Рассмотрим матрицу \(A\) типа \((m,n)\). Пусть, для определенности, \(m \leq n\). Возьмем \(m\) строк и выберем \(m\) столбцов матрицы \(A\), на пересечении этих строк и столбцов получится квадратная матрица порядка \(m\), определитель которой называют минором порядка \(m\) матрицы \(A\). Если этот минор отличен от 0, его называют базисным минором и говорят, что ранг матрицы \(A\) равен \(m\). Если же этот определитель равен 0, то выбирают другие \(m\) столбцов, на их пересечении стоят элементы, образующие другой минор порядка \(m\). Если минор равен 0, продолжаем процедуру. Если среди всех возможных миноров порядка \(m\) нет отличных от нуля, мы выбираем \(m-1\) cтрок и столбцов из матрицы \(A\), на их пересечении возникает квадратная матрица порядка \(m-1\), ее определитель называется минором порядка \(m-1\) исходной матрицы. Продолжая процедуру, ищем ненулевой минор, перебирая все возможные миноры, понижая их порядок.
Ненулевой минор данной матрицы наивысшего порядка называется базисным минором исходной матрицы, его порядок называется рангом матрицы \(A\), строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисныи строками и столбцами. Ранг матрицы обозначается \(rang(A)\).
Из этого определения следуют простые свойства ранга матрицы: это целое число, причем ранг ненулевой матрицы удовлетворяет неравенствам: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\).
Как изменится ранг матрицы, если вычеркнуть какую-нибудь строку? Добавить какую-нибудь строку?
1) Ранг может уменьшиться на 1.
2) Ранг может увеличиться на 1.
Пусть \(A\) — матрица типа \((m,n)\). Рассмотрим столбцы матрицы \(A\) — это столбцы из \(m\) чисел каждый. Обозначим их \(A_1,A_2. A_n\). Пусть \(c_1,c_2. c_n\) — какие-то числа.
Столбец \[ D=c_1A_1+c_2A_2+. +c_nA_n = \sum _^nc_mA_m \] называется линейной комбинацией столбцов \(A_1,A_2. A_n\), числа \(c_1,c_2. c_n\) называются коэффициентами этой линейной комбинации.
Пусть дано \(p\) столбцов \(A_1, A_2, . A_p\). Если существуют такие числа \(c_1,c_2. c_p\), что
1. не все эти числа равны нулю,
2. линейная комбинация \(c_1A_1+c_2A_2+. +c_pA_p =\sum _^pc_mA_m\) равна нулевому столбцу (т.е. столбцу, все элементы которого нули), то говорят, что столбцы \(A_1, A_2, . A_p\) линейно зависимы. Если для данного набора столбцов таких чисел \(c_1,c_2. c_n\) не существует, столбцы называются линейно независимыми.
\[ A_1=\left( \begin1 \\ 0 \end \right), A_2=\left( \begin0 \\ 1 \end \right), \] тогда для любых чисел \(c_1,c_2\) имеем: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left( \begin1 \\ 0 \end \right)+c_2\left( \begin0 \\ 1 \end \right)=\left( \beginc_1 \\ c_2 \end \right). \]
Эта линейная комбинация равна нулевому столбцу тогда и только тогда, когда оба числа \(c_1,c_2\) равны нулю. Таким образом, эти столбцы линейно независимы.
Для того, чтобы столбцы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.
Для любой ненулевой матрицы \(A\) справедливо следующее:
1. Базисные столбцы линейно независимы.
2. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией его базисных столбцов.
(Аналогичное верно и для строк).
Пусть, для определенности, \((m,n)\) — тип матрицы \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) и базисный минор расположен в первых \(r\) строках и столбцах матрицы \(A\). Пусть \(s\) — любое число между 1 и \(m\), \(k\) — любое число между 1 и \(n\). Рассмотрим минор следующего вида: \[ D=\left| \begina_ <11>& a_ <12>& \ldots & a_ <1r>& a_ <1s>\\ a_ <21>& a_ <22>& \ldots & a_ <2r>& a_ <2s>\\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ \end \right| , \] т.е. мы к базисному минору приписали \(s-\)ый столбец и \(k-\)ую строку. По определению ранга матрицы этот определитель равен нулю (если мы выбрали \(s\leq r\) или \(k \leq r\) , значит в этом миноре 2 одинаковых столбца или 2 одинаковых строки, если \(s>r\) и \(k>r\) — по определению ранга минор размера больше \(r\) обращается в ноль). Разложим этот определитель по последней строке, получим: \[ a_A_+a_A_+. +a_A_+a_A_=0. \quad \quad(16) \]
Здесь числа \(A_\) — алгебраические дополнения элементов из нижней строки \(D\). Их величины не зависят от \(k\), т.к. образуются с помощью элементов из первых \(r\) строк. При этом величина \(A_\) — это базисный минор, отличный от 0. Обозначим \(A_=c_1,A_=c_2. A_=c_s \neq 0\). Перепишем в новых обозначениях (16): \[ c_1a_+c_2a_+. +c_ra_+c_sa_=0, \] или, разделив на \(c_s\), \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_, \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Это равенство справедливо для любого значения \(k\), так что \[ a_<1s>=\lambda_1a_<11>+\lambda_2a_<12>+. +\lambda_ra_<1r>, \] \[ a_<2s>=\lambda_1a_<21>+\lambda_2a_<22>+. +\lambda_ra_<2r>, \] \[ . \] \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_. \] Итак, \(s-\)ый столбец является линейной комбинацией первых \(r\) столбцов. Теорема доказана.
Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы равен числу ее линейно независимых столбцов (которое равно числу линейно независимых строк).
Если определитель равен нулю, то у него есть столбец, который является линейной комбинацией остальных столбцов.
Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то столбцы матрицы линейно зависимы.
Некоторые преобразования матрицы не меняют ее ранг. Такие преобразования можно назвать элементарными. Соответствующие факты нетрудно проверить с помощью свойств определителей и определения ранга матрицы.
1. Перестановка столбцов.
2. Умножение элементов какого-нибудь столбца на ненулевой множитель.
3. Прибавление к столбцу любого другого столбца, умноженного на произвольное число.
4. Вычеркивание нулевого столбца.
Аналогичное верно и для строк.
С помощью этих преобразований матрицу можно преобразовать к так называемой «трапециевидной» форме — матрице, под главной диагональю которой располагаются только нули. Для «трапециевидной» матрицы ранг — это число ненулевых элементов на главной диагонали, и базисный минор — минор, диагональ которого совпадает с набором ненулевых элементов на главной диагонали преобразованной матрицы.
Здесь мы последовательно делаем следующие шаги: 1) переставляем вторую строку наверх, 2) вычитаем первую строку из остальных с подходящим множителем, 3) вычитаем вторую строку из третьей 4 раза, прибавляем вторую строку к четвертой, 4) вычеркиваем нулевые строки — третью и четвертую. Наша итоговая матрица прибрела желаемую форму: на главной диагонали стоят ненулевые числа, под главной диагональю — нули. После этого процедура останавливается и число ненулевых элементов на главной диагонали равно рангу матрицы. Базисный минор при этом — две первые строки и два первых столбца. На их пересечении стоит матрица порядка 2 с ненулевым определителем. При этом, возвращаясь по цепочке преобразований в обратную сторону, можно проследить, откуда возникла та или иная строка (тот или иной столбец) в конечной матрице, т.е. определить базисные строки и столбцы в исходной матрице. В данном случае первые две строки и первые два столбца образуют базисный минор.
Пусть \(A\) — матрица типа \((m,n)\) ранга \(r_1\), \(B\) — матрица типа \((p,n)\) ранга \(r_2\). Объединим их строки — получим матрицу \(C\). Можно ли дать двустороннюю оценку ранга матрицы \(C\)?
3. Пусть \(A\) и \(B\) — матрицы с одинаковым числом строк. Доказать, что \[ rang\left( \beginA & B\\ 2A & 3B \end \right)=rang(A)+rang(B). \]
Источник
Минор матрицы
Формула
Определение
Минор матрицы — это определитель $ n-1 $ порядка, составленный путём вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-го столбца из матрицы $ A $ порядка $ n $. Обозначается минор $ M_ $
Формула минора матрицы выводится для каждого элемента этой матрицы отдельно. Пусть задана квадратная матрица $ A $ порядка $ n = 3 $:
По определению каждый минор $ M_ $ равен определителю, получаемому при вычеркивании $ i $-ой строки и $ j $-ого столбца из матрицы $ A $.
Аналогично миноры находятся для любого порядка. В частности для матрицы второго порядка в определитель будет входить одно число.
Как найти?
Чтобы найти миноры матрицы $ M_ $ нужно составить определители, полученные путем вычеркивания из матрицы $ A $ соответствующие строку и столбец.
Пример для матрицы второго порядка:
Пример для матрицы третьего порядка:
Если полученный определитель:
Первого порядка, то записываем оставшееся число
Второго или третьего порядка, то вычисляем его по правилу треугольников
Четвертого и выше порядка, то выполняем разложение по строке (столбцу), либо методом Гаусса
Примеры решений
Определить миноры матрицы:
Вычеркиваем нужную строку и столбец:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Найти миноры элементов на главной диагонали матрицы:
Источник
Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.
В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме «Матрицы. Виды матриц. Основные термины». Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.
Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка: $A=\left( \begin 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end \right)$. Найдём минор элемента $a_<32>$, т.е. найдём $M_<32>$. Сперва запишем минор $M_<32>$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_<32>$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_<32>$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_<32>$:
Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
Итак, минор элемента $a_<32>$ равен 579, т.е. $M_<32>=579$.
Часто вместо словосочетания «минор элемента матрицы» в литературе встречается «минор элемента определителя». Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_$ нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента $a_$. Например, найдём минор элемента $a_<12>$ определителя $\left| \begin -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end \right|$. Чтобы записать требуемый минор $M_<12>$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:
Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_<12>$, если $A=\left( \begin -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end \right)$. Согласно формуле $A_<12>=(-1)^<1+2>\cdot M_<12>=-M_<12>$. Однако чтобы получить $M_<12>$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_<12>$:
Минор k-го порядка матрицы $A_$
Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.
Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:
Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.
Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_<11>$, $a_<22>$, $a_<33>$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_<11>=-1$, $a_<22>=7$, $a_<33>=18$, $a_<44>=8$. На рисунке они выделены зелёным цветом:
Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_<11>=-1$ и $a_<33>=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:
Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице $A$ фиолетовым цветом):
Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
Итак, $M=11\neq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.
Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор – базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), – базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ – базисные столбцы.
Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.
Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:
Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов – столбец №5. Получим новый минор $M’$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ – синим:
Минор $M’$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов – столбец №3, получим минор $M»$ (минор третьего порядка):
Минор $M»$ также является окаймляющим минором для минора $M$.
Минор k-го порядка матрицы $A_$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.
Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.
Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:
Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка. Эти элементы выделены в матрице $A$ зелёным цветом:
Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M’$:
Минор $M’$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.
Словосочетание «алгебраическое дополнение к минору $M$» часто заменяют словосочетанием «алгебраическое дополнение минора $M$».
Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка $ M=\left| \begin 2 & -14 \\ -6 & 41 \end \right| $ и дополнительный к нему минор третьего порядка: $M’=\left| \begin 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end \right|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:
Параметр $\alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $\alpha=1+3+2+5=11$. Итак:
В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков, можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:
