Что значит наклонная призма

Наклонная призма: список видов, описание формул, примеров и решений

Содержание:

Призмой зовётся объёмный многогранник, состоящий из двух одинаковых основ – многоугольников, расположенных в перпендикулярных плоскостях. Её боковые грани – прямоугольники или параллелограммы, имеют с ними общие грани. Наклонная призма – геометрическое тело с рёбрами, расположенными к основаниям под углом, отличным от прямого. Её верхняя и нижняя плоскости остаются параллельными.

Разновидности

Полная поверхность – сумма боковых поверхностей, нижней и верхней. Боковая – представлена параллелограммами. Расстояние между плоскостями оснований зовётся высотой геометрического тела.

Наклонная трехгранная или треугольная призма представлена пятигранником с равными основаниями в виде треугольников, которые смещены друг относительно друга. Боковые ребра наклонены к основанию.

Объём вычисляется по классической формуле:

Полная площадь: S = S_бок + 2S_осн или P_оснh + 2S_осн.

Сечения

Сечением тела называется фигура, представленная всеми его точками, расположенными на плоскости α. Перпендикулярное сечение наклонной призмы пересекает её боковые рёбра под углом 90°.

• Перпендикулярные сечения геометрического тела равны один другому.
• Сечение будет перпендикулярным боковым ребрам.

Если под углом 90° к боковым граням проходит плоскость сечения, геометрическая фигура называется усечённой. Периметр перпендикулярного сечения такой призмы равен:

• P – периметр фигуры сечения;
• l – боковое ребро, например, dD.

Задача

Перпендикулярным сечением наклонной четырехугольной призмы является ромб с диагоналями BD = 24 см, AC = 18 см. Боковая поверхность – 780 см2. Вычислить боковое ребро геометрической фигуры.

Начнём с рассмотрения перпендикулярного сечения. Стороной призмы является высота пересекающей плоскости. Сторона ромба вычисляется благодаря прямоугольному треугольнику AOB, где катеты равны половине диагонали (особенность рассматриваемого многоугольника).

Половины диагоналей OB и AO равны 9 и 12 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Дана наклонная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Катеты равны 7 и 24 см. Вершина A₁ находится на одинаковом удалении от вершин треугольника. Вычислить высоту призмы, где ребро AA₁ находится под углом 45° к основанию.

Проекция точки A1 на сторону BC △АВС представлена точкой O – это центр окружности, описанной вокруг нижнего основания △АВС. Отсюда следует: O делит гипотенузу ВС на равные отрезки BO = OC. Причём BC ⊥ А₁О – высота геометрического тела.

ΔА₁ОА является равнобедренным прямоугольным, а отрезки А₁О и АО равны.

Воспользуемся теоремой Пифагора.

Расстояния от вершин до точки O равны 25 : 2 = 12,5 см.

Источник

Призма. Виды призмы

Если вы уже знакомы с призмой, и хотите для себя просто что-то уточнить, то вам вполне может хватить таблицы, что дана в конце статьи.

Мы же поведем подробный разговор.

Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , лежащих в параллельных плоскостях, и параллелограммов .

Указанные в определении равные многоугольники – основания призмы .

Боковые грани – все грани, кроме оснований ( являются параллелограммами ).

Боковые ребра – общие стороны боковых граней ( параллельны между собой и равны ).

Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Высота призмы – перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.

Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.

Диагональное сечение –пересечение призмы и диагональной плоскости.

Перпендикулярное сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Различают призмы прямые (боковые ребра перпендикулярны плоскости основания) и наклонные (не прямые).

Среди прямых призм выделяют правильные.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.п.).

Частным случаем призмы является параллелепипед .

Параллелепипед – это призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Среди параллелепипедов выделяют наклонные, прямые и прямоугольные параллелепипеды.

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники (или прямой параллелепипед с прямоугольником в основании).

Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Частный случай прямоугольного параллелепипеда – куб.

Куб – прямоугольный параллелепипед, все грани которого – квадраты.

Далее – обещанная таблица, в которой собраны все основные виды призмы, с которыми приходится встречаться на ЕГЭ по математике.

Смотрите также «Объем призмы. Площадь поверхности призмы».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Призмы

Основные определения и свойства призм. Теорема Эйлера

Виды призм. Прямые и наклонные призмы. Правильные призмы

Примеры призм. Треугольные призмы. Четырехугольные призмы. Параллелепипеды

Основные определения и свойства призм. Теорема Эйлера

Утверждение 1. Каждый из n четырехугольников

Для остальных четырехугольников доказательство проводится аналогично.

называют боковыми гранями призмы . Совокупность всех боковых граней призмы составляет боковую поверхность призмы .

Утверждение 2 . Все боковые ребра призмы равны.

Это утверждение непосредственно вытекает из утверждения 1.

Замечание 1. В случае, когда не требуется делать специальных уточнений,

боковые ребра и ребра оснований называют ребрами призмы ,

боковые грани и основания призмы называют гранями призмы

совокупность всех граней призмы (всех боковых граней и оснований) называют полной поверхностью призмы,

n – угольные призмы называют призмами.

Теорема Эйлера . Для любой призмы справедливо равенство:

число вершин

+

число граней

–

число ребер

=

2

число вершин

+

число граней

–

число ребер

=

2

число вершин

+

число граней

–

–

число ребер

=

2

Доказательство. Заметим, что у n – угольной призмы 2n вершин, n боковых граней, 2 основания, 2n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n – угольной призмы (n + 2) грани и 3n ребер.

то теорема Эйлера доказана.

Определение 7. Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями , на которых лежат основания призмы, называют высотой призмы.

Замечание 2. С различными формулами для вычисления объема призмы и площадей боковой и полной поверхности призмы можно ознакомиться в разделе «Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы».

Замечание 3. С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы ожно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы».

Виды призм. Прямые и наклонные призмы. Правильные призмы

Существует следующая классификация призм.

Определение 8. Прямой призмой называют призму, боковые ребра которой перпендикулярны к плоскостям оснований. Призмы, боковые ребра которых не перпендикулярны к плоскостям оснований, называют наклонными призмами .

Замечание 4. Все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.

Определение 9. Правильной призмой называют прямую призму, основаниями которой служат правильные многоугольники.

Определение 10. Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Примеры призм. Треугольные призмы. Четырехугольные призмы.
Параллелепипеды

ABС – произвольный треугольник.

ABС – произвольный треугольник.

ABСD – произвольный четырехугольник.

ABСD – произвольный четырехугольник.

Боковые грани правильной четырехугольной призмы – прямоугольники.

Противоположные грани параллелепипеда равны.

Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Правильный параллелепипед, у которого все грани равные квадраты.

У куба все ребра равны и попарно перпендикулярны.

Призма	Рисунок	Свойства
Наклонная треугольная призма
Прямая треугольная призма
Правильная треугольная призма
Наклонная четырехугольная призма
Прямая четырехугольная призма
Правильная четырехугольная призма
Параллелепипед
Прямой параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед
Правильный параллелепипед
Куб

Наклонная треугольная призма

ABС – произвольный треугольник.

Прямая треугольная призма Правильная треугольная призма Наклонная четырехугольная призма

ABСD – произвольный четырехугольник.

Правильная четырехугольная призма

Свойства:
Наклонная четырехугольная призма, все грани которой паралллелограммы.
Противоположные грани параллелепипеда равны.

Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Правильный параллелепипед Куб

Свойства:
Правильный параллелепипед, у которого все грани равные квадраты.
У куба все ребра равны и попарно перпендикулярны.
Высота куба равна длине ребра.

Источник