением дроби: \(\frac<12><16>=\frac<12:4><16:4>=\frac34.\)

Несократимой называют дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме 1 (-1).

Существует два вида дробей: правильные и неправильные.

Неправильные дроби всегда больше правильных: \(\frac <39>

Правильные дроби

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, числитель которой меньше знаменателя.

Правильная дробь называется так, поскольку выражает «правильную» часть единицы, то есть часть, которая меньше целого: \( \frac25

Рассмотрим дробь \(\frac56\) , у которой 5 — это числитель, а 6 — знаменатель.Сравним числитель со знаменателем: 5 \(\frac73>1, \frac<14>8>1, \frac55=1.\)

Рассмотрим дробь \(\frac65\) , у которой 6 — это числитель, а 5 — знаменатель. 6>5, значит, данная дробь является неправильной.

Таким образом, отличить правильную дробь от неправильной можно при сравнении дробей с единицей. Это различие не влияет на арифметические действия, но важно при сравнении дробей.

Смешанные дроби

Неправильные дроби не принято оставлять в результате вычислений. Лучше преобразовывать их в смешанные числа. Любую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа.

Смешанное число — это число, содержащее целую и дробную часть.

Для составления смешанной дроби необходимо:

1. Выделить наибольшее целое число, содержащееся в неправильной дроби. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель. Получившееся частное без остатка является целой частью смешанной дроби: \(\frac<40>5=40:5=8\) .
2. Если в результате деления есть остаток, то этот остаток становится числителем дробной части. Знаменатель дробной части останется частным. \(\frac<42>5=8\frac25\)

Записать неправильную дробь \(\frac<18>4\) в виде смешанной.

Выделим целую часть смешанной дроби. Чтобы сделать это, необходимо числитель дроби, 18, поделить на ее знаменатель, 4:
Итак, получаем, что \(\frac<18>4=18:4=4\) , остаток 2.

Тогда искомая смешанная дробь \(\frac<18>4=4\frac24.\) Эту дробь можно сократить, поделив числитель и знаменатель дробной части на общий делитель 2:

Смешанное число можно записать в виде неправильной дроби. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель дробной части. К полученному числу нужно прибавить числитель дробной части. Эту сумму записать в числитель, а знаменатель дробной части оставить без изменений.

Смешанное число \(6\frac25\) записать в виде неправильной дроби.

Как перевести правильную дробь в неправильную

Перевести правильную дробь в неправильную или наоборот невозможно. Это разные категории чисел.

Любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби: \(2=\frac21.\)

Дробь с числителем p и знаменателем 1 — это другая форма записи натурального числа p. Это правило можно представить в виде формулы: \(p=\frac p1.\)

Число 0 считают равным дроби вида \(\frac0q\) , где q — любое натуральное число:

Действия с дробями, как решать примеры

Приведение к общему знаменателю

Чтобы решать большинство примеров с дробями, необходимо приводить их к общему знаменателю. Чтобы привести дроби \(\frac ab\) и \(\frac cd\) к общему знаменателю, необходимо:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) обоих знаменателей: \(M=\left[b,d\right].\)
2. Умножить числитель и знаменатель первой дроби на M/b: \(\frac.\)
3. Умножить числитель и знаменатель второй дроби на M/d: \(\frac.\)

Необходимо привести к общему знаменателю дроби \(\frac34\) и \(\frac13\) . Действуем по алгоритму:

1. Находим НОК. У чисел 4 и 3 им является число 12.
2. Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на \(\frac<12>4\) , то есть 3: \(\frac<3\cdot3><4\cdot3>=\frac9<12>\) .
3. Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на \(\frac<12>3\) , то есть 4: \(\frac<1\cdot4><3\cdot4>=\frac4<12>\) .

Сравнение

Чтобы сравнить обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Дробь с большим числителем больше.

\(\frac34>\frac13,\) поскольку \(\frac9<12>>\frac4<12>.\)

Если сравниваются смешанные числа, в первую очередь необходимо смотреть на целую часть. Больше то число, целая часть которого больше.

К примеру, \(8\frac16>5\frac23.\)

Если целые части смешанных чисел равны, то сравнивают дробные части по правилу сравнения обыкновенных дробей. Число с наибольшей дробной частью будет больше: \(5\frac23>5\frac13.\)

Сложение и вычитание

Чтобы сложить обыкновенные дроби, необходимо привести их к общему знаменателю, сложить числители, а знаменатели оставить без изменений. При необходимости привести дробь в вид смешанного числа.

При сложении смешанных чисел целые и дробные части складываются отдельно.

Чтобы вычесть одну дробь из другой, также необходимо привести их к общему знаменателю, после чего вычесть числители, а знаменатели оставить без изменений.

Умножение и деление

Чтобы умножить обыкновенные дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели.

\(\frac ab\cdot\frac cd=\frac\)

Умножить дробь \(\frac35\) на \(\frac23.\)

При умножении дроби на натуральное число, нужно умножить числитель на это число, а знаменатель оставить тем же. Так происходит, поскольку любое натуральное число можно представить в виде \(p=\frac p1.\)

\(\frac ab\cdot p=\frac ab\cdot\frac p1=\fracb.\)

Чтобы умножить смешанные числа, необходимо сперва представить их в виде обыкновенных дробей и лишь затем совершать действие.

Чтобы поделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй. При этом оба знаменателя и числитель второй дроби не должны быть равны нулю.

\(\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc=\frac.\)

Поделить дробь \(\frac34\) на \(\frac23.\)

При делении смешанных чисел, как и при умножении, их необходимо сперва привести к виду обыкновенной дроби.

Источник

Правильные и неправильные дроби

Вы будете перенаправлены на Автор24

Обыкновенные дроби делятся на \textit <правильные>и \textit <неправильные>дроби. Такое разделение основано на сравнении числителя и знаменателя.

Правильные дроби

Правильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac$, у которой числитель меньше знаменателя, т.е. $m

Например, дроби $\frac<1><3>$, $\frac<9><123>$, $\frac<77><78>$, $\frac<378567><456298>$ являются правильными, так как в каждой из них числитель меньше знаменателя, что отвечает определению правильной дроби.

Существует определение правильной дроби, которое базируется на сравнении дроби с единицей.

Обыкновенная дробь $\frac$ является правильной, если она меньше единицы:

Например, обыкновенная дробь $\frac<6><13>$ является правильной, т.к. выполняется условие $\frac <6>

Неправильные дроби

Неправильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac$, у которой числитель больше или равен знаменателю, т.е. $m\ge n$.

Например, дроби $\frac<5><5>$, $\frac<24><3>$, $\frac<567><113>$, $\frac<100001><100000>$ являются неправильными, так как в каждой из них числитель больше или равен знаменателю, что соответствует определению неправильной дроби.

Дадим определение неправильной дроби, которое базируется на ее сравнении с единицей.

Обыкновенная дробь $\frac$ является неправильной, если она равна или больше единицы:

Например, обыкновенная дробь $\frac<21><4>$ является неправильной, т.к. выполняется условие $\frac<21> <4>>1$;

обыкновенная дробь $\frac<8><8>$ является неправильной, т.к. выполняется условие $\frac<8><8>=1$.

Готовые работы на аналогичную тему

Рассмотрим более подробно понятие неправильной дроби.

Возьмем для примера неправильную дробь $\frac<7><7>$. Значение этой дроби — взяли семь долей предмета, который поделен на семь одинаковых долей. Таким образом, из семи долей, которые есть в наличии, можно составить весь предмет. Т.е. неправильная дробь $\frac<7><7>$ описывает целый предмет и $\frac<7><7>=1$. Итак, неправильные дроби, у которых числитель равен знаменателю, описывают один целый предмет и такая дробь может быть заменена на натуральное число $1$.

Рассмотрим далее неправильные дроби:

$\frac<5><2>$ — достаточно очевидно, что из этих пяти вторых долей можно составить $2$ целых предмета (один целый предмет будут составлять $2$ доли, а для составления двух целых предметов нужны $2+2=4$ доли) и остается одна вторая доля. Т.е., неправильная дробь $\frac<5><2>$ описывает $2$ предмета и $\frac<1><2>$ долю этого предмета.

$\frac<21><7>$ — из двадцати одной седьмых долей можно составить $3$ целых предмета ($3$ предмета по $7$ долей в каждом). Т.е. дробь $\frac<21><7>$ описывает $3$ целых предмета.

Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: неправильную дробь можно заменить натуральным числом, если числитель нацело делится на знаменатель (например, $\frac<7><7>=1$ и $\frac<21><7>=3$), или суммой натурального числа и правильной дроби, если числитель нацело не делится на знаменатель (например,$\ \frac<5><2>=2+\frac<1><2>$). Поэтому такие дроби и называются неправильными.

Процесс представления неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (например, $\frac<5><2>=2+\frac<1><2>$) называется выделением целой части из неправильной дроби.

При работе с неправильными дробями прослеживается тесная связь между ними и смешанными числами.

Неправильная дробь часто записывается в виде смешанного числа — числа, которое состоит из целой и дробной части.

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет составлять целую часть смешанного числа, остаток — числитель дробной части, а делитель — знаменатель дробной части.

Записать неправильную дробь $\frac<37><12>$ в виде смешанного числа.

Решение.

Разделим числитель на знаменатель с остатком:

Ответ. $\frac<37><12>=3\frac<1><12>$.

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо знаменатель умножить на целую часть числа, к произведению, которое получилось, прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму в числитель дроби. Знаменатель неправильной дроби будет равен знаменателю дробной части смешанного числа.

Записать смешанное число $5\frac<3><7>$ в виде неправильной дроби.

Решение.

Ответ. $5\frac<3><7>=\frac<38><7>$.

Сложение смешанного числа и правильной дроби

Сложение смешанного числа $a\frac$ и правильной дроби $\frac$ выполняет прибавлением к данной дроби дробной части данного смешанного числа: