Что значит неполное частное число

Неполное частное

Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связаное с операцией деления.

Содержание

Определение

Если для некоторого целого числа a и целого числа существует такое целое число q , что bq = a , то говорят, что число a делится нацело на b .

При этом число b называется делителем числа a , делимое a будет кратным числа b , а число q называется частным от деления a на b.

Обозначения

• означает, что aделится наb
• b | a означает, что bделитa .

Связанные определения

• Натуральное число, имеющее ровно два натуральных делителя (единицу и само себя), называется простым. Все остальные числа (кроме единицы) называются составными.
• Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
• Вне зависимости от делимости целого числа a на целое число , число a всегда можно разделить на b с остатком, то есть представить в виде: a = bq + r , где .

В этом соотношении число r называется остатком (от деления a на b), а число q — неполным частным (от деления a на b). Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен нулю.

Свойства

• Любое натуральное число является делителем нуля;
• Единица является делителем любого целого числа;
• Любое натуральное число является делителем самого себя.

Число делителей

Число положительных делителей натурального числа n обычно обозначается τ(n) , является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:

Обобщения

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например кольцо многочленов.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Неполное частное» в других словарях:

Дробь — Если делится какое нибудь целое число а на другое целое число b, т. е. ищется число x, удовлетворяющее условию bx=а, то могут представиться два случая: или в ряду целых чисел найдется число х, которое этому условию удовлетворит, или же окажется,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Деление с остатком — Деление c остатком (деление по модулю, нахождение остатка от деления, остаток от деления) арифметическая операция, результатом которой является два целых числа: неполное частное и остаток от деления целого числа на другое целое число.… … Википедия

Остаток от деления — в арифметике один из результатов операции деления с остатком. Образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть по абсолютной величине меньше делителя. В случае, если числа… … Википедия

Фундаментальные алгоритмы — Два основных фундаментальных алгоритма это алгоритм деления и алгоритм Евклида Алгоритм деления предназначен для вычисления неполного частного и остатка от деления двух целых чисел. Алгоритм деления a делимое b делитель q неполное частное r –… … Википедия

ГОРНЕРА СХЕМА — прием для нахождения неполного частного и остатка при делении многочлена на двучлен , где все коэффициенты лежат в нек ром поле, напр., в поле комплексных чисел. Всякий многочлен единственным способом представим в виде где есть неполное частное,… … Математическая энциклопедия

Целая часть — График функции «пол» (целая часть числа) … Википедия

Преобразование Гаусса — В математике, преобразование Гаусса (измеримая) динамическая система на отрезке [0,1], заданная отображением где обозначает дробную часть числа. Это преобразование «стирает» первое неполное частное в разложении числа в цепную дробь: Кроме… … Википедия

Единая сетевая разметка — (ЕСР) система цифрового обозначения железнодорожных станций на территории стран СНГ и Балтии. С помощью кодов ЕСР кодируются станции, открытые для выполнения грузовых операций, производящие перевалку грузов с железнодорожного на речной или… … Википедия

ЗНАНИЕ В АРАБО-МУСУЛЬМАНСКОЙ ФИЛОСОФИИ — ЗНАНИЕ В АРАБО МУСУЛЬМАНСКОЙ ФИЛОСОФИИ. Благодаря слитости процессуального и субстанциального аспектов в категории масдара (отглагольного существительного) арабское языковое мышление имеет тенденцию рассматривать процесс и результат как нечто … Философская энциклопедия

ЗНАНИЕ В АРАБО-МУСУЛЬМАНСКОЙ ФИЛОСОФИИ. — ЗНАНИЕ В АРАБО МУСУЛЬМАНСКОЙ ФИЛОСОФИИ. Благодаря слитости процессуального и субстанциального аспектов в категории масдара (отглагольного существительного) арабское языковое мышление имеет тенденцию рассматривать процесс и результат как нечто… … Философская энциклопедия

Источник

Что такое частное в математике?

Математика – уникальная наука, которая привлекает точностью и последовательностью. Каждый, кто начал изучать эту важную дисциплину, должен разобраться, что такое частное в математике.

Деление

В математике есть четыре простейших операции:

Если мы говорим о частном, то нас будет интересовать такая операция, как деление.

Деление всегда обратно умножению. Это математическая величина, которую мы получим, разделив одно число на другое. Есть ряд символов, которые обозначают его:

• Двоеточие (:)
• Косая черта (/)
• Обелюс (тире между двумя точками ÷)

В учебных пособиях для учеников 1 – 5 классов есть простое и точное определение этого понятия. Деление – это операция, в результате которой мы получаем число, которое при умножении на делитель дает делимое. Число, о котором говорится в первой части определения, и есть частное.

Частное рассказывает, во сколько раз одно число больше другого.

Наглядные примеры

Чтобы лучше понять, что такое частное чисел в математике, следует обратиться к примерам. Они помогут разложить знания по полочкам в вашей голове. Решение примеров – это лучший тренажер для усвоения новых знаний. Приступим к их решению.

Итак, частное получается, если делимое поделить на делитель. При помощи символов эту операцию можно записать следующим образом:

a:b=c

Запишем простой пример из математики:

80:2=40

80 – делимое (оно делится)

2 – это делитель (на него разделяют)

Восемьдесят больше, чем сорок, в два раза.

Другой пример выглядит так:

120:2=60

Сто двадцать больше, чем шестьдесят, в два раза.

Проверка

Если вы провели операцию деления и сомневаетесь в результате, на помощь придет проверка. Для этого умножьте делитель на частное. Если в результате вы получили делимое, то пример решен верно:

Если после знака равно вы увидели знакомое вам делимое, то можете поставить себе твердую пятерку. Вы научились находить частное чисел и делать проверку. Это очень важно, чтобы в дальнейшем освоить более сложные понятия в алгебре и геометрии.

Частное – это основа математики. Если ученик не смог понять его суть, то двигаться дальше просто бессмысленно. Обратитесь к учителю, если это понятие так и осталось для вас туманным. Педагог разъяснит все ошибки и укажет на подводные камни.

Полное и неполное частное

В результате проведения математических подсчетов частное может быть двух видов:

• Полное. В результате деления мы получаем целое число:

100:2=50

50 – полное частное

• Неполное. Если в результате мы получаем остаток:

51:2=25 (остаток 1)

25 – неполное частное

1 – остаток от деления

Если вы откроете учебник математики, то увидите, что частное в задачах обозначают при помощи различных символов (переменных). Для этого используют латинские буквы:

30:6=x

Чтобы найти частное, следует делимое разделить на делитель:

Ответ 5 – это частное в данном примере.

Абстрактные определения и туманные рассуждения плохо усваиваются мозгом школьника. Поэтому всегда держите под рукой задачник со списком упражнений по математике. Он поможет понять различные математические категории на практике. Конкретные цифры, записанные в тетради, станут главными помощниками.

Источник

Значение частного двух чисел в математике

Что такое частное чисел

Частное чисел – это результат деления одного числа на другое. Оно показывает, сколько раз число a содержится в числе b.

Деление как операция

Деление – арифметическая операция, обратная умножению, суть которой заключается в нахождении одного из сомножителей по произведению и другому множителю. В данном случае произведение переходит в делимое, имеющийся сомножитель – в делитель, искомый сомножитель – в частное.

Подобно тому, как неоднократно прибавить число – это значит умножить, так и неоднократно вычесть – это значит разделить.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

На письме данную операцию можно обозначать разными символами:

• : двоеточием;
• ÷ обелюсом;
• / косой чертой (слеш);
• — горизонтальной чертой (знак дроби).

Процесс деления имеет следующий вид:

В цифрах данное выражение можно записать так:

Основные свойства деления

Деление не коммутативно, то есть не перестановочно – от перемены мест элементов операции частное изменяется:

Деление не ассоциативно – то есть при последовательном выполнении деления трех или более чисел последовательность операций имеет значение, при смене порядка выполнения изменится результат:

Деление дистрибутивно справа – на одном и том же множестве две бинарные операции имеют свойство согласованности:

\((a + b): x = (a : x)+(b : x);\)

Имеется единственный нейтральный элемент – число 1, при делении на единицу результатом является исходное число (делимое):

Имеется единственный обратный элемент – число 1, при делении единицы на число результатом является число, обратное исходному (делителю):

Существует единственный нулевой элемент – число 0, при делении нуля на любое число результатом будет нуль:

Деление на нулевой элемент не определено:

Деление на противоположный элемент дает минус единицу:

Неполное частное

Неполное частное – результат, который получился после деления с остатком.

Под делением с остатком понимается нахождение наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Это искомое и называют неполным частным.

Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, который всегда меньше делителя.

Например, 17 не делится без остатка на 5.

Наибольшее число, результат умножения которого на 5 не превосходит 17, это 3. 3 в данном случае является неполным частным.

Чтобы получить остаток, нужно из 17 вычесть произведение 3 и 5, то есть 17 – 3*5 = 2. Остаток – 2.

Изменение частного в зависимости от изменения делимого и делителя

• увеличение делимого в несколько раз приведет к тому, что частное увеличится во столько же раз:

• уменьшение делимого в несколько раз приведет к тому, что частное уменьшится во столько же раз:

• увеличение делителя в несколько раз приведет к тому, что частное уменьшится во столько же раз:

• уменьшение делителя в несколько раз приведет к тому, что частное увеличится во столько же раз:

Частное не изменится, если делимое и делить одновременно увеличить или уменьшить в одинаковое количество раз:

Задачи, примеры вычисления частного

Для того, чтобы проиллюстрировать данную арифметическую операцию, решим простые задачи.

Задача 1

В книге 891 страница. Она поделена на 9 равных глав. Узнайте, сколько страниц в одной главе.

Для этого количество страниц разделим на количество глав:

891 : 9 = 99 (страниц)

Ответ: 99 страниц.

Задача 2

У Антона есть 22 апельсина. Он хочет приготовить из них компот. Для одного литра компота ему понадобится 3 апельсина. Нужно вычислить, сколько литров напитка сможет приготовить Антон и сколько апельсинов у него останется.

Источник

Деление чисел с остатком

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Деление с остатком целых положительных чисел

Деление — это разбиение целого на равные части.

Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.

Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!

Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.

Попрактикуемся в решении.

Пример

Разделить 14671 на 54.

Выполним деление столбиком:

Неполное частное равно 271, остаток — 37.

Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное

Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:

В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.

Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.

Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».

Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.

Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя
• получить неполное частное и остаток;
• записать число противоположное полученному.

Пример

Разделить 17 на −5 с остатком.

Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.

Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное

Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:

Чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток d будет вычисляться по формуле:

d = a − b * c

Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.

Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить по модулю;
• записать противоположное данному число и вычесть 1;
• использовать формулу для остатка d = a − b * c.

Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.

Пример

Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.

Разделим заданные числа по модулю.

Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.

Так как получили 3, противоположное ему −3.

Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.

Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, c = −4, тогда:

d = a − b * c = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.

Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.

Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).

Деление с остатком целых отрицательных чисел

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:

d = a − b * c

Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.

Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя;
• получить неполное частное и остаток;
• прибавить 1 к неполному частному;
• вычислить остаток, исходя из формулы d = a − b * c.

Пример

Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.

Применим алгоритм для деления с остатком.

Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.

Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим d = a − b * c = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.

Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.

Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).

Деление с остатком с помощью числового луча

Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.

Пример 1

Рассмотрим выражение: 10 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.

Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).

Пример 2

Рассмотрим выражение: 11 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.

Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).

Проверка деления с остатком

Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.

Формула деления с остатком

a = b * c + d,

где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.

Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.

Пример

Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).

В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.

Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Если нам известно, что а — это делимое, тогда b — это делитель, с — неполное частное, d — остаток. И они между собой связаны. Эту связь можно описать через теорему о делимости с остатком и показать при помощи равенства.

Теорема

Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом:

где q и r — это некоторые целые числа. При этом 0 ≤ r ≤ b.

Докажем возможность существования a = b * q + r .

Доказательство:

Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что есть число q, и будет верно равенство a = b * q. Тогда равенство можно считать верным: a = b * q + r при r = 0.

Если посчитать, что b — целое положительное число, тогда, следует выбрать целое q так, чтобы произведение b * q не было больше значения числа а , а произведение b * (q + 1) было больше, чем a.

Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b * q

Источник