Нахождение рациональных корней
Содержание:
Теорема о рациональных корнях
Если для многочлена 
с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид
Доказательство:
Пусть несократимая дробь 
является корнем многочлена 
с целыми коэффициентами:
Умножим обе части равенства на 
:
Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена 
, содержит множитель 
и каждый член, кроме члена 
, содержит множитель 
, то коэффициент 
должен делится на 
, а коэффициент 
должен делится на 
.
Задача пример №8
Найдите рациональные корни многочлена 
.
Решение:
свободный член 6, старший коэффициент 2.
Для 
, 
запишем все возможные числа вида
, т.е. одним из множителей является двучлен 
. Другие множители найдем, используя синтетическое деление:
Так как, 
, получим, что 
являются корнями многочлена.
Следствие 1. Если старший коэффициент ±1 и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.
Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.
Задача пример №9
Найдите корни многочлена 
.
Решение:
по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.
Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.
Так как 
, то, решив квадратное уравнение 
, получим другие корни: 
. Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня: —
.
Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения 
сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми.
Например, для нахождения корней многочлена 
надо умножить все члены уравнения 
на 12, а затем решить полученное уравнение 
.
Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия:
1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.
2. Из этих чисел выбирается число 
(обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т.е. определяется двучлен 
, на который многочлен делится без остатка.
3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен 
определяется другой множитель.
4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.
5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена 
могут являться числа ±1.
Проверим: 
; 
. Значит, многочленах 
не имеет рациональных корней.
Исследование:
1) Перепишите примеры в тетрадь и проведите обсуждение.
a) Многочлен первой степени 
имеет один корень: 
b) Многочлен второй степени 
имеет два корня: 
, 
; 
c) Многочлен третьей степени 
имеет три корня: 
d) Многочлен четвертой степени 
имеет четыре корня: 
e) Принимая во внимание, что уравнение 
имеет кратные корни, получим 5 корней: 
2) Укажите степень и найдите корни многочленов, разложение на множители которых имеет вид 
.
3) Равна ли степень произвольного многочлена количеству его корней?
Покажем на примере, что многочлен n-ой степени имеет n корней.
Задача пример №10
Найдите все корни многочлена 
.
Решение:
рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:
.
Значит, 
является корнем данного многочлена 
. Другие корни найдем синтетическим делением.
В выражении 
для множителя 
вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда 
; 
. Решим уравнение 
; 
; 
(корень кратности 2); 
; 
Корни: 
Во всех рассмотренных нами примерах уравнение n-ой степени всегда имеет n корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).
Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:
| Математика: полный курс решений задач в виде лекций |
Другие темы которые вам помогут понять математику:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Источник
Разложение многочлена на множители. Часть 3. Теорема Безу и схема Горнера
Разложение многочлена на множители. Теорема Безу и схема Горнера
При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим, каким образом это сделать проще всего.
Как обычно, обратимся за помощью к теории.
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена 
на двучлен 
равен 
.
Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:
Если число 
является корнем многочлена , то многочлен 
делится без остатка на двучлен .
Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где — корень многочлена. В результате мы получаем многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.
Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена , и как разделить многочлен на двучлен.
Остановимся подробнее на этих моментах.
1. Как найти корень многочлена.
Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.
Здесь нам помогут такие факты:
Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число 
является корнем многочлена.
Например, в многочлене 
сумма коэффициентов равна нулю: 
. Легко проверить, что 
является корнем многочлена.
Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях 
равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число 
является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку 
, а 
— четное число.
Например, в многочлене 
сумма коэффициентов при четных степенях : 
, и сумма коэффициентов при нечетных степенях : 
. Легко проверить, что 
является корнем многочлена.
Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.
Для приведенного многочлена степени 
(то есть многочлена, в котором старший коэффициент — коэффициент при 
— равен единице) справедлива формула Виета:
, где 
— корни многочлена 
.
Если многочлен не является приведенным, то его можно сделать таковым, разделив на старший коэффициент.
Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.
Из этой формулы Виета следует, что если корни приведенного многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.
Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.
Рассмотрим, например, многочлен 
.
Для этого многочлена произведение корней равно 
Делители числа 
: 
; 
; 
Сумма всех коэффициентов многочлена равна 
, следовательно, число 1 не является корнем многочлена.
Сумма коэффициентов при четных степенях : 
Сумма коэффициентов при нечетных степенях : 
, следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.
Проверим, является ли число 2 корнем многочлена: 
, следовательно, число 2 является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен 
.
2. Как разделить многочлен на двучлен.
Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.
Разделим многочлен на двучлен столбиком:
Есть и другой способ деления многочлена на двучлен — схема Горнера.
Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.
Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 — так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.
Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен 
, то коэффициенты многочлена 
мы можем найти по схеме Горнера:
Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.
Используя схему Горнера, мы «убиваем двух зайцев»: одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .
Пример. Решить уравнение:
1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.
Делители числа 24: 
2. Проверим, является ли число 1 корнем многочлена.
Сумма коэффициентов многочлена 
, следовательно, число 1 является корнем многочлена.
3. Разделим исходный многочлен на двучлен 
с помощью схемы Горнера.
А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.
Так как член, содержащий 
отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.
Б) Заполняем первую строку таблицы.
В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:
Будем делить дальше. Нам нужно найти корни многочлена 
. Корни также ищем среди делителей свободного члена, то есть теперь уже числа -24.
Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена
В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :
Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.
В последнем столбце мы получили -40 — число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен 
с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.
В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:
Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен 
без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.
В результате деления мы получили квадратный трехчлен 
, корни которого легко находятся по теореме Виета: 
Итак, корни исходного уравнения :
Источник
