- Параметрические и непараметрические критерии: различия, особенности применения (ограничения).
- Непараметрические критерии
- Общий обзор
- Различия между независимыми выборками
- Две независимые выборки: U-критерий Манна-Уитни и др.
- Несколько независимых групп: критерий Краскела-Уоллиса и др.
- Различия между зависимыми выборками
- Две зависимые выборки: критерий Вилкоксона и др.
- Несколько зависимых выборок
- В каком случае использовать параметрический, а в каком — непараметрический метод?
Параметрические и непараметрические критерии: различия, особенности применения (ограничения).
Статистический критерий — это решающее правило, обеспечивает математически обоснованное принятие истинной и отклонение ложной гипотезы. Статистические критерии строятся на основе статистики ^ (х1, х2, хп) — некоторой функции от результатов наблюдений х1, х2, хп. Статистика кр со свойством: если эмпирическое значение статистики. ЭМПпринадлежат области кр, то нулевую гипотезу отклоняют (отбрасывают), иначе — принимают. Статистические критерии определяют в практической деятельности метод расчета определенного числа, которое обозначается как эмпирическое значение критериев ию, например, ґ ем« для г-критерия. Стьюдента
Соотношение эмпирического и критического значений критерия является основанием для подтверждения или спростовування гипотезы. Например, в случае применения г-критерия. Стьюдента, если г ем» г кр, то значение статистики относятся критической области и нулевая гипотезаН0 отклоняется (принимается альтернативная гипотеза. Нет). Правила принятия статистического решения оговариваются для каждого критерия
Параметрические и непараметрические критерии
Согласно статистических гипотез статистические критерии делятся на параметрические и непараметрические
. Параметрические критерии используются в задачах проверки параметрических гипотез и включают в свой расчет показатели распределения, например, средние, дисперсии и т.д.. Это такие известные классические критерии, как г-критерий, г-к критерий. Стьюдента, ^-критерий. Фишера и др.. . Непараметрические критерии проверки гипотез основаны на операциях с другими данными, в частности, частотами, рангами и т.п.. Это. А-критерий. Колмогорова-Смирнова, [/-критерий. Вилкок-сона-Манна-Уитни и многие другие
Параметрические критерии позволяют прямо оценить уровень основных параметров генеральных совокупностей, разности средних и различия в дисперсиях. Критерии способны выявить тенденции изменения признака при переходе от условия к ум языка, оценить взаимодействие двух и более факторов в воздействии на изменения признака. . Параметрические критерии считаются несколько более мощными, чем не-параметрические, при условии, что признак измеренная с интервальной шкале и нормально распределенная. Однако с интервальной шкале могут возникнуть определенные проблемы и, если данные, представлены не в стандартизированных оценках. К тому же проверка распределения»на нормальность»требует достаточно сложных расчетов, результат которых заранее неизвестен. Чаще распределения признаков отличаются от нормального, тогда приходится обращаться к непараметрических критерииних критеріїв.
. Непараметрические критерии лишены вышеперечисленных ограничений. Однако они не позволяют осуществить прямую оценку уровня таких важных параметров, как среднее или дисперсия, с их помощью невозможно оценить взаимодействий действие двух и более условий или факторов, влияющих на изменение признаки. Непараметрические критерии позволяют решить некоторые важные задачи, которые сопровождают исследования в психологии и педагогике: выявление различий в уровне исследуемого признака, оценка сдвига значений исследуемого признака, выявление различий в распределениях ознаак.
Применение критериев для принятия (отклонения) статистических гипотез всегда осуществляются с доверительной вероятностью, иначе говоря, на определенном уровне значимости
Критерии выявления различий в уровне исследуемого признака: критерии Розенбаума, Манна-Уитни. Ограничения в применении
Назначение критерия
Критерий используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых.
Описание критерия
Это очень простой непараметрический критерий, который позволяет быстро оценить различия между двумя выборками по какому-либо признаку. Однако если критерий Q не выявляет достоверных различий, это еще не означает, что их действительно нет.
В этом случае стоит применить критерий φ* Фишера. Если же Q-критерий выявляет достоверные различия между выборками с уровнем значимости р
Источник
Непараметрические критерии
Общий обзор
Непараметрические методы разработаны для тех ситуаций, когда исследователь ничего не знает о параметрах исследуемой популяции (отсюда и название методов — непараметрические). Говоря более специальным языком, непараметрические методы не основываются на оценке параметров (таких как среднее или стандартное отклонение) при описании выборочного распределения интересующей величины.
Поэтому эти методы иногда также называются свободными от параметров или свободно распределенными.
Непараметрические методы позволяют обрабатывать данные «низкого качества» из выборок малого объема с переменными, про распределение которых мало что или вообще ничего не известно.
По существу, для каждого параметрического критерия имеется, по крайней мере, один непараметрический аналог. Эти критерии можно отнести к одной из следующих групп:
критерии различия между независимыми выборками
критерии различия между зависимыми выборками
критерии зависимости между переменными
Различия между независимыми выборками
Две независимые выборки: U-критерий Манна-Уитни и др.
Обычно, когда имеются две выборки (например, мужчины и женщины), которые вы хотите сравнить относительно среднего значения некоторой изучаемой переменной, вы используете t-критерий для независимых выборок.
Непараметрическими альтернативами параметрического критерия для двух независимых групп являются:
- U критерий Манна-Уитни
- Критерий серий Вальда-Вольфовица
- Двухвыборочный критерий Колмогорова-Смирнова
Рассмотрим U критерий Манна-Уитни подробнее:
Критерий Манна-Уитни проверяет гипотезу о статистической однородности двух выборок.
Обозначим закон распределения первой выборки X через F:
а второй выборки Y через G:
Законы F и G должны быть непрерывны.
Таким образом нулевая гипотеза записывается в виде
Действуя по стандартному алгоритму проверки гипотез , 
отклоняется на уровне значимости α, если |U| > Uкр
Если по крайней мере одна из групп имеет размер выборки более 15, то можно показать, что:
,
где 
, 
Несколько независимых групп: критерий Краскела-Уоллиса и др.
Если вы имеете несколько групп, то можете использовать Дисперсионный анализ (ANOVA).
Его непараметрическими аналогами являются:
- Ранговый дисперсионный анализ Краскела-Уоллиса
- Медианный тест
Рассмотрим критерий Краскела-Уоллиса подробнее:
Критерий Краскела-Уоллиса является расширением критерия Манна-Уитни и предназначен для сравнения распределений в k выборках.
H1: Распределения каждой из k выборок различны
Критерий Краскела-Уоллиса используется, когда невозможно сказать что-либо определенное об альтернативах , т.к. он свободен от распределения.
Число элементов в каждой i-й выборке ( i=1. k ) равно ni
Как было показано выше, Заменим наблюдения 
их рангами 
, упорядочивая всю совокупность 
в порядке возрастания.
Затем для каждой выборки необходимо вычислить суммарный и средний ранги:
Если между выборками нет систематических различий, то средние ранги 
не должны значительно отличаться от среднего, рассчитанного по всей совокупности 
Значение последнего 
.
Здесь 
— общее число наблюдений.
Вычислим величины дисперсий 
для каждой выборки
Эти значения при в совокупности должны быть небольшими. Составляя общую характеристику, разумно учесть различия в числе наблюдений для разных выборок и взять в качестве меры отступления от чистой случайности величину
Эта величина называется статистикой Краскела-Уоллеса.
Множитель 
присутствует в качестве нормировочного для обеспечения сходимости распределения H и 
с числом степеней свободы 
.
Согласно стандартному алгоритму проверки гипотез, 
отвергается на уровне значимости α, если |H| > кр
Различия между зависимыми выборками
Две зависимые выборки: критерий Вилкоксона и др.
Если вы хотите сравнить две переменные, относящиеся к одной и той же выборке (например, математические успехи студентов в начале и в конце семестра), то обычно используется t-критерий для зависимых выборок.
Альтернативными непараметрическими тестами являются:
- Критерий Вилкоксона парных сравнений
- Критерий знаков
Рассмотрим подробнее Критерий Вилкоксона.
Итак, мы располагаем двумя зависимыми выборками. Сформулируем гипотезы:
H0: медиана разницы в популяции равна нулю
H1: медиана разницы в популяции не равна нулю.
Вычислим разности для каждой пары результатов.
Обозначим за n’ число ненулевых разностей.
Проранжируем положительные и отрицательные разности (кроме нулевых), чтобы наименьшая абсолютная величина (без учета знака) получила первый ранг.
Отдельно вычислим сумму рангов положительных и отрицательных разностей, меньшую из двух сумм без учета знака считают тестовой статистикой W данного критерия.
Согласно стандартному алгоритму проверки гипотез, отвергается на уровне значимости α, если |W|>Wкр
Если число ненулевых разностей n’>20, статистика W приближается к стандартному нормальному распределению z:
,
Несколько зависимых выборок
Если рассматривается более двух переменных, относящихся к одной и той же выборке, то обычно используется Дисперсионный анализ (ANOVA) с повторными измерениями.
Альтернативным непараметрическим методом является
- ранговый дисперсионный анализ Фридмана
- Q критерий Кохрена (последний применяется, например, если переменная измерена в номинальной шкале). Q критерий Кохрена используется также для оценки изменений частот (долей).
В каком случае использовать параметрический, а в каком — непараметрический метод?
Непараметрические методы наиболее приемлемы, когда объем выборок мал. Если данных много (например, n > 100), то не имеет смысла использовать непараметрические статистики.
Дело в том, что когда выборки становятся очень большими, то выборочные средние подчиняются нормальному закону, даже если исходная переменная не является нормальной или измерена с погрешностью.
Непараметрические тесты имеют меньшую статистическую мощность (менее чувствительны), чем их параметрические конкуренты, и если важно обнаружить даже слабые отклонения, следует особенно внимательно выбирать статистику критерия.
Источник
