Что значит найти точки разрыва функции

Точки разрыва функции и их классификация

Определение точки разрыва

Точка $a$, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция $f(x)$ определена в точке и ее окрестности;
2. существует конечный предел функции $f(x)$ в точке $a$;
3. это предел равен значению функции в точке $a$, т.е. $\lim _ f(x)=f(a)$

называется точкой разрыва функции.

Функция $y=\sqrt$ не определена в точке $x=-1$, а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Точка разрыва первого рода

Если в точке $a$ существуют конечные пределы $f(a-0)$ и $f(a+0)$, такие, что $f(a-0) \neq f(a+0)$, то точка $a$ называется точкой разрыва первого рода.

Точки разрыва функции и их классификация не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Функция $f(x)=\left\<\begin<0, x>1> \\ <1, x \leq 1>\end\right.$ в точке $x=1$ имеет разрыв первого рода, так как

Точка разрыва второго рода

Если хотя б один из пределов $f(a-0)$ или $f(a+0)$ не существует или равен бесконечности, то точка $a$ называется точкой разрыва второго рода.

Для функции $y=\frac<1>$ точка $x=0$ — точка разрыва второго рода, так как $f(0-0)=-\infty$ .

Точка устранимого разрыва

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции $f(x)$ в точке $a$: $f(a) \neq f(a-0)=f(a+0)$ или функция $f(x)$ не определена в точке $a$, то точка $a$ называется точкой устранимого разрыва.

Так как $f(0-0)=f(0+0)$ и не равны значению функции в точке, то точка $x=0$ — точка устранимого разрыва.

Примеры решения задач

Задание. Исследовать функцию $f(x)=\left\<\begin, x \lt 1> \\ <(x-1)^<2>, 1 \leq x \leq 2> \\ <3-x, x>2>\end\right.$ на непрерывность.

Решение. Рассматриваемая функция определена и непрерывна на промежутках $(-\infty ; 1)$, $(1 ; 2)$ и $(2 ;+\infty)$, на которых она задана непрерывными элементарными функциями $y_<1>(x)=x^<2>$, $y_<2>(x)=(x-1)^<2>$ и $y_<3>(x)=3-x$ соответственно. А тогда, разрыв возможен только на концах указанных промежутков, то есть в точках $x=1$ и $x=2$ .

Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.

1) Рассмотрим точку $x=1$ . Для нее

Так как $f(1-0) \neq f(1+0)$ , то в точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода.

2) Для точки $x=2$ имеем:

Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке $x=2$ функция непрерывна.

Ответ. В точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода, а в точке $x=2$ непрерывна.

Задание. Исследовать функцию $y=e^<\frac<1>>$ на непрерывность в точках $x_<1>=1$ и $x_<2>=0$ .

Решение. 1) Исследуем функцию на непрерывность в точке $x_<1>=1$:

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то точка $x_<1>=1$ — точка разрыва второго рода.

2) Для точки $x_<2>=0$ получаем:

и значение функции в точке

Таким образом, в точке $x_<2>=0$ заданная функция является непрерывной.

Ответ. $x_<1>=1$ — точка разрыва второго рода, а в точке $x_<2>=0$ функция непрерывна.

Источник

Что значит найти точки разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода .

Говорят, что функция \(f\left( x \right)\) имеет точку разрыва первого рода при \(x = a\), если в это точке

• Существуют левосторонний предел \(\lim\limits_ f\left( x \right)\) и правосторонний предел \(\lim\limits_ f\left( x \right)\);
• Эти односторонние пределы конечны.

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: \[\lim\limits_ f\left( x \right) = \lim\limits_ f\left( x \right).\] Такая точка называется точкой устранимого разрыва .
• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: \[\lim\limits_ f\left( x \right) \ne \lim\limits_ f\left( x \right).\] Такая точка называется точкой конечного разрыва . Модуль разности значений односторонних пределов \(\left| \lim\limits_ f\left( x \right) — \lim\limits_ f\left( x \right) \right|\) называется скачком функции .

Функция \(f\left( x \right)\) имеет точку разрыва второго рода при \(x =a\), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Данная функция не определена в точках \(x = -1\) и \(x = 1\). Следовательно, функция имеет разрывы в точках \(x = \pm 1\). Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках. \[ <\lim\limits_<3^<\large\frac<<1 - >>\normalsize>> = <3^<\large\frac<< - 1>><< - 0>>\normalsize>> = <3^\infty >= \infty ,\;\;> <\lim\limits_<3^<\large\frac<<1 - >>\normalsize>> = <3^<\large\frac<< - 1>><< + 0>>\normalsize>> = <3^< - \infty >> = \frac<1><<<3^\infty >>> = 0.> \] Поскольку левосторонний предел при \(x = -1\) равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода. \[ <\lim\limits_<3^<\large\frac<<1 - >>\normalsize>> = <3^<\large\frac<< 1>><< +0>>\normalsize>> = <3^\infty >= \infty ,\;\;> <\lim\limits_<3^<\large\frac<<1 - >>\normalsize>> = <3^<\large\frac<< 1>><< -0>>\normalsize>> = <3^< - \infty >> = \frac<1><<<3^\infty >>> = 0.> \] Аналогично, левосторонний предел в точке \(x = 1\) равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

Очевидно, данная функция не определена при \(x = 0\). Поскольку \(\sin x\) является непрерывной функцией для всех \(x\), то искомая функция \(f\left( x \right) = \large\frac<<\sin x>>\normalsize\) также непрерывна при всех \(x\) за исключением точки \(x = 0\).
Так как \(\lim\limits_ \large\frac<<\sin x>>\normalsize = 1\), то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию \[ \left( x \right) = \begin \large\frac <\sin x>\normalsize, & x \ne 0 \\ 1, &x = 0 \end ,\] которая будет непрерывной при любом действительном \(x\).

Источник

Что значит найти точки разрыва функции

3.1.11. фПЮЛЙ ТБЪТЩЧБ ЖХОЛГЙЙ Й ЙИ ЛМБУУЙЖЙЛБГЙС

еУМЙ ТБУУНПФТЕФШ ЗТБЖЙЛ ЖХОЛГЙЙ Ч ПЛТЕУФОПУФЙ ФПЮЛЙ x = 0

ФП СУОП ЧЙДОП, ЮФП ПО ЛБЛ ВЩ “ТБЪТЩЧБЕФУС” ОБ ПФДЕМШОЩЕ ЛТЙЧЩЕ. бОБМПЗЙЮОП НПЦОП ТБУУНПФТЕФШ ЖХОЛГЙА, ЙЪПВТБЦЕООХА ОБ ТЙУХОЛЕ Ч ПЛТЕУФОПУФЙ ФПЮЛЙ 2.

зПЧПТСФ, ЮФП ЧП ЧУЕИ ХЛБЪБООЩИ ФПЮЛБИ УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ ЖХОЛГЙЙ УФБОПЧСФУС ТБЪТЩЧОЩНЙ.

фПЮЛБ x ₀ ОБЪЩЧБЕФУС ФПЮЛПК ТБЪТЩЧБ ЖХОЛГЙЙ y = f(x) , ЕУМЙ ПОБ РТЙОБДМЕЦЙФ ПВМБУФЙ ПРТЕДЕМЕОЙС ЖХОЛГЙЙ ЙМЙ ЕЈ ЗТБОЙГЕ Й ОЕ СЧМСЕФУС ФПЮЛПК ОЕРТЕТЩЧОПУФЙ.

ч ЬФПН УМХЮБЕ ЗПЧПТСФ, ЮФП РТЙ x= x 0 ЖХОЛГЙС ТБЪТЩЧОБС. ьФП НПЦЕФ РТПЙЪПКФЙ, ЕУМЙ Ч ФПЮЛЕ x 0 ЖХОЛГЙС ОЕ ПРТЕДЕМЕОБ ЙМЙ ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ РТЕДЕМ , ЙМЙ ЕУМЙ РТЕДЕМ УХЭЕУФЧХЕФ, ОП .

1. тБУУНПФТЙН ЖХОЛГЙА:

ьФБ ЖХОЛГЙС ПРТЕДЕМЕОБ ЧП ЧУЕИ ФПЮЛБИ ПФТЕЪЛБ [0, 4] Й ЕЈ ЪОБЮЕОЙЕ РТЙ x = 3 ТБЧОП 0. пДОБЛП, Ч ФПЮЛЕ x = 3 ЖХОЛГЙС ЙНЕЕФ ТБЪТЩЧ, Ф.Л. ПОБ ОЕ ЙНЕЕФ РТЕДЕМБ РТЙ x = 3:

уМЕДХЕФ ПФНЕФЙФШ, ЮФП f(x) ОЕРТЕТЩЧОБ ЧП ЧУЕИ ПУФБМШОЩИ ФПЮЛБИ ПФТЕЪЛБ [0, 4]. рТЙ ЬФПН Ч ФПЮЛЕ x = 0 ПОБ ОЕРТЕТЩЧОБ УРТБЧБ, Б Ч ФПЮЛЕ x = 4 – УМЕЧБ, Ф.Л.

2. жХОЛГЙС ТБЪТЩЧОБ РТЙ x = 0. дЕКУФЧЙФЕМШОП:

фПЮЛЙ ТБЪТЩЧБ ЖХОЛГЙЙ НПЦОП ТБЪВЙФШ ОБ ДЧБ ФЙРБ.

фПЮЛБ ТБЪТЩЧБ x 0 ЖХОЛГЙЙ f(x) ОБЪЩЧБЕФУС ФПЮЛПК ТБЪТЩЧБ РЕТЧПЗП ТПДБ , ЕУМЙ УХЭЕУФЧХАФ ПВБ ПДОПУФПТПООЙИ ЛПОЕЮОЩИ РТЕДЕМБ , ОП ПОЙ ОЕ ТБЧОЩ НЕЦДХ УПВПК ЙМЙ ОЕ ТБЧОЩ ЪОБЮЕОЙА ЖХОЛГЙЙ Ч ФПЮЛЕ x 0 , Ф.Е. f(x 0 ) . фПЮЛБ ТБЪТЩЧБ, ОЕ СЧМСАЭБСУС ФПЮЛПК ТБЪТЩЧБ РЕТЧПЗП ТПДБ, ОБЪЩЧБЕФУС ФПЮЛПК ТБЪТЩЧБ ЧФПТПЗП ТПДБ .

ч РЕТЧПН РТЙНЕТЕ ФПЮЛБ И= 3 СЧМСЕФУС ФПЮЛПК ТБЪТЩЧБ РЕТЧПЗП ТПДБ. ч РТЙНЕТЕ 2 ЧУЕ ФПЮЛБ ТБЪТЩЧБ x = 0 СЧМСАФУС ФПЮЛПК ТБЪТЩЧБ ЧФПТПЗП ТПДБ.

Источник

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Содержание:

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Определение: Функция

• — она определена в этой точке и ее некоторой -окрестности;
• — существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

— предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

• находят область определения функции; точки, в которых функция не определена, являются точками подозрительными на разрыв: если функция задана словесным образом, т.е. описывается разными формулами на разных интервалах, то точками подозрительными на разрыв являются точки, определяющие границы интервалов;
• исследуют подозрительные на разрыв точки, для чего вычисляют лево- и правосторонние пределы; классифицируют точки разрыва;
• при наличии точек разрыва строят график функции в малой -окрестности точки .

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

• точка является точкой подозрительной на разрыв.
• вычислим левосторонний и правосторонний пределы; так как пределы бесконечные, то точка является точкой разрыва второго рода;
• построим график функции в небольшой окрестности точки разрыва (Рис. 65).

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Математика Алгебра Линейная алгебра Векторная алгебра Высшая математика Дискретная математика Математический анализ Математическая логика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Точки разрыва и их классификация
• Дифференциальное исчисление
• Исследование функций с помощью производных
• Формула Тейлора и ее применение
• Векторное и смешанное произведения векторов
• Преобразования декартовой системы координат
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Замечательные пределы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник