Что значит множество с чертой сверху

Множества – это просто!

Ну кто не знает, что такое «множество»! Конечно, знают все. Я тоже вроде бы знаю. Это когда много чего-то. Толковый словарь Ожегова значение слова «множество» определяет так:

1. Очень большое количество, число кого-чего-нибудь. М. людей. М. случаев. Всяких запасов во множестве.

2. В математике: совокупность элементов, объединённых по какому-нибудь признаку. Теория множеств.
(Источник: https://gufo.me/dict/ozhegov/Множество )

Действительно, все знают, если это «множество» из первого случая. А со вторым случаем встречаются только математики. И те, кто использует математику профессионально как инструмент создания моделей его интереса. Это обычно относится к научной или другой высокотехнологичной сфере деятельности человека.

Даже в математике понятие множества по мере изучения его претерпело много модификаций. От наивной теории множеств до классов, категорий и объектов произвольной абстрактной природы. С одной стороны, это все – множества. С другой – это уже не множества. Множества в математике определяют таким образом, чтобы она не противоречила самой себе. А произвольные объекты, которые можно построить с помощью слов — «правильно» с точки зрения синтаксиса языка – бывают противоречивы. Обычно под понятие «множество» в математике подпадают чем то ограниченные «множества». Например, «множество всех множеств» не является множеством.

В основе наивной теории множеств лежат классические представления Г. Кантора: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» и множество — это «соединение в некое целое опре­деленных хорошо различимых объектов нашего созерцания или на­шего мышления». Но подобные концеп­ции чересчур широки. Это обстоятельство обходится известной дета­лизацией различий множеств и немножеств. Например, для обозна­чения неприемлемых — «слишком больших» — совокупностей мно­жеств применяется термин «класс» . При этом подразумевается, что класс не обязан быть множеством. Иными словами, при формали­зации понятий наивной теории множеств более полно и тщатель­но регламентируются процедуры, позволяющие вводить то или иное «канторовское» множество в математический обиход. Все допущен­ные в математику множества совершенно равноправны. Само собой, отсюда никак не следует, что все множества равны или не имеют от­личий. Просто множества однотипны, обладают общим статусом — они элементы «класса всех множеств».

Множество состоит из отдельных элементов . Минимальным множеством является пустое множество без элементов (пустое множество), обозначаемое как Ø, максимальным – некоторое множество, которое в рамках рассматриваемой задачи невозможно дополнить другими элементами. Ее можно обозначить как M .

Есть различные способы задания множеств. Наиболее употребительные – это

1) перечислением всех элементов , обычно в фигурных скобках, например: <1,2,3, …, 55>,
2) заданием логического или другого свойства, которым подчиняются ее элементы, например, числовой отрезок [-1, +1],
3) заданием аксиом, которым подчиняются ее элементы, например – аксиоматически определенное множество натуральных чисел,
4) с помощью различных операций над уже определенными множествами.

Для множеств определены операции:

1) объединения U ,
2) пересечения ∩,
3) дополнение до максимального множества – черта над символом множества,
4) вычитание – арифметический знак «–» (минус),
5) или косая черта (обратный слэш) «\»,
6) симметрическая разность – «Δ»,

Источник

Обозначение, запись и изображение числовых множеств

Из большого количества разнообразных множеств особо интересными и важными являются числовые множества, т.е. те множества, элементами которых служат числа. Очевидно, что для работы с числовыми множествами необходимо иметь навык записи их, а также изображения их на координатной прямой.

Запись числовых множеств

Общепринятым обозначением любых множеств являются заглавные буквы латиницы. Числовые множества – не исключение. К примеру, мы можем говорить о числовых множествах B , F или S и т.п. Однако есть также общепринятая маркировка числовых множеств в зависимости от входящих в него элементов:

N – множество всех натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; J – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел.

Становится понятным, что обозначение, например, множества, состоящего из двух чисел: — 3 , 8 буквой J может ввести в заблуждение, поскольку этой буквой маркируется множество иррациональных чисел. Поэтому для обозначения множества — 3 , 8 более подходящим будет использование какой-то нейтральной буквы: A или B , например.

Напомним также следующие обозначения:

• ∅ – пустое множество или множество, не имеющее составных элементов;
• ∈ или ∉ — знак принадлежности или непринадлежности элемента множеству. Например, запись 5 ∈ N обозначает, что число 5 является частью множества всех натуральных чисел. Запись — 7 , 1 ∈ Z отражает тот факт, что число — 7 , 1 не является элементом множества Z , т.к. Z – множество целых чисел;
• знаки принадлежности множества множеству:
  ⊂ или ⊃ — знаки «включено» или «включает» соответственно. Например, запись A ⊂ Z означает, что все элементы множества А входят в множество Z , т.е. числовое множество A включено в множество Z . Или наоборот, запись Z ⊃ A пояснит, что множество всех целых чисел Z включает множество A .
  ⊆ или ⊇ — знаки так называемого нестрогого включения. Означают «включено или совпадает» и «включает или совпадает» соответственно.

Рассмотрим теперь схему описания числовых множеств на примере основных стандартных случаев, наиболее часто используемых на практике.

Первыми рассмотрим числовые множества, содержащие конечное и небольшое количество элементов. Описание подобного множества удобно составлять, просто перечисляя все его элементы. Элементы в виде чисел записываются, разделяясь запятой, и заключаются в фигурные скобки (что соответствует общим правилам описания множеств). К примеру, множество из чисел 8 , — 17 , 0 , 15 запишем как < 8 , - 17 , 0 , 15 >.

Случается, что количество элементов множества достаточно велико, но все они подчиняются определенной закономерности: тогда в описании множества используют многоточие. К примеру, множество всех четных чисел от 2 до 88 запишем как: < 2 , 4 , 6 , 8 , … , 88 >.

Теперь поговорим об описании числовых множеств, в которых количество элементов бесконечно. Иногда их описывают при помощи того же многоточия. Например, множество всех натуральных чисел запишем так: N = < 1 , 2 , 3 , … >.

Также возможно записать числовое множество с бесконечным количеством элементов при помощи указания свойств его элементов. Применяют при этом обозначение < х | свойства >. К примеру, < n | 8 · n + 3 , n ∈ N >определяет множество натуральных чисел, которые при делении на 8 дадут остаток 3 . Это же множество возможно записать как: < 11 , 19 , 27 , … >.

В частных случаях числовые множества с бесконечным количеством элементов – это общеизвестные множества N , Z , R и т.д., либо числовые промежутки. Но в основном числовые множества представляют собой объединение составляющих их числовых промежутков и числовых множеств с конечным количеством элементов (о них мы говорили в самом начале статьи).

Рассмотрим на примере. Допустим, составляющими некого числового множества являются числа — 15 , — 8 , — 7 , 34 , 0 , а также все числа отрезка [ — 6 , — 1 , 2 ] и числа открытого числового луча ( 6 , + ∞ ) . В соответствии с определением объединения множеств заданное числовое множество запишем как: < - 15 , - 8 , - 7 , 34 >∪ [ — 6 , — 1 , 2 ] ∪ < 0 >∪ ( 6 , + ∞ ) . Подобная запись фактически означает множество, включающее в себя все элементы множеств < - 15 , - 8 , - 7 , 34 , 0 >, [ — 6 , — 1 , 2 ] и ( 6 , + ∞ ) .

Таким же образом, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, возможно дать описание любому числовому множеству, состоящему из действительных чисел. На основе сказанного становится понятно, для чего вводятся различные виды числовых промежутков, такие как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч. Все эти виды промежутков совместно с обозначениями множеств отдельных чисел дают возможность через их объединение описать любое числовое множество.

Необходимо также обратить внимание на то, что отдельные числа и числовые промежутки при записи множества могут быть упорядочены по возрастанию. В общем, это не является обязательным требованием, однако подобное упорядочивание позволяет представить числовое множество проще, а также верно отобразить его на координатной прямой. Также стоит уточнить, что в таких записях не применяют числовые промежутки с общими элементами, поскольку эти записи возможно заменить объединением числовых промежутков, исключив общие элементы. К примеру, объединением числовых множеств с общими элементами [ — 15 , 0 ] и ( — 6 , 4 ) будет полуинтервал [ — 15 , 4 ) . То же имеет отношение и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами. Например, объединение ( 4 , 7 ] ∪ ( 7 , 9 ] является множеством ( 4 , 9 ] . Этот пункт подробно будет рассмотрен в теме нахождения пересечения и объединения числовых множеств.

Изображение числовых множеств на координатной прямой

В практических примерах удобно использовать геометрическое толкование числовых множеств – их изображение на координатной прямой. К примеру, такой способ поможет при решении неравенств, в которых нужно учесть ОДЗ – когда нужно отобразить числовые множества, чтобы определить их объединение и/или пересечение.

Мы знаем, что между точками координатной прямой и действительными числами имеется однозначное соответствие: вся координатная прямая есть геометрическая модель множества всех действительных чисел R . Следовательно, для изображения множества всех действительных чисел начертим координатную прямую и нанесем штриховку на всем ее протяжении:

Зачастую и не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Рассмотрим изображение числовых множеств, состоящих из конечного количества отдельных чисел. К примеру, отобразим числовое множество < - 2 , - 0 , 5 , 1 , 2 >. Геометрической моделью заданного множества станут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

В большинстве случаев возможно не соблюдать абсолютную точность чертежа: вполне достаточно схематичного изображения без соблюдения масштаба, но с сохранением взаимного расположения точек относительно друг друга, т.е. любая точка с бОльшей координатой должна быть правее точки с меньшей. С учётом сказанного уже имеющийся чертеж может выглядеть так:

Отдельно из возможных числовых множеств выделяют числовые промежутки интервалы, полуинтервалы, лучи и пр.)

Теперь рассмотрим принцип изображения числовых множеств, являющихся объединением нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих их отдельных чисел. В этом нет никакой сложности: согласно определению объединения на координатной прямой необходимо отобразить все составляющие множества заданного числового множества. Например, создадим иллюстрацию числового множества ( — ∞ , — 15 ) ∪ < - 10 >∪ [ — 3 , 1 ) ∪ < log 2 5 , 5 >∪ ( 17 , + ∞ ) .

Также довольно распространены случаи, когда числовое множество, которое необходимо изобразить, включает в себя все множество действительных чисел кроме одной или нескольких точек. Подобные множества часто задаются условиями вроде х ≠ 5 или х ≠ — 1 и т.п. В таких случаях множества в своей геометрической модели являются всей координатной прямой за исключением заданных точек. Общепринято говорить, что эти точки необходимо «выколоть» из координатной прямой. Изображается выколотая точка кружочком с пустым центром. Чтобы подкрепить сказанное практическим примером, отобразим на координатной прямой множество с заданным условием х ≠ — 2 и х ≠ 3 :

Информация, приведенная в данной статье, призвана помочь получить навык видеть запись и изображение числовых множеств так же легко, как и отдельных числовых промежутков. В идеале записанное числовое множество сразу должно представляться в виде геометрического образа на координатной прямой. И наоборот: по изображению должно с легкостью формироваться соответствующее числовое множество через объединение числовых промежутков и множеств, являющихся отдельными числами.

Источник

Математика для чайников. Глава 7. Множества

Теория множеств – важный раздел математики, потому что очень многие математические понятия определены именно через множества. Например, как я писал в статье Математика для чайников. Глава 4. Алгебра , алгебра – это множество, в котором содержаться абстракции данной алгебры и операции над ними.

Так что же такое множество? Представьте себе такую «волшебную» коробочку, в которою мы можем поместить сколько угодно много предметов. Хоть бесконечно. Но не факт, что там предметов будет именно бесконечность. Сколько положили, столько и будет. Так вот, эта коробочка со всеми положенными в нее предметами и есть множество. Отсюда сразу запомните, что множества могут быть конечными и бесконечными.

А теперь более строго определение множества. Множество – это математический объект, который является совокупностью (набором) других математических объектов, называемых элементами множества . В качестве элемента множества может быть что угодно, в том числе и множество. Но часто задается конкретно, а что может быть элементом множества. Например, если это множество чисел, то его элементами могут быть только числа.

Как задать множество? Можно просто перечислить его элементы. Например вот так: <1,2,3,4>. Можно задать правило, по которому можно определить, принадлежит элемент множеству или нет. Например «множество натуральных чисел», «множество рациональных чисел», «множество натуральных чисел, больших 2». Как правило, множества обозначаются большими буквами. Элементы – маленькими. Если элемент принадлежит множеству, то используют специальный знак:

Источник

Что значит цифра с черточкой сверху?

В теории множеств: … В теории чисел: обозначает, что под чертой все вместе считается числом, например, ¯abcde,efg и с чертой над всеми этими символами — говорит о том, что каждая буква — это цифра, а вместе они образуют десятичное число.

Что означает х с черточкой сверху?

Сре́днее арифмети́ческое (в математике и статистике) — разновидность среднего значения. Определяется как число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество.

Что значит линия сверху в математике?

Черта́ све́рху — типографический знак горизонтальной линии, нарисованной сразу над текстом. В математической нотации черта сверху долгое время используется для vinculum, объединения определённых символов.

Как поставить черту над буквой?

поставить черточку над буквой. Выделите текст, который требуется подчеркнуть. Потом На вкладке Начальная страница в группе Шрифт выберите команду Подчеркнутый. Или нажмите сочетание клавиш CTRL+U.

Как сделать букву с черточкой сверху?

Для этого перейдите на вкладку «Работа с формулами/Конструктор», в группе «Структуры» нажмите «Диакритические знаки» и выберите «Черта сверху». В поле редактирования формул отобразится пунктирная рамка. Щелкните по пунктирной рамке и введите тест. Надчеркивание отобразится непосредственно при вводе текста.

Что означает черточка над буквой Т?

А у буквы «П» черточка лишь соединяет две палочки, но не выделяется. Значит отличительным знаком буквы «Т» мы можем считать висящую палочку сверху. Буква «П» это лишь сочленение. Соображение № 2. Благодаря своей законной отличительной черте, маленькая прописная буква «т» лучше читается.

Как называется черточка над буквой й?

Кра́тка (ранее кра́ткая); также бре́ве (лат. … breve «короткое»), бре́вис, дуга́ — один из кириллических и латинских надстрочных чашеобразных диакритических знаков; заимствована из древнегреческой письменности, где означала краткость гласных.

Как подчеркнуть текст сверху?

Самый быстрый способ подчеркнуть текст — нажать клавиши CTRL + ВВОД. Если вы хотите остановить подчеркивание, снова нажмите клавиши CTRL + U. Кроме того, можно подчеркивание текста и пробелов несколькими другими способами.

Что означает горизонтальная черта над числом?

Вы знаете ответ на этот вопрос? Горизонтальная черта над гласными обозначает ударение, либо же долготу звука, примеры: окАзия, пропЕллер. В случае с согласными это долгота произношения, пример слов: иСштопать, раСшевелить.

Как сделать верхнее подчеркивание?

Поставить крестик над словом в начале, нажать и протянуть линию до конца слова, двигая вверх или вниз выровнять линию и отпустить. Можно изменить цвет верхнего подчеркивания, нужно нажать по линии и открыть вкладку «Формат». Нажав по кнопке «Контур фигуры» указать нужный цвет.

Как сделать подчеркивание текста в ворде?

Выполните одно из следующих действий:

1. Чтобы применить простое подчеркивание, нажмите клавиши CTRL+U.
2. Чтобы применить другой тип подчеркивания, на вкладке Главная в группе Шрифт нажмите кнопку вызова диалогового окна Шрифт, перейдите на вкладку Шрифт, а затем выделите стиль в списке Подчеркивание.

Как сделать е с черточкой?

Чтобы напечатать букву é на ПК, нажмите и удерживайте клавишу Alt + 0233.

Что значит черта над буквой?

В теории чисел: обозначает, что под чертой все вместе считается числом, например, ¯abcde,efg и с чертой над всеми этими символами — говорит о том, что каждая буква — это цифра, а вместе они образуют десятичное число. В функциональном анализе так может обозначаться замыкание множества.

Как называется знак над буквой?

Диакритические знаки — это лингвистические знаки, которые добавляются к букве с целью обозначить изменение ее произношения или указать на какую-либо особую роль звука в данном слове. Они ставятся над буквой или ниже или пересекают её.

Источник