Что значит натуральное число примеры

Натуральные числа: что такое натуральное число в математике

Содержание:

В математике существует несколько видов чисел. Одними из самых известных и широко применяемых как профессиональными математиками, так и обычными людьми являются натуральные.

Определение

Натуральные числа – это те, которые принято использовать при обычном подсчете каких-либо материальных предметов, событий и вообще всего, что может быть воспринято органами чувств человека. С этим понятием мы сталкиваемся с детства, потому что этот вид чисел наиболее широко используется в обычной жизни. Люди не обращают внимание на то, как часто им приходится использовать натуральный ряд. Вот наглядный пример. Вряд ли кто задает себе вопрос: что такое натуральное число в математике, глядя на обычные часы, по которым мы определяем какое количество часов и минут прошло с момента начала текущих суток. Основная задача, которую выполняют такие числа, заключается в указании количества чего-либо.

Ряд натуральных чисел

Теперь, когда мы усвоили, что значит натуральное число, поговорим о конкретных примерах. Натуральный ряд начинается с числа 1, а для его обозначения используется буква N. Сам ряд представляет собой числовую последовательность, в которой каждое следующее число больше предыдущего на одну единицу.

Другими словами, натуральные числа — это хорошо знакомая нам последовательность. И какие числа в нее входят понять несложно, вот примеры таких чисел:

2, 31, 55, 74, 153, 1507.

А вот ряд, который образуют числа от 1 до 9:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Поговорим про ноль

Относится ли 0 к натуральным числам? Прежде чем ответить на этот вопрос, вернемся к началу нашего изложения и вспомним, что значит натуральное число в математике. При обычном подсчете число 0 не применяют. Ведь он означает отсутствие чего-либо. Когда приходится констатировать факт, что мы чего-то не обнаружили, то никогда не употребляем словосочетания типа: 0 автомобилей или 0 бутылок. Вместо этого более привычной будет следующая фраза: «нет ни одной бутылки». Исходя из этого ответ на вопрос: входит ли 0 в натуральные числа, отпадает сам по себе. Однозначно, таковым его называть нельзя.

О самом большом числе

Как долго продолжается натуральный ряд? Числа в нем могут быть как одно- и двухзначными, так и трех-, четырехзначными и больше. Поэтому самое большое натуральное число в математике отсутствует, а ряд считают бесконечным.

• На заводе по производству метизов для автомобильной промышленности выпускается 1 563 800 крепежных болтов. Упомянутое число было использовано при подсчете выпущенной продукции, поэтому оно относится к ряду натуральных чисел.
• В астрономии при определении расстояний между небесными телами приходится сталкиваться с очень большими числами. Так размер большой полуоси орбиты Плутона составляет примерно 6 000 000 000 км.

Натуральные числа с нолями

С одной стороны, мы выяснили, что 0 не относится к натуральным числам. Но вполне естественно выглядит вопрос: 10 – натуральное число или нет? Безусловно, это число и любое другое с неограниченным количеством нолей относят к этому виду, потому что они могут применяться при подсчете или перечислении.

Действия, которые могут выполняться над натуральными числами

Над натуральными числами можно выполнять различные математические операции.

• Сложение. Два или более чисел являются слагаемыми, а результат действия называется суммой: 345 + 1 813 = 2 158
• Вычитание. Первое число, называемое уменьшаемым, должно быть больше другого, которое именуют вычитаемым. В результате получаем разность: 455 — 120 = 335
• Умножение. Два или более множителей, а в результате получается произведение: 36 х 3 = 108
• Деление. Первое число, которое будет делиться, называют делимым, второе – делителем, а результат – частным. Может быть с остатком или без него: 450:15=30, 450:20=22 + остаток 10.

Также существует степень натурального числа, а запись выглядит следующим образом: ab, где: а – основание степени, а b – показатель. Например, 3 2 = 9.

Разряды и натуральные числа

Разрядом называют место нахождения цифры в числе. Каждый разряд называется индивидуально, они располагаются по старшинству – справа налево и от младшего к старшему. Количество цифр числа совпадает с количеством разрядов.

Самым низшим из разрядов являются единицы, а самый старший всегда соответствует крайней левой цифре.

Например, число 5 469 содержит четыре разряда:

• 9 – разряд единиц,
• 6 – разряд десятков,
• 4 – разряд сотен,
• 5 – разряд тысяч.

Более высокие разряды называют:

Разряды объединяют в классы, каждый из которых включает три разряда:

Между классами для удобства чтения принято делать пробел.

Что такое натуральные значения в математике? Это любые значения, выраженные с использованием чисел натурального ряда. Еще один пример: 184 345 567 100 – в этом числе четыре класса: единицы, тысячи, миллионы и миллиарды.

Источник

Натуральные числа

Содержание

Определение натуральных чисел [ править ]

Неформальное определение [ править ]

Определение:

Натура́льные чи́сла (англ. natural numbers, естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком [math]\mathbb[/math] . Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Формальное определение [ править ]

Определить множество натуральных чисел позволяют аксиомы Пеано (англ. Peano axioms):

Определение:

Множество [math]\mathbb N[/math] будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент [math] 1\in\mathbb N[/math] (единица) и функция [math]S\colon\mathbb N\to\mathbb N[/math] (функция следования) так, что выполнены следующие условия [math]1\in\mathbb[/math] ( [math]1[/math] является натуральным числом); Если [math]x\in\mathbb[/math] , то [math]S(x)\in\mathbb[/math] (Число, следующее за натуральным, также является натуральным); [math]\nexists x\in\mathbb\ (S(x) = 1)[/math] ( [math]1[/math] не следует ни за каким натуральным числом); Если [math]S(b)=a[/math] и [math]S(c)=a[/math] , тогда [math]b=c[/math] (если натуральное число [math]a[/math] непосредственно следует как за числом [math]b[/math] , так и за числом [math]c[/math] , то [math]b=c[/math] ); Аксиома индукции. Пусть [math]P(n)[/math] — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа [math]n[/math] . Тогда: если [math]P(1)[/math] и [math]\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))[/math] , то [math]\forall n\;P(n)[/math] (Если некоторое высказывание [math]P[/math] верно для [math]n=1[/math] (база индукции) и для любого [math]n[/math] при допущении, что верно [math]P(n)[/math] , верно и [math]P(n+1)[/math] (индукционное предположение), то [math]P(n)[/math] верно для любых натуральных [math]n[/math] ).

Теоретико-множественное определение [ править ]

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают [math]0, 1, 2, \dots.[/math]

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

Операции над натуральными числами [ править ]

Сложение [ править ]

Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел [math]a\ и\ b[/math] . Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:

Пусть [math]N(S)\ — [/math] мощность множества [math]S[/math] . Возьмём два не пересекающихся множества [math]A\[/math] и [math]B,\[/math] причём [math]N(A) = a[/math] и [math]N(B) = b[/math] . Тогда [math]a + b[/math] можно определить как: [math]N ( A ∪ B )[/math] .

Здесь, [math]A ∪ B\ — [/math] это объединение множеств [math]A\ и B\[/math] . В альтернативной версии этого определения множества [math]A\ и\ B[/math] перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.

Другое известное определение рекурсивно: Пусть [math]n+\ — [/math] следующее за [math]n[/math] натуральное число, например [math]0+ = 1, 1+ = 2.[/math] Пусть [math]a + 0 = a[/math] . Тогда общая сумма определяется рекурсивно: [math]a + (b+) = (a + b)+[/math] . Отсюда [math]1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2[/math] .

Умножение [ править ]

Воспользуемся определением натуральных чисел [math]\mathbb[/math] как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств [math]C,\A,\B\[/math] порождённых биекциями, с помощью скобок: [math][C], [A], [B].[/math] Тогда арифметическая операция умножение определяется следующим образом: [math][C] = [A] \cdot [B] = [A \times B];\[/math] где: [math]A \times B=<(a,\ b) \mid a \in A,\ b \in B>\[/math] прямое произведение множеств — множество [math]C,[/math] элементами которого являются упорядоченные пары [math](a,\ b)[/math] для всевозможных [math]a \in A,\ b \in B[/math] . Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Вычитание [ править ]

Воспользуемся определением натуральных чисел [math]\mathbb[/math] как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств [math]C , A , B[/math] порождённых биекциями, с помощью скобок: [math][C],\ [A],\ [B].[/math] Тогда арифметическая операция вычитание определяется следующим образом: [math][C] = [A] − [B] = [A \backslash B];\[/math] где [math]A \backslash B = \ < C \in A \mid C \notin B \mid B \subset A \>—\ [/math] разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Деление чисел с остатком [ править ]

Определение:

Если натуральное число [math]n\,[/math] не делится на натуральное число [math]m[/math] , т.е. не существует такого натурального числа [math]k[/math] , что [math]n = m \cdot k[/math] , то деление называется делением с остатком (англ. modulo operation).

Формула деления с остатком: [math]n = m \cdot k + r,[/math] где [math]n\,[/math] — делимое, [math]m\,[/math] — делитель, [math]k\,[/math] — частное, [math]r\,[/math] — остаток, причем [math]0\leqslant r \lt b [/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 2 \cdot k + r[/math] , где остаток [math]r\, = 0\,[/math] или [math]r\, = 1\,[/math] Любое число можно представить в виде: [math]n = 4 \cdot k + r[/math] , где остаток [math]r\ = 0\,[/math] или [math]r\, = 1\,[/math] или [math]r\, = 2\,[/math] или [math]r\, = 3\,[/math] Любое число можно представить в виде: [math]n = m \cdot k + r[/math] , где остаток [math]r\,[/math] принимает значения от [math]0\,[/math] до [math](m-1)\,[/math]

Основная теорема арифметики [ править ]

Лемма Евклида [ править ]

Доказательство: [math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x\cdot y[/math] делится на [math]p[/math] , но [math]x[/math] не делится на [math]p[/math] . Тогда [math]x[/math] и [math]p[/math] — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа [math]u[/math] и [math]v[/math] , что

Умножая обе части на [math]y[/math] , получаем

[math](x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.[/math] Оба слагаемых левой части делятся на [math]p[/math] , значит, и правая часть делится на [math]p[/math] . [math]\triangleleft[/math]

Основная теорема арифметики [ править ]

Доказательство: [math]\triangleright[/math]

Существование. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если [math]n[/math] составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, [math]n[/math] тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть [math]p[/math] — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если [math]p[/math] входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на [math]p[/math] и получить два разных разложения числа [math]\dfrac

[/math] , что невозможно. А если [math]p[/math] не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на [math]p[/math] , а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству. [math]\triangleleft[/math]

Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел [ править ]

Индукция [ править ]

Формулировка принципа математической индукции:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math] И пусть первое утверждение [math]A_1[/math] верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_k[/math] следует верность [math]A_[/math] . Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Также существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math] . И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_1, A_2, A_3, \ldots, A_k[/math] следует верность [math]A_[/math] . Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Существование наименьшего элемента [ править ]

Аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.

Из этой теоремы вытекает следующее утверждение, эквивалентное аксиоме математической индукции, но иногда более удобное при проведении доказательств.

Источник

Теорема (О существовании минимума):